/福建省龍巖市2024_2025學年高二下冊第一次月考（2月）數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．若物體的運動方程是，時物體的瞬時速度是（）A．33 B．31 C．39 D．272．經過點，且方向向量為的直線方程是（

）A． B．C． D．3．若直線和直線互相垂直，則A．或 B．3或1 C．或1 D．或34．方程(x+y-1)=0所表示的曲線是

A．

B．

C．

D．

5．若等比數列的前n項和為，且，為與的等差中項，則(

)A．29 B．33 C．31 D．306．某學校寒假期間安排3名教師與4名學生去北京、上海參加研學活動，每地要求至少1名教師與2名學生，且教師甲不去上海，則分配方案有（

）A．36種 B．24種 C．18種 D．12種7．已知拋物線，直線，過拋物線的焦點作直線的垂線，垂足為，若點是拋物線上的動點，則的最小值為（

）A．3 B．4 C． D．8．已知中心在原點，焦點在軸上，且離心率為的橢圓與經過點的直線交于兩點，若點在橢圓內，的面積被軸分成兩部分，且與的面積之比為，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知，則（

）A．展開式中所有項的二項式系數和為B．展開式中所有奇次項系數和為C．展開式中所有偶次項系數和為D．10．設，過定點的動直線，和過定點的動直線交于點是圓上的任意一點，則下列說法正確的有（

）A．直線與圓相切時B．到距離的最大值是C．直線與圓相交的最短弦長為D．的最大值為11．已知是數列的前項和，，則（

）A．B．當時，C．當時，為等差數列D．當數列單調遞增時，的取值范圍是三、填空題（本大題共3小題）12．已知函數是定義在R上的函數，，且曲線在點處的切線斜率為，則.13．設橢圓的左右焦點為，，過點的直線與該橢圓交于，兩點，若線段的中垂線過點，則．14．雙曲線：的左、右焦點分別為，，過的直線與的左、右兩支分別交于，兩點，點在軸上，，平分，則的漸近線方程為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知的展開式中，所有項的系數之和是512．(1)求展開式中含項的系數；(2)求的展開式中的常數項.16．已知圓，直線l過點．(1)若直線l被圓M所截得的弦長為，求直線l的方程；(2)若直線l與圓M交于另一點B，與x軸交于點C，且A為BC的中點，求直線l的方程．17．已知數列的前n項和為，，.(1)證明：數列為等比數列；(2)設，求數列的前n項和；(3)是否存在正整數p，q（），使得，，成等差數列？若存在，求p，q；若不存在，說明理由.18．已知雙曲線的離心率為，且該雙曲線經過點.(1)求雙曲線C：方程；(2)設斜率分別為，的兩條直線，均經過點，且直線，與雙曲線C分別交于A，B兩點（A，B異于點Q），若，試判斷直線AB是否經過定點，若存在定點，求出該定點坐標；若不存在，說明理由.19．已知表示數列，，，…，中最大的項，按照以下方法：，，，…，得到新數列，則稱新數列為數列的“數列”．(1)已知數列僅有5項，各項互不相等，，且，請寫出所有的“數列”；(2)若滿足，，且數列為等差數列，的“數列”為．（ⅰ）求；（ⅱ）求的前n項和．

