/甘肅省武威市2023?2024學年高一下冊期末考試數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知復數，則的虛部是（

）A． B． C．2 D．2．設向量，若，則（

）A．5 B．2 C．1 D．03．天氣預報說，在今后的三天中，每天下雨的概率都為60%．現采用隨機模擬的方法估計這三天中恰有兩天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用計算機產生了10組隨機數為180，792，454，417，165，809，798，386，196，206．據此估計這三天中恰有兩天下雨的概率近似為（

）A． B． C． D．4．正方形的邊長是2，是的中點，則（

）A． B．3 C． D．55．已知，，則的值為（

）A． B． C． D．6．已知三棱錐中，，，，E，F分別是PA，BC的中點，則EF與AB所成的角大小為（

）A． B． C． D．7．如圖，測量河對岸的塔高時，可以選與塔底在同一水平面內的兩個觀測點，，測得，，，并在處測得塔頂的仰角為45°，則塔高（）A． B． C． D．8．如圖，在中，點是上的點且滿足，是上的點且滿足，與交于點，且，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知事件，且，則下列結論正確的是（

）A．如果，那么B．如果A與B互斥，那么C．如果A與B相互獨立，那么D．如果A，B與C兩兩互斥，那么10．已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（

）．A．若平面α，β垂直同一個平面，則B．若且，則C．若平面α，β不平行，則在平面α內不存在平行于平面β的直線D．若，且，則l與α所成的角和m與β所成的角相等11．下列式子化簡正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．從1，2，3，4，5這5個數中任取2個，則這2個數字之積大于5的概率為．13．某圓錐的側面展開圖是個半圓，若該圓錐的體積為，則該圓錐的全面積為．14．如圖，已知正方體的棱長為1，點在棱上運動，過三點作正方體的截面，若為棱的中點，則截面的面積為．四、解答題（本大題共5小題）15．設，復數是純虛數.(1)求m的值；(2)若是方程的一個根，求實數p，q的值.16．已知，，與的夾角為45°.(1)求在方向上的投影向量；(2)求的值；(3)若向量與平行且方向相同，求實數.17．某校選拔若干名學生組建數學奧林匹克集訓隊，要求選拔過程分前后兩次進行，當第一次選拔合格后方可進入第二次選拔，兩次選拔過程相互獨立.根據甲?乙?丙三人現有的水平，第一次選拔，甲?乙?丙三人合格的概率依次為；第二次選拔，甲?乙?丙三人合格的概率依次為.(1)求第一次選拔后甲?乙兩人中只有甲合格的概率；(2)求甲、乙、丙經過前后兩次選拔后，恰有一人合格的概率.18．已知函數.(1)求函數的單調遞減區間；(2)若在上恒成立，求實數的取值范圍；(3)若函數在上恰有3個零點，求的取值范圍.19．如圖，已知為圓O的直徑，D為線段上一點，且，為圓O上一點，且，平面，．(1)求；(2)求證：；(3)求三棱錐的體積．

