PAGEPAGE5第42練數列中的易錯題1.數列{an}中，a1＝0，an＋1－an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))，an＝9，則n等于()A.97B.98C.99D.1002.設等差數列{an}滿意3a8＝5a15，且a1>0，Sn為其前n項和，則數列{Sn}的最大項為()A.S23B.S25C.S24D.S263.(2024·浙江金華中學模擬)已知直線x＋2y＋eq\r(5)＝0與直線x－dy＋11eq\r(5)＝0相互平行且距離為m，等差數列{an}的公差為d，且a7·a8＝35，a4＋a10<0，令Sn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|，則Sm的值為()A.60B.52C.44D.364.在各項都為正數的數列{an}中，首項a1＝2，且點(aeq\o\al(2,n)，aeq\o\al(2,n－1))(n∈N*，n≥2)在直線x－9y＝0上，則數列{an}的前n項和Sn為()A.eq\f(1－－3n,2) B.3n－1C.eq\f(1＋3n,2) D.eq\f(3n2＋n,2)5.(2024·紹興柯橋區檢測)已知數列{an}的前n項和Sn＝3n(λ－n)－6，若數列{an}單調遞減，則λ的取值范圍是()A.(－∞，2) B.(－∞，3)C.(－∞，4) D.(－∞，5)6.(2024·金麗衢十二校模擬)已知數列{an}滿意a1＝1，an＋1－an≥2(n∈N*)，則()A.an≥2n＋1 B.Sn≥n2C.an≥2n－1 D.Sn≥2n－17.(2024·金麗衢十二校聯考)在正整數數列中，由1起先依次按如下規則，將某些數染成紅色.先染1；再染兩個偶數2,4；再染4后面最鄰近的3個連續奇數5,7,9；再染9后面的最鄰近的4個連續偶數10,12,14,16；再染此后最鄰近的5個連續奇數17,19,21,23,25.按此規則始終染下去，得到一紅色子數列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，則在這個紅色子數列中，由1起先的第2024個數是()A.3971B.3972C.3973D.39748.(2024·杭州模擬)已知數列{an}的通項公式an＝n＋eq\f(100,n)，則|a1－a2|＋|a2－a3|＋…＋|a99－a100|等于()A.150B.162C.180D.2109.數列{an}的前n項和為Sn＝n2，若bn＝(n－10)an，則數列{bn}的最小項為()A.第10項 B.第11項C.第6項 D.第5項10.定義：在數列{an}中，若滿意eq\f(an＋2,an＋1)－eq\f(an＋1,an)＝d(n∈N*，d為常數)，稱{an}為“等差比數列”，已知在“等差比數列”{an}中，a1＝a2＝1，a3＝3，則eq\f(a2024,a2024)等于()A.4×20242－1 B.4×20242－1C.4×20242－1 D.4×2024211.在數列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)(n∈N*)，則eq\f(2,2024)是這個數列的第________項.12.(2024·寧波模擬)已知數列{an}與eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a\o\al(2,n),n)))均為等差數列(n∈N*)，且a1＝2，則a1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a3,3)))3＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))n＝________.13.已知數列{an}滿意a1＝3，且對隨意的m，n∈N*，都有eq\f(an＋m,am)＝an，若數列{bn}滿意bn＝log3(an)2＋1，則數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bnbn＋2)))的前n項和Tn的取值范圍是________.14.已知各項均為正數的數列{an}滿意：eq\r(a1)＋eq\r(a2)＋…＋eq\r(an)＝n2＋3n，則eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,3)＋…＋eq\f(an,n＋1)＝________.15.已知等比數列{an}滿意an＋1＋an＝3·2n－1，n∈N*.設數列{an}的前n項和為Sn，若不等式Sn>kan－1對隨意的n∈N*恒成立，則實數k的取值范圍為____________.16.設f′(x)是函數f(x)的導數，若f″(x)是f′(x)的導數，若方程f″(x)＝0有實數解x0，則稱點(x0，f(x0))為函數y＝f(x)的“拐點”.已知：任何三次函數既有拐點，又有對稱中心，且拐點就是對稱中心.