/福建省莆田市2024_2025學年高二下冊第一次（3月）月考數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．曲線在點處的切線的斜率為（

）A．0 B．1 C．e D．2．已知函數，則（

）A．有極小值，無極大值 B．既有極小值又有極大值C．有極大值，無極小值 D．無極小值也無極大值3．已知函數的定義域為，且的圖象是一條連續不斷的曲線，的導函數為，若函數的圖象如圖所示，則（

）A．的單調遞減區間是B．的單調遞增區間是，C．當時，有極值D．當時，4．若函數在其定義域內單調遞增，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．已知函數在上有三個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．已知偶函數在上的導函數為，且在時滿足以下條件：①導函數的圖象如圖所示；②唯一的零點是1．則的解集為（

）A． B．C． D．7．已知為R上的可導函數，其導函數為，且對于任意的，均有，則（

）A．，B．，C．，D．，8．丹麥數學家琴生（Jensen）是世紀對數學分析做出卓越貢獻的巨人，特別是在函數的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.設函數在上的導函數為，在上的導函數為，在上恒成立，則稱函數在上為“凹函數”.則下列函數在上是“凹函數”的是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列求導運算正確的是（）A．B．C．D．10．已知函數則下列說法正確的是（）A．函數的單調減區間為，B．函數的值域為C．若關于的方程有三個根，則D．若對于恒成立，則11．已知函數在區間內有唯一零點，則的可能取值為（

）A． B． C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．若函數，則.13．已知曲線經過點，則過點的曲線C的切線方程是14．已知有兩個極值點，則實數的取值范圍為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數在與處都取得極值．（1）求，的值；（2）若對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍．16．已知函數，若在點處的切線方程為．(1)求的解析式；(2)求函數在上的極值．17．如圖（1），一邊長為48cm的正方形鐵皮，四角各截去一個大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一個無蓋長方體容器，如圖（2），所得容器的容積V（單位：）是關于截去的小正方形的邊長x（單位：cm）的函數.(1)隨著x的變化，容積V是如何變化的？(2)截去的小正方形的邊長為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？18．已知函數，.(1)求函數的單調區間；(2)若不等式恒成立，求實數的取值范圍.19．對數均值不等式在各個領域都有著重要應用．(1)討論，的單調性(2)試證明對數均值不等式：(3)設，試證明：

