/廣東省佛山市七校聯考2023?2024學年高二下冊聯考數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．下列求導正確的是（

）A． B．C． D．2．若數列滿足，，則（

）A． B．11 C． D．3．已知等比數列的前項和為，且，則數列的公比（

）A．或 B．或 C．或2 D．或34．若函數不存在極值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．已知等差數列的前項和為，若成等差數列，成等比數列，（

）A．4 B．3 C．2 D．16．已知函數的定義域為，對任意恒成立，則的解集為（

）A． B． C． D．7．已知數列滿足，且，若，則（

）A．253 B．506 C．1012 D．20248．已知函數，則（

）A．有最小值 B．有最大值C．在上是單調遞減函數 D．在上不單調二、多選題（本大題共3小題）9．已知數列的前項和為，若，則（

）A． B． C． D．10．如圖，這是函數的導函數的圖象，則（

）A．在處取得極大值 B．是的極小值點C．在上單調遞減 D．是的極小值11．已知函數，則（

）A．B．C．D．三、填空題（本大題共3小題）12．設等比數列的前項和為，若，則.13．函數的極小值點為．14．設為數列的前項和，，且，則，的最大值為．四、解答題（本大題共5小題）15．設數列滿足.(1)證明：為等差數列；(2)若數列的前項和為，證明.16．已知數列滿足.(1)求的通項公式；(2)求數列的前項和.17．已知函數在處取得極值．(1)求的值；(2)求經過點與曲線相切的切線方程．18．已知正項數列的前項和為，且.(1)證明：是單調遞減數列；(2)求數列的前項和.19．已知函數．(1)當時，求在上的最值；（提示：）(2)討論的單調性；(3)當時，證明：．