設f(x)＝eq\f(1,3)x3－2x2＋eq\f(8,3)x＋2，數列{an}的通項公式為an＝n－1007，則eq\o(∑,\s\up6(2024),\s\do4(i＝1))f(ai)＝__________.答案精析1.D2.B3.B4.B5.A6.B7.B8.B9.D10.A11.202412.2n+1－2解析設等差數列{an}的公差為d，則a2＝2＋d，a3＝2＋2d，又因為數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a\o\al(2,n),n)))也為等差數列，所以2×eq\f(a\o\al(2,2),2)＝aeq\o\al(2,1)＋eq\f(a\o\al(2,3),3)，即(2＋d)2＝22＋eq\f(2＋2d2,3)，解得d＝2，則an＝2n，a1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a3,3)))3＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))n＝2＋22＋23＋…＋2n＝eq\f(21－2n,1－2)＝2n＋1－2.13.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,21)，\f(2,15)))解析由題意m，n∈N*，都有eq\f(an＋m,am)＝an，令m＝1，可得eq\f(an＋1,an)＝a1＝3＝q，可得an＝3n，∵bn＝log3(an)2＋1，∴bn＝2n＋1，那么數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bnbn＋2)))的通項cn＝eq\f(1,2n＋12n＋5)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋5))).則Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,7)＋\f(1,5)－\f(1,9)＋\f(1,7)－\f(1,11)＋…＋\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋3)＋\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋5)))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,5)－\f(1,2n＋3)－\f(1,2n＋5)))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,15)－\f(1,2n＋3)－\f(1,2n＋5)))<eq\f(2,15)，當n＝1時，可得T1＝eq\f(1,21)，故得Tn的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,21)，\f(2,15))).14.2n2＋6n解析由eq\r(a1)＋eq\r(a2)＋…＋eq\r(an)＝n2＋3n，可得eq\r(a1)＋eq\r(a2)＋…＋eq\r(an－1)＝(n－1)2＋3(n－1)(n≥2)，兩式相減可得eq\r(an)＝2n＋2(n≥2)，當n＝1時，eq\r(a1)＝12＋3×1＝4＝2×1＋2，滿意eq\r(an)＝2n＋2，所以eq\r(an)＝2n＋2(n∈N*)，則an＝(2n＋2)2＝4(n＋1)2，故eq\f(an,n＋1)＝eq\f(4n＋12,n＋1)＝4n＋4，易知數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n＋1)))是首項為eq\f(a1,2)＝8，公差為4的等差數列，則eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,3)＋…＋eq\f(an,n＋1)＝eq\f(n8＋4n＋4,2)＝2n2＋6n.15.(－∞，2)解析設數列{an}的首項為a1，公比為q，則由an＋1＋an＝3·2n－1，可得a2＋a1＝3，a3＋a2＝6，所以q＝eq\f(a3＋a2,a2＋a1)＝2，所以2a1＋a1＝3，即a1＝1，所以an＝2n－1，Sn＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1.因為不等式Sn>kan－1對隨意的n∈N*恒成立，即2n－1>k·2n－1－1，解得k<2.故實數k的取值范圍為(－∞，2).16.4034解析已知f(x)＝eq\f(1,3)x3－2x2＋eq\f(8,3)x＋2，則f′(x)＝x2－4x＋eq\f(8,3)，則f″(x)＝2x－4，若f″(x)＝2x－4＝0，則x＝2，又由f(x)＝eq\f(1,3)x3－2x2＋eq\f(8,3)x＋2，則f(2)＝2，即(2,2)是三次函數f(x)＝eq\f(1,3)x3－2x2＋eq\f(8,3)x＋2的對稱中心，則有f(x)＋f(4－x)＝4，數列{a