/廣東省廣州市2024-2025學年高二下冊期中考試數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．在等差數列中，已知，則數列的前項之和為（

）A． B． C． D．2．已知，則（

）A． B． C． D．3．某跳水運動員在距離地面3m高的跳臺上練習跳水，其重心相對于水面的高度（單位：）與起跳后的時間（單位：）的函數關系是，則該運動員在時的瞬時速度為（

）A． B． C． D．4．若，則（）A．5 B．20 C．60 D．1205．將5名黨員志愿者分到3個不同的社區進行知識宣講，要求每個社區都要有黨員志愿者前往，且每個黨員志愿者都只安排去1個社區，則不同的安排方法種數有（）A．120 B．300 C．180 D．1506．已知，則數列的通項公式為（

）A． B．C． D．7．在上的導函數為，則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．8．已知數列的各項均為正數，且，對于任意的，均有，.若在數列中去掉的項，余下的項組成數列，則（

）A．599 B． C．554 D．568二、多選題（本大題共3小題）9．已知，則（

）A．展開式中的常數項為1 B．展開式中各項系數之和為0C．展開式中二項式系數最大的項為第1012項 D．10．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（）A．如果甲，乙必須相鄰，則不同的排法有48種B．如果甲，乙都不排兩端，則不同的排法共有36種C．如果甲乙不相鄰，則不同排法共有36種D．如果甲乙丙按從左到右的順序可以不相鄰，則不同排法共有20種11．“楊輝三角”是二項式系數在三角形中的一種幾何排列.從第1行開始，第n行從左至右的數字之和記為，如的前項和記為，依次去掉每一行中所有的1構成的新數列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，記為，的前項和記為，則下列說法正確的有（

）A． B．的前項和C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知等比數列的前項積為，若，則.13．如圖，對、、、、五塊區域涂色，現有種不同顏色的顏料可供選擇，要求每塊區域涂一種顏色，且相鄰區域（有公共邊）所涂顏料的顏色不相同，則不同的涂色方法共有種.14．設，若函數在內存在極值點，則的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數的圖象在點處的切線方程為.(1)求的值；(2)求在區間上的最大值與最小值.16．如圖，在四棱錐中，已知底面是正方形，底面，且，是棱上動點.(1)證明：平面.(2)線段上是否存在點，使二面角的余弦值是？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.17．已知各項均為正數的數列，其前項和為，且.(1)求數列的通項公式；(2)求數列前項和；(3)若，求數列的前項和為18．設函數，曲線在點處的切線方程為．(1)求的值；(2)設函數，求的單調區間；(3)求的極值點個數．19．已知橢圓的下焦點為，其離心率為.(1)求橢圓的標準方程；(2)過的直線與橢圓交于兩點（直線與坐標軸不垂直），過作軸的垂線，垂足分別為，若直線與交于點，證明：點的縱坐標為定值.

答案1．【正確答案】C【詳解】設等差數列的前項和為，則.故選C.2．【正確答案】D【詳解】根據題意，，所以.故選D.3．【正確答案】D【詳解】由，求導得，所以該運動員在時的瞬時速度為（）.故選D.4．【正確答案】D【詳解】因為，所以或，解得（舍去）或，所以.故選D.5．【正確答案】D【詳解】將5名黨員志愿者分成三組，各組人數分別為1，1，3或1，2，2．當各組人數為1，1，3時，共有種安排方法；當各組人數為1，2，2時，共有種安排方法．所以不同的安排方法有種．故選D.6．【正確答案】C【詳解】因，且①則，②由①+②可得：，故.故選C.7．【正確答案】A【詳解】令，則，，，在上單調遞增，，即，.故選A.8．【正確答案】D【詳解】因為，所以，又因為，所以，所以數列是首項為2，公比為2的等比數列，所以，即，所以，，所以數列是首項為1，公差為2的等差數列，即，所以，，由得，所以，所以.故選D.9．【正確答案】AD【詳解】A選項，中，令得，，常數項為1，A正確；B選項，中，令得，，展開式中各項系數之和為1，B錯誤；C選項，展開式共有2025項，根據二項式系數的單調性和對稱性，二項式系數最大的項為第項，C錯誤；D選項，中，令得，，又，故，D正確.故選AD.10．【正確答案】ABD【詳解】A，如果甲，乙必須相鄰，則不同的排法有種，故A正確；B.B，如果甲，乙都不排兩端，則不同的排法共有種，故B正確；C，如果甲乙不相鄰，則不同排法共有種，故C錯誤；D，如果甲乙丙按從左到右的順序可以不相鄰，則不同排法共有種，故D正確．故選ABD.11．【正確答案】BCD【詳解】從第一行開始，每一行的數依次對應的二項式系數，所以，所以為等比數列，，所以，故A錯誤；，故的前項和為，故B正確；去掉每一行中的1以后，每一行剩下的項數分別為0，1，2，3…，構成一個等差數列，項數之和為，則的最大整數為11，此時,楊輝三角中取滿了第11行，第12行首位為1，取的就是第12行中的第3項，，故C正確；是中去掉22個1，再加上第12行中的第2項和第3項，所以，故D正確.故選BCD．12．【正確答案】【詳解】由題意得，，∵，∴，∴.13．【正確答案】【詳解】先涂區域，有種選擇，再涂區域，有種選擇，接下涂、區域，若、區域顏色相同，則區域有種選擇；若、區域顏色不同，則區域有種選擇，區域有種選擇；最后涂區域，有種選擇，由分類加法和分步乘法計數原理可知，不同的涂色方法種數為種.14．【正確答案】【詳解】因為，則，令，則函數在區間內存在異號零點，對任意的恒成立，所以，函數在區間上單調遞增，由題意可得，解得，因此，實數的取值范圍是.15．【正確答案】(1)(2)最大值為10，最小值為-10【詳解】（1）解：因為函數，所以，因為函數在點處的切線方程為，所以，解得；（2）由（1）知：，令，得，隨x的變換變換如下表x1310610由表知：在區間上的最大值為10，最小值為-10.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)存在，【詳解】（1）連接，交于點，四邊形為正方形，；平面，平面，，又，平面，平面.（2）以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，，，假設在線段上存在點，使得二面角的余弦值為，設，則，，設平面的法向量，則，令，解得：，，；由（1）知：平面，平面的一個法向量為；，解得：，當，即時，二面角的余弦值為.17．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）當時，由，得，得，由，得，兩式相減，得，即，即.因為數列各項均為正數，所以，所以所以數列是以1為首項，2為公差的等差數列.因此，（2）由（1）得，，則，兩式相減得（3）由（1）知，所以.所以.所以18．【正確答案】(1)(2)答案見解析(3)3個【詳解】（1）因為，所以，因為在處的切線方程為，所以，，則，解得，所以.（2）由（1）得，則，令，解得，不妨設，，則，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上單調遞減，在，上單調遞增，即的單調遞減區間為和，單調遞增區間為和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上單調遞減，在，上單調遞增，當時，，，即所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，此時，當時，，則單調遞減；當時，，則單調遞增；所以在上有一個極小值點；當時，在上單調遞減，則，故，所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，此時，當時，，則單調遞增；當時，，則單調遞減；所以在上有一個極大值點；當時，在上單調遞增，則，故，所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，此時，當時，，則單調遞減；當時，，則單調遞增；所以在上有一個極小值點；當