答案1．【正確答案】C【分析】對于AC，根據基本初等函數導函數分析判斷；對于B，根據復合函數的導函數分析判斷；對于D，根據導數的減法運算法則分析判斷.【詳解】對于A：由正弦函數的導數可得，故A錯誤；對于B：由復合函數可得，故B錯誤；對于C：因為為常數，則，故C正確；對于D：因為，故D錯誤.故選C.2．【正確答案】D【分析】探索數列的周期性，根據數列的周期性求指定項.【詳解】因為.所以數列周期為3的數列.所以，，所以，故.故選D.3．【正確答案】D【分析】由，結合等比數列的性質可求得.由，可得，求解即可.【詳解】因為，所以.因為，所以，則，解得或.故選.4．【正確答案】A【分析】對函數求導后，由題意可知恒成立，則，從而可求出的取值范圍.【詳解】由，得，因為函數不存在極值，所以在上恒成立，所以，解得，即的取值范圍是.故選A.5．【正確答案】C【分析】根據等差數列求和公式可得，根據等比中項可得.【詳解】設的公差為，因為成等差數列，所以，，解得.因為成等比數列，所以，即，所以.故選C.6．【正確答案】C【分析】構造函數，判斷函數的單調性，再利用函數的單調性解不等式得解.【詳解】令，所以，故在上單調遞增，又，所以當時，，即，所以的解集為.故選C.7．【正確答案】B【分析】將式子變形為,可得為常數列，即可求解.【詳解】因為，所以.因為，所以，故為常數列，所以.由，解得.故選B.8．【正確答案】C【分析】求導數得，令，求，確定的單調性與最值即可得的正負情況，于是可得結論.【詳解】，，令，，則，所以當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以，即函數恒成立，故在上單調遞減，則函數無最大和最小值.故選C.9．【正確答案】AC【分析】根據已知代入，求得的值，可得，從而可求.【詳解】由，得，解得，故A正確，B錯誤；所以，則，所以是等差數列，則，故C正確，D錯誤.故選AC.10．【正確答案】AB【分析】結合函數的導函數圖象分析確定函數的單調性、極值點與極值情況逐項判斷即可.【詳解】由圖可知當時，；當時，；則在，上單調遞減，在，上單調遞增，所以是的極大值點，是極小值點，故A,B正確，C錯誤；因為不是導函數的零點，所以不是的極值，故錯誤.故選AB.11．【正確答案】BCD【分析】求出導數，然后根據導數的定義可判斷AC；設函數，利用導數可得在上恒成立，判定B；利用對數運算和基本不等式可判斷D.【詳解】對于AC：由題意，則，得，所以，所以，故A錯誤；所以，故C正確；對于B：設函數，則，令，得（舍），或，則當時，，所以函數單調遞減，當時，，所以函數單調遞增，所以，則在上恒成立，所以，故B正確；對于D：，當且僅當，即時，等號成立，故D正確.故選BCD.12．【正確答案】21【分析】根據等比數列前項和的性質可得結果.【詳解】設，則.因為為等比數列，所以仍成等比數列.又，所以，即，所以.13．【正確答案】【分析】求得導函數，分析導函數的正負，得到函數的單調性，進而確定極值點的情況.【詳解】，令，得或，令，得，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以函數的極小值點為.故答案為.14．【正確答案】【分析】根據作差即可求出，從而求出，則，令，，利用作差法判斷的單調性，即可求出.【詳解】因為①，所以②，②①可得，即，即，又，所以當時也成立，所以，所以，，所以，令，，則，因為函數對稱軸為，開口向下，則在上單調遞增，在上單調遞減，又，，因為，所以當時，，即，當時，，即.所以，所以當時取得最大值，即，故的最大值為.15．【正確答案】(1)證明見詳解(2)證明見詳解【分析】（1）對遞推公式兩邊取倒數，結合等差數列的定義，即可證明；（2）根據（1）中所證求得，再根據裂項求和法求得，進而適度放縮即可證明.【詳解】（1）證明：因為，所以，即.因為，所以是首項為2，公差為3的等差數列；（2）由（1）可知，所以.因為，所以.因為，所以，故.16．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意利用累乘法可求得通項公式；（2）由（1）得，然后利用錯位相減法可求得前項和.【詳解】（1）因為，所以，，，……，，所以，所以，得；（2）由（1）得，令數列的前項和為，則，所以，所以，所以，所以數列的前項和為.17．【正確答案】(1)(2)或【分析】（1）根據題意由點在函數圖象上和極值點處導函數為零，即，解出即可；（2）設切點為，由導數的意義可得切線的斜率為，然后由切點在曲線上和切線上以及切線經過點建立方程組，解出切點坐標，最后用點斜式寫出切線方程.【詳解】（1）由題意可得，①，所以，②由①②，解得，經驗證，當時，在左右異號，成立；（2）設切點為，則，①由導數的意義可得切線的斜率為，由點斜式可得切線方程為，又點在切線上，所以，②聯立①②，化簡消去可得，解得或1，代入函數可得切點為，當時，，此時切線方程為，即；當時，，此時切線方程為，即，綜上，經過點與曲線相切的切線方程為或.【思路導引】本題第二問為求過點的切線，設出切點，利用導數的意義求出切線的斜率，再由切點在切線和曲線上以及切線過定點聯立解出切點坐標，求出斜率，寫出切線方程.18．【正確答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）根據的關系可得，即可求證為等差數列，即可求解，進而可得，利用作商法即可求解；（2）根據為奇數和偶數，即可裂項求解.【詳解】（1）證明：當時，，得.因為，所以.當時，由，得，即.因為，所以數列是首項為1，公差為1的等差數列，所以，所以.當時，也適合該式，所以.因為，且，所以是單調遞減數列；（2）因為.所以當為偶數時，，當為奇數時，，故19．【正確答案】(1)最小值，最大值(2)答案見詳解(3)證明見詳解【分析】（1）求導后分析單調性可求出最值；（2）含參數的單調性討論問題，先求導，當時，分子為一元一次方程，直接分析即可；當時，因式分解，討論根的大小情況，再結合函數的定義域分析導數的正負即可得到函數的單調性.（3）先把不等式右邊看成數列的前項和，再仿寫出，作差后求出新數列；然后不等式左邊的通項與右邊作差，構造函數，求導后可求出最小值為，即可證明原不等式.【詳解】（1）當時，，則，令，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以最小值為，因為，且，所以最大值為；（2），則，①

當時，分子為，所以在上單調遞減，在上單調遞增；②

當時，分子為，令，解得，所以當，即時，在，上單調遞增，在上單調遞減；當，即或，又因為時，，所以當時，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；綜上，當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；當時，分子