PAGEPAGE5概率與統計【2024年高考考綱解讀】1.高考中主要利用計數原理求解排列數、涂色、抽樣問題，以小題形式考查.2.二項式定理主要考查通項公式、二項式系數等學問，近幾年也與函數、不等式、數列交匯，值得關注．3.以選擇題、填空題的形式考查古典概型、幾何概型的基本應用.4.將古典概型與概率的性質相結合，考查學問的綜合應用實力．5.以選擇題、填空題的形式考查隨機抽樣、樣本的數字特征、統計圖表、回來方程、獨立性檢驗等.6.在概率與統計的交匯處命題，以解答題中檔難度出現．【重點、考點剖析】一、排列組合與計數原理的應用1．分類加法計數原理和分步乘法計數原理假如每種方法都能將規定的事務完成，則要用分類加法計數原理將方法種數相加；假如須要通過若干步才能將規定的事務完成，則要用分步乘法計數原理將各步的方法種數相乘．2.名稱排列組合相同點都是從n個不同元素中取m(m≤n)個元素，元素無重復不同點①排列與依次有關；②兩個排列相同，當且僅當這兩個排列的元素及其排列依次完全相同①組合與依次無關；②兩個組合相同，當且僅當這兩個組合的元素完全相同二、二項式定理1．通項與二項式系數Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr，其中Ceq\o\al(r,n)(r＝0,1,2，…，n)叫做二項式系數．2．各二項式系數之和(1)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(2)Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＝2n－1.三、古典概型與幾何概型1．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(事務A中所含的基本領件數,試驗的基本領件總數).2．幾何概型的概率公式P(A)＝eq\f(構成事務A的區域長度面積或體積,試驗的全部結果所構成的區域長度面積或體積).四、相互獨立事務和獨立重復試驗1．條件概率在A發生的條件下B發生的概率：P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).2．相互獨立事務同時發生的概率P(AB)＝P(A)P(B)．3．獨立重復試驗、二項分布假如事務A在一次試驗中發生的概率是p，那么它在n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率為Pn(k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.五、離散型隨機變量的分布列、均值與方差1．均值與方差的性質(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；站邀請，確定對甲、乙、丙、丁這四個景區進行體驗式旅游，若不能最先去甲景區旅游，不能最終去乙景區和丁景區旅游，則小李可選的旅游路途數為()A．24B．18C．16D．10解析：分兩種狀況，第一種：最終體驗甲景區，則有Aeq\o\al(3,3)種可選的路途；其次種：不在最終體驗甲景區，則有Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)種可選的路途．所以小李可選的旅游路途數為Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)＝10.選D.答案：D【變式探究】某校畢業典禮上有6個節目，考慮整體效果，對節目演出依次有如下要求：節目甲必需排在前三位，且節目丙、丁必需排在一起．則該校畢業典禮節目演出依次的編排方案共有()A．120種B．156種C．188種D．240種解析：解法一記演出依次為1～6號，對丙、丁的排序進行分類，丙、丁占1和2號，2和3號，3和4號，4和5號，5和6號，其排法種數分別為Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)，Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)，Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)，Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)，Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)，故總編排方案有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝120(種)．解法二記演出依次為1～6號，按甲的編排進行分類，①當甲在1號位置時，丙、丁相鄰的狀況有4種，則有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝48(種)；②當甲在2號位置時，丙、丁相鄰的狀況有3種，共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)；③當甲在3號位置時，丙、丁相鄰的狀況有3種，共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)．所以編排方案共有48＋36＋36＝120(種)．答案：A【變式探究】中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數”合稱“六藝”．“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動；“書”，指各種歷史文化學問；“數”，數學．某校國學社團開展“六藝”課程講座活動，每藝支配一節，連排六節，一天課程講座排課有如下要求：“數”必需排在前三節，且“射”和“御”兩門課程相鄰排課，則“六藝”課程講座不同的排課依次共有()A．120種 B．156種C．188種 D．240種答案A解析當“數”排在第一節時有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)＝48(種)排法，當“數”排在其次節時有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)＝36(種)排法，當“數”排在第三節時，若“射”和“御”兩門課程排在第一、二節時有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)＝12(種)排法；若“射”和“御”兩門課程排在后三節時有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)＝24(種)排法，所以滿意條件的共有48＋36＋12＋24＝120(種)排法．(2)若自然數n使得作豎式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不產生進位現象，則稱n為“快樂數”．例如：32是“快樂數”．因為32＋33＋34不產生進位現象；23不是“快樂數”，因為23＋24＋25產生進位現象，那么，小于100的“快樂數”的個數為()A．