答案1．【正確答案】C【分析】利用復數的除法求出復數，可得復數的虛部.【詳解】復數，則的虛部是2.故選C.2．【正確答案】A【分析】利用向量垂直的性質直接求解．【詳解】向量，，，，可得，．故選．3．【正確答案】B【分析】根據題意，計算隨機數中每組數中有2個數字在集合中判斷即可【詳解】由題意，隨機數中417，386，196，206表示這三天中恰有兩天下雨，故估計這三天中恰有兩天下雨的概率近似為.故選：B.4．【正確答案】B【分析】方法一：以為基底向量表示，再結合數量積的運算律運算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐標運算求解；方法三：利用余弦定理求，進而根據數量積的定義運算求解.【詳解】方法一：以為基底向量，可知，則，所以；方法二：如圖，以為坐標原點建立平面直角坐標系，則，可得，所以；方法三：由題意可得，在中，由余弦定理可得，所以.故選B.5．【正確答案】C【分析】將條件中兩式平方相加后整理即可得答案.【詳解】，，兩式相加得，所以.故選C.6．【正確答案】A【分析】設為的中點，在中，為與所成的角，代入數據求值即可.【詳解】取的中點，連接，，如圖，又為的中點，所以，，同理可得，，則為與所成的角，因為，所以，在中，，所以與所成的角為.故選A.7．【正確答案】D【分析】由已知在中，利用正弦定理可求的值，在中，由，可求塔高的值.【詳解】在中，，，，由正弦定理，可得，可得，在中，，所以塔高.故選D.8．【正確答案】D【分析】設，分別得到和，聯立方程組，求得，進而求得的值，即可求解.【詳解】設，由，又由，所以，解得，可得，因為，所以，所以.故選D.9．【正確答案】ABD【分析】由互斥事件與獨立事件的概率公式求解即可.【詳解】對于A：如果，那么，，故A正確；對于B：如果A與B互斥，那么，，故B正確；對于C：如果A與B相互獨立，那么，故C錯誤；對于D：如果A，B與C兩兩互斥，那么，故D正確.故選ABD.10．【正確答案】BD【詳解】對于A：若平面α，β垂直同一個平面，與可能相交，故A錯誤；對于B：由線面的位置關系可知，若且，則，故B正確；對于C：當平交時，在平面內平行于交線的直線與平行，故C錯誤；對于D：因為兩條平行直線與同一平面所成角相等，若兩平面平行，則兩條平行直線與兩個平行平面所成角相等，故D正確；故選BD.11．【正確答案】BC【分析】利用誘導公式及兩角和的余弦公式的逆用可判斷選項A；利用輔助角公式可判斷選項B；利用誘導公式及二倍角正弦公式可判斷選項C；利用及兩角差的正切公式可判斷選項D.【詳解】對于A：因為，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C：因為，故C正確；對于D：因為，故D錯誤.故選BC.12．【正確答案】【分析】利用列舉法求解，先列出從5個數任取2個數的所有情況，再列出這2個數之積大于5的情況，然后利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】從這5個數中任取2個數的所有情況有：，共10種情況，其中兩個數的之積大于5的有，共6種情況，所以所求概率為.13．【正確答案】12π【分析】根據題意，由圓錐側面展開圖面積可得，再由圓錐的體積公式可得底面圓的半徑，再由圓錐的表面積公式，即可得到結果.【詳解】設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，由圓錐側面展開圖為半圓可得，即，又圓錐的體積為，即，又，則，所以，所以，解得，則，所以圓錐的全面積為．14．【正確答案】【分析】取的中點，連接，則平面為所求截面，易知其為等腰梯形，利用面積公式計算即得.【詳解】如圖，取的中點，連接，易證四邊形為等腰梯形，上底，下底，腰長，則其高為，所以計算可得其面積為.15．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由純虛數的概念列不等式組，求參數m；（2）根據復數范圍內根的性質及根與系數的關系求p，q的值.【詳解】（1）由題設有，可得；（2）由（1）及題設可知，，是方程的兩個根，所以.故.16．【正確答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據投影向量求解公式求出答案；（2）平方后求出，得到模長；（3）根據兩向量平行得到方程，求出的兩個解，檢驗是否方向相同，得到答案.【詳解】（1），，與的夾角為45°，，在方向上的投影向量為；（2），；（3）與平行，，，解得或.當時，，此時方向相同；當時，，此時方向相反，故舍去..17．【正確答案】(1)0.2(2)【分析】（1）根據相互獨立事件概率乘法公式可得；（2）由互斥事件的概率加法公式和相互獨立事件的概率乘法公式可得.【詳解】（1）分別設甲、乙經第一次選拔后合格為事件，設表示第一次選拔后甲合格、乙不合格，則；（2）分別設甲、乙、丙經過前后兩次選拔后合格為事件A，B，C，事件表示經過前后兩次選拔后，恰有一人合格，則，所以.18．【正確答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由三角恒等變換化簡，利用正弦型函數的單調性求解；（2）分離參數轉化為恒成立，求出的最大值即可得解；（3）先寫出函數的解析式，然后根據正弦函數的性質結合整體思想即可得解.【詳解】（1），由，所以函數的單調遞減區間為；（2）因為不等式在上恒成立，所以，因為，所以，所以，所以，即；（3），由，得，因為函數在上恰有3個零點，所以，解得，所以的取值范圍為.【方法總結】求較為復雜的三角函數的單調區間時，首先化簡成形式，再求的單調區間，只需把看作一個整體代入的相應單調區間內即可，注意要先把化為正數．19．【正確答案】(1)(2)證明見詳解(3)【分析】（1）根據題意，得到，求得，在中，利用余弦定理，即可求解；（2）由，得到，再由平面，得到，