答案1．【正確答案】A【詳解】物體的運動方程是,則.當時,代入函數得到，答案為A.2．【正確答案】A【詳解】直線的方向向量為，直線的斜率，直線的方程為，即.3．【正確答案】C【詳解】因為直線和直線互相垂直，所以，解方程可得或，故選C.4．【正確答案】D【詳解】試題分析：由題意得方程，得或，且，所以方程所表示的曲線為選項D，故選D．5．【正確答案】D【詳解】設等比數列的等比為，由，為與的等差中項得，所以，，故.故選D.6．【正確答案】C【詳解】當教師甲與2名學生去北京時，分配方案共有（種）；當教師甲與另一名教師及2名學生去北京時，分配方案共有（種），綜上，分配方案共有（種）.故選C.7．【正確答案】C【詳解】因為直線，即，過定點，記作點A，因為，垂足為，所以，又，故點P的軌跡為以為直徑的圓，半徑，圓心為，記作點B，又因為Q在拋物線上，其準線為，所以等于Q到準線的距離，過點Q做準線的垂線，垂足為R，要使取到最小，即最小，此時，三點共線，且三點連線后直線過圓心B，如圖所示，此時.故選C..【名師點撥】本題用拋物線的焦半徑公式：設AB是過拋物線y2=2px(p>0)焦點F的一條弦,A(x1,y1),B(x2,y2),則拋物線中的焦半徑:過A作AA'⊥l于A'(l為準線),則|AF|=|AA'|=xA8．【正確答案】D【詳解】設橢圓的方程為，直線的方程為，，聯立整理得：，由橢圓的離心率，得，帶入上式并整理得：，則，由與的面積之比為，則，則，所以的面積為，當且僅當時，等號成立，故面積的最大值為故選.9．【正確答案】ABD【詳解】對于A，二項式系數之和為，故A正確；對于B，令，得，①令，得，②①+②，可得，∴，故B正確；對于C，①-②，得，∴，故C錯誤；對于D，令，得，令，得．∴，故D正確．故選ABD.10．【正確答案】BC【詳解】顯然當時直線也與圓相切，故錯誤；直線過的定點為，當時到的距離最大，最大值為，此時到距離的最大值為，故B正確；由圓的標準方程可得圓心為，半徑，直線過的定點為，當時所得弦長最短，則，又，所以，得，則圓心到直線的距離為，所以弦長為，故正確；由，當時，，有，當時，，則，所以，又點是兩直線的交點，所以，所以，法一：設，則，因為，所以，所以，故D錯誤.法二：因為，所以，當且僅當時等號成立，故D錯誤.故選BC.11．【正確答案】BD【詳解】對于A，因為，當，，兩式相減得，但當時，，即，得，不符合，故A錯誤；對于B，結合A選項有，所以，兩式相減得，又，令，則，，得，又，所以，令，則，，得，所以，則，所以，所以奇數項是以為首項，2為公差的等差數列，偶數項是以為首項，2為公差的等差數列，則，所以B正確；對于C，結合B選項有，，，又，則，，即數列的偶數項和奇數項都是等差數列，但數列為，所以數列不是等差數列，故C錯誤；對于D，結合選項C有，，又數列單調遞增，則必有，且，所以，且，解得，所以的取值范圍是，所以D正確．故選BD．12．【正確答案】【詳解】因為，根據題意有，解得.13．【正確答案】【詳解】設線段的中垂線與相交于點，由橢圓方程可知，，，；由已知有：，點在橢圓上，根據橢圓定義有：，所以，，在中，，，，點在橢圓上，根據橢圓定義有：，設，則，，在中由余弦定理有：,解得，即.14．【正確答案】．【詳解】根據題意，作出如下所示的圖形，由題可知，，由，∴∽，∴，設，則，∵平分，∴，∴，，，由雙曲線的定義知，，∴，即①，，∴，∴，即是等邊三角形，∴，在中，由余弦定理知，，即，化簡得，②，由①②可得，，則，可得雙曲線的漸近線方程為．15．【正確答案】(1)27(2)【詳解】（1）因為的展開式中，所有項的系數之和是512．所以令，得，所以，所以的展開式通項公式為，令，解得，所以展開式中含項為，所以展開式中含項的系數為27.（2）由（1）知，，從而，因為的展開式的通項為，所以的常數項為，又的常數項為，所以的展開式中的常數項為.16．【正確答案】(1)或(2)【詳解】（1）由題意可知：圓的圓心為，半徑，若直線l被圓M所截得的弦長為，則圓心到直線的距離為.當直線斜率不存在時，與圓相切，不符合題意，舍去；當直線斜率存在時，設直線，即，可得，所以，則直線l方程為或.（2）設，因為A為BC中點，則，由B在圓M上得，解得，則，所以直線，即直線．17．【正確答案】(1)證明見解析；(2)；(3)存在，.【分析】（1）利用給定的遞推公式，結合及等比數列定義推理即得.（2）由（1）求出，再利用裂項相消法求和即可.（3）由（1）求出，由已知建立等式，驗證計算出，再分析求解即可.【詳解】（1），，當時，，兩式相減得，即，則有，當時，，則，即，所以數列是以1為首項，為公比的等比數列.（2）由（1）得，，則，數列是等差數列，于是，解得，則，所以的前項和.（3）由（1）知，，由成等差數列，得，整理得，由，得，又，，不等式成立，因此，即，令，則,從而，顯然，即，所以存在，使得成等差數列.18．【正確答案】(1)(2)過定點，（0，1）【詳解】（1）離心率為，則，，即雙曲線方程為.又點在雙曲線C上，所以，解得，，所以雙曲線C的方程為.（2）當直線AB的斜率不存在時，點A，B關于x軸對稱，設，，則由，解得，即，解得，不符合題意，所以直線AB的斜率存在.不妨設直線AB的方程為，代入，整理得，設，，則，由，得，即，整理得，所以，整理得：，即，所以或.當時，直線AB的方程為，經過定點；當時，直線AB的方程為，經過定點，不符合題意.綜上，直線AB過定點（0，1）.19．【正確答案】(1)5，5，5，5，1或5，5，5，5，2或5，5，5，5，3或5，5，5，5，4．(2)（ⅰ）；（ⅱ）【詳解】（1）因為數列an僅有5項，各項均為互不相等的正整數，且，，所以，，若，此時“數列”bn為5，5，5，5，1；若，此時“數列”bn為5，5，5，5，2；若，此時“數列”bn為5，5，5，5，3；若，此時“數列”bn為5，5，5，5，4，所以根據“數列”的定義可知bn有4個，分別為5，5，5，5，1或5，5，5，5