9B．10C．11D．12答案D解析依據題意個位數須要滿意要求：n＋(n＋1)＋(n＋2)<10，即n<2.3，∴個位數可取0,1,2三個數，∵十位數須要滿意：3n<10，∴n<3.3，∴十位可以取0,1,2,3四個數，故小于100的“快樂數”共有3×4＝12(個)．【感悟提升】(1)在應用分類加法計數原理和分步乘法計數原理時，一般先分類再分步，每一步當中又可能用到分類加法計數原理．(2)對于困難的兩個原理綜合運用的問題，可恰當列出示意圖或表格，使問題形象化、直觀化．【變式探究】(1)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五個人玩搶紅包嬉戲，現有4個紅包，每人最多搶一個，且紅包被全部搶完，4個紅包中有2個6元，1個8元，1個10元(紅包中金額相同視為相同紅包)，則甲、乙都搶到紅包的狀況有()A．18種 B．24種C．36種 D．48種答案C解析若甲、乙搶的是一個6元和一個8元的，剩下2個紅包被剩下的3人中的2個人搶走，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝12(種)搶法；若甲、乙搶的是一個6元和一個10元的，剩下2個紅包被剩下的3人中的2個人搶走，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝12(種)搶法；若甲、乙搶的是一個8元和一個10元的，剩下2個紅包被剩下的3人中的2個人搶走，有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,3)＝6(種)搶法；若甲、乙搶的是兩個6元的，剩下2個紅包被剩下的3人中的2個人搶走，有Aeq\o\al(2,3)＝6(種)搶法．依據分類加法計數原理可得甲、乙都搶到紅包的狀況共有36種．(2)(2024·百校聯盟聯考)某山區希望小學為豐富學生的伙食，老師們在校內旁邊開拓了如圖所示的四塊菜地，分別種植西紅柿、黃瓜、茄子三種產量大的蔬菜，若這三種蔬菜種植齊全，同一塊地只能種植一種蔬菜，且相鄰的兩塊地不能種植相同的蔬菜，則不同的種植方式共有()1234A.9種 B．18種C．12種 D．36種答案B解析若種植2塊西紅柿，則他們在13,14或24位置上種植，剩下兩個位置種植黃瓜和茄子，所以共有3×2＝6(種)種植方式；若種植2塊黃瓜或2塊茄子也是3種種植方式，所以一共有6×3＝18(種)種植方式．題型二二項式定理例2、(1)[2024·全國卷Ⅲ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x)))5的綻開式中x4的系數為()A．10B．20C．40D．80【解析】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x)))5的綻開式的通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,)5·(x2)5－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))r＝Ceq\o\al(r,)5·2r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.故綻開式中x4的系數為Ceq\o\al(2,)5·22＝40.故選C.【答案】C【變式探究】(2024·浙江)已知多項式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，則a4＝________，a5＝________.答案164解析a4是x項的系數，由二項式的綻開式得a4＝Ceq\o\al(3,3)·Ceq\o\al(1,2)·2＋Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(2,2)·22＝16.a5是常數項，由二項式的綻開式得a5＝Ceq\o\al(3,3)·Ceq\o\al(2,2)·22＝4.【變式探究】(2024·浙江)從6男2女共8名學生中選出隊長1人，副隊長1人，一般隊員2人組成4人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，共有________種不同的選法．(用數字作答)答案660【變式探究】若(1－3x)2018＝a0＋a1x＋…＋a2018x2018，x∈R，則a1·3＋a2·32＋…＋a2018·32018的值為()A．22018－1B．82018－1C．22018D．82018【解析】由已知，令x＝0，得a0＝1，令x＝3，得a0＋a1·3＋a2·32＋…＋a2018·32018＝(1－9)2018＝82018，所以a1·3＋a2·32＋…＋a2018·32018＝82018－a0＝82018－1，故選B.所以ξ的分布列為ξ0123Peq\f(1,30)eq\f(13,60)eq\f(9,20)eq\f(3,10)Eξ＝0×eq\f(1,30)＋1×eq\f(13,60)＋2×eq\f(9,20)＋3×eq\f(3,10)＝eq\f(121,60).題型五離散型隨機變量的分布列、均值與方差例5、[2024·北京卷]電影公司隨機收集了電影的有關數據，經分類整理得到下表：電影類型第一類其次類第三類第四類第五類第六類電影部數14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值．假設全部電影是否獲得好評相互獨立．(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率．(2)從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率．(3)假設每類電影得到人們喜愛的概率與表格中該類電影的好評率相等，用“ξk＝1”表示第k類電影得到人們喜愛，“ξk＝0”表示第k類電影沒有得到人們喜愛(k＝1,2,3,4,5,6)．寫出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小關系．【解析】(1)解：由題意知，樣本中電影的總部數是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，第四類電影中獲得好評的電影部數是200×0.25＝50，故所求概率為eq\f(50,2000)＝0.025.(2)解：設事務A為“從第四類電影中隨機選出的電影獲得好評”，事務B為“從第五類電影中隨機選出的電影獲得好評”．故所求概率為P(Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B)＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)(1－P(B))＋(1－P(A))P(B)．由題意知P(A)估計為0.25，P(B)估計為0.2.故所求概率估計為0.25×0.8＋0.75×0.2＝0.35.(3)解：Dξ1>Dξ4>Dξ2＝D