答案1．【正確答案】B【詳解】因為，所以，根據導數的幾何意義可知，曲線在點處的切線的斜率為1.故選B.2．【正確答案】B【詳解】因為，所以，令，，令，，則在上單調遞增，在上單調遞減，即極小值為，極大值為，得到既有極小值又有極大值，故B正確.故選B.3．【正確答案】A【詳解】根據圖象可知當時，，可得；當時，，可得；當時，，可得，且；對于AB，易知時，，此時單調遞減，當時，，此時單調遞增，因此的單調遞減區間是，的單調遞增區間是，即A正確，B錯誤；對于C，易知當時，，當時，，即在處左右函數的單調性不改變，因此C錯誤；對于D，因為時，，可得，因此，即D錯誤.故選A.4．【正確答案】B【詳解】的定義域為，，因為函數在其定義域內單調遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因為，當且僅當時，等號成立，所以，所以.故選B.5．【正確答案】A【詳解】令，可得，令，則直線與函數的圖象有三個交點，，令，可得或，列表如下：增極大值減極小值增如下圖所示：由圖可知，當時，即當時，直線與函數的圖象有三個交點，因此，實數的取值范圍是.故選A.6．【正確答案】B【詳解】記在上的零點為，由在上的圖象，知當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增．因為在唯一的零點是1，即，所以當時，，當時，．又為偶函數，所以當時，，當時，，所以的解集為．故選B．7．【正確答案】A【詳解】構造函數，則，所以函數在上單調遞增，故，即，即.同理，，即.故選A.8．【正確答案】B【詳解】對A，，當時，，所以A錯誤；對B，，在上恒成立，所以B正確；對C，，，所以C錯誤；對D，，，因為，所以D錯誤．故選B．9．【正確答案】BC【詳解】，故A錯誤；，故B正確；，故C正確；，故D錯誤．故選BC10．【正確答案】ACD【詳解】（i）當時，，則在單調遞減，且漸近線為軸和，恒有.（ii）當時，，，當在單調遞增，當在單調遞減，故，且當時，，，恒有.綜上可知，，作出函數大致圖象，如下圖.對于A，函數的單調減區間為，故A正確；對于B，函數的值域為，故B錯誤；對于C，方程有三個根，則所以與有3個公共點，由圖象可知當時，與有3個交點，滿足題意，即的取值范圍是，故C正確;對于D，設函數為過定點的直線，且與函數的切點為，則有①，②，且③，由①②得，將③代入上式可得，即，即，解得或（舍去），，此時直線與函數相切，為臨界情況；當，直線斜率增大，此時函數滿足在時，處于直線下方，即對于恒成立，因此，，故D正確；故選ACD.11．【正確答案】ABC【詳解】由題意有方程在區間內有唯一實數根，即方程在區間內有唯一實數根，令，，所以在區間內單調遞增，所以，所以，因為，，故選ABC.12．【正確答案】【詳解】對求導，得，所以，解得，所以，將代入，可得.13．【正確答案】【詳解】因為曲線經過點，所以，解得，則曲線方程為，，設切點為，切線斜率為，由導數的幾何意義得，則切線方程為，又切線經過點，則，解得，則切線方程為，即.14．【正確答案】【詳解】由求導，，由可得：，因不滿足此式，故可得：，則函數有兩個極值點，即函數與的圖象有兩個交點.由求導，，則當時，，當時，，當時，則函數在和上是減函數，在上是增函數，故時，取得極小值.且當時，，當從0的左邊趨近于0時，，當從0的右邊趨近于0時，，當時，.故可作出函數的圖象如圖.

由圖可知：函數與的圖象有兩個交點等價于.15．【正確答案】（1），；（2）．【詳解】（1）由題設，，又，，解得，．（2）由，知，即，當時，，隨的變化情況如下表：1+0-0+遞增極大值遞減極小值遞增∴在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，∴當時，為極大值，又，則為在上的最大值，要使對任意恒成立，則只需，解得或，∴實數的取值范圍為．16．【正確答案】(1)(2)極大值，極小值【詳解】（1）因為，所以，由題意得，所以，；故的解析式為（2）由（1）得，，因為，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，故當時，函數取得極大值，故當時，函數取得極小值17．【正確答案】(1)當時，函數單調遞增；當時，函數單調遞減．(2)當截去的小正方形的邊長為8cm時，得到的容器容積最大，最大容積為8192【詳解】（1）根據題意可得，由實際情況可知函數的定義域為.根據導數公式表及導數的運算法則可得，解方程，得，（舍），令得，令得，所以當時，函數單調遞增；當時，函數單調遞減.（2）當時，函數單調遞增；當時，函數單調遞減，因此，是函數的極大值點也是最大值點，此時，所以當截去的小正方形的邊長為8cm時，得到的容器容積最大，最大容積為8192.18．【正確答案】(1)當時，函數在上單調遞減，當時，函數在上單調遞減，函數在上單調遞增；(2).【詳解】（1）因為函數，所以，當時，，所以函數在上單調遞減，當時，令，得，當時，，所以函數單調遞減，當時，，所以函數單調遞增，綜上所述，當時，函數在上單調遞減，當時，函數在上單調遞減，函數在上單調遞增；（2）若不等式恒成立，又，則有恒成立.設函數，則，當時，，函數在上單調遞減，又，不合題意;當時，令，解得,當時，，所以函數單調遞減，當時，，所以函數單調遞增，所以，由恒成立，則成立，即成立,令，則,所以函數在上單調遞增，又，，所以當時，成立.綜上所述，實數的取值范圍為.19．【正確答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）求導，利用導函數的符號分析函數的單