/福建省福州市2025屆高三下冊第一次月考數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．在二項式的展開式中，常數項為（

）A．180 B．270 C．360 D．5403．若復數滿足，則在復平面內所對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．已知平面向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．關于的一元二次方程有實數解的一個必要不充分條件的是（

）A． B． C． D．6．函數被稱為“對勾函數”，它可以由雙曲線旋轉得到，已知直線和直線是函數的漸近線，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．7．曲線與交點個數是（

）A．3 B．4 C．5 D．68．圖①是底面邊長為2的正四棱柱，直線經過其上，下底面中心，將其上底面繞直線順時針旋轉，得圖②，若為正三角形，則圖②所示幾何體外接球的表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知，則下列不等式正確的是（）A． B． C． D．10．若函數，則（

）A．的極大值點為2B．有且僅有2個零點C．點是的對稱中心D．11．數學家笛卡爾研究了很多曲線，傳說笛卡爾給公主克里斯蒂娜寄的最后一封信上只有一個數學表達式：，克里斯蒂娜用極坐標知識畫出了該曲線圖象“心形線”，明白了笛卡爾的心意.已知利用關系式和可將信中表達式轉化為直角坐標系下的曲線方程.如圖，該曲線圖象過點，則（

）A．B．曲線經過點C．當點在曲線上時，D．當點在曲線上時，三、填空題（本大題共3小題）12．記為等差數列的前n項和，若，則公差．13．某市統計高中生身體素質狀況，規定身體素質指標值在內就認為身體素質合格，在[60，84]內就認為身體素質良好，在內就認為身體素質優秀，現從全市隨機抽取100名高中生的身體素質指標值，經計算．若該市高中生的身體素質指標值服從正態分布，則估計該市高中生身體素質良好的概率為．（用百分數作答，精確到）參考數據：若隨機變量服從正態分布，則，．14．已知橢圓，過軸正半軸上一定點作直線，交橢圓于兩點，當直線繞點旋轉時，有（為常數），則定點的坐標為，.四、解答題（本大題共5小題）15．已知的內角所對的邊分別為，且(1)求角A；(2)若為邊上一點，為的平分線，且，求的面積16．如圖，在正三棱柱中，.(1)證明：平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.17．已知為數列的前項和，為數列的前項和，.(1)求的通項公式；(2)若，求的最大值；18．已知平面內一動圓過點，且該圓被軸截得的弦長為4，設其圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)梯形的四個頂點均在曲線上，，對角線與交于點.求直線的斜率；19．閱讀以下材料：①設為函數的導函數.若在區間D單調遞增；則稱為區上的凹函數；若在區間上單調遞減，則稱為區間上的凸函數.②平面直角坐標系中的點稱為函數的“切點”，當且僅當過點恰好能作曲線的條切線，其中.(1)已知函數.（i）當時，討論的凹凸性；（ii）當時，點在軸右側且為的“3切點”，求點的集合；(2)已知函數，點在軸左側且為的“3切點”，寫出點的集合（不需要寫出求解過程）.

答案1．【正確答案】C【分析】分別求出兩個集合后根據交集定義求解.【詳解】，，即．故選C.2．【正確答案】A【詳解】二項式的展開式的通項公式為，令，解得，所以常數項為.故選A.3．【正確答案】D【分析】設，根據復數代數形式的加減運算化簡，再根據復數相等的充要條件得到方程組，即可求出、，最后根據復數的幾何意義判斷即可.【詳解】設，則，所以，又，所以，解得，所以，所以復數在復平面內所對應的點為，位于第四象限.故選D.4．【正確答案】A【詳解】，所以向量在向量上的投影向量為.故選A.5．【正確答案】A【詳解】關于的一元二次方程有實數解，則，解得，結合選項可知的一個必要不充分條件的是.故選A.6．【正確答案】B【詳解】因為直線和直線的夾角為，由題意可得雙曲線夾角為，而雙曲線的漸近線方程為，所以，則，解得（負值舍去），所以雙曲線的漸近線方程為.故選B.7．【正確答案】A【詳解】作出曲線與大致圖象，可知，而，由曲線與圖象知，曲線與有個交點.故選A.8．【正確答案】A【詳解】如圖，設正四棱柱的上下底面中心分別為點,過點作于點，連接，依題意，易得直角梯形,因為邊長為2的正三角形,則，且,又，則.設該幾何體外接球球心為點,半徑為,則點為的中點，則,在中，,于是該幾何體外接球的表面積為.故選A.9．【正確答案】ABC【詳解】因為，由基本不等式可得，當且僅當時等號成立，又，所以，當且僅當時等號成立，A正確；所以，當且僅當時等號成立，B正確；，當且僅當時等號成立，所以，D錯誤；因為，，所以，，故，，所以，C正確..故選ABC.10．【正確答案】BCD【詳解】函數的定義域為R，求導得，由，得或；由，得，則函數在上單調遞增，在上單調遞減，作出其圖象.由圖知，函數在處取得極大值，只有一個極大值點，故A錯誤；函數在處取得極小值，且當時，，則有且僅有2個零點，故B正確；因，則點是圖象的對稱中心，故C正確；因，故D正確.故選BCD.11．【正確答案】ABD【詳解】因為，所以，利用關系式得，…（*）A選項：因為曲線圖象過點，所以此時，代入（*）得，所以，故A正確；B選項：因為，所以（*）化為，所以直角坐標系下的曲線方程為，代入點滿足，故B正確；C選項：，設，則，令，得或，時，，所以，時，，則有極值，由對稱性，所以，故C錯誤；D選項：方法1：由兩邊平方整理得:，令，則（*），由判別式，得.令，由于方程（*）在有解，（1）當對稱軸，即或時，由得，所以；（2）當對稱軸，即時，由，得，所以，綜上，.故D正確.方法2：，所以.故D正確.故選ABD.12．【正確答案】1【詳解】∵，∴，∴，∴，∴.13．【正確答案】【詳解】因為100個數據的平均值，方差所以的估計值為的估計值為.設該市高中生的身體素質指標值為，由，得.14．【正確答案】6【詳解】設點，，當直線的斜率不為時，設其方程為，代入橢圓方程并整理可得，，所以，因為當直線繞點旋轉時，有（為常數），當時，，當時，，所以，解得，所以，代入，當直線的斜率為0時也成立，經檢驗，符合題意.故；6.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，且，即，整理可得，且，則，可得，又因為，則，可得，所以.（2）因為為的平分線，則，因為，則，即，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），所以的面積.16．【正確答案】(1)證明見詳解；(2).【詳解】（1）記的中點為，連接，因為分別為的中點，為正三棱柱，所以平面，又平面，所以，因為為正三角形，所以，以為原點，分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，因為，所以，又平面，所以平面.（2）因為，所以，所以，由（1）知，是平面的一個法向量，記直線與平面所成角為，則，令，則，當且僅當，即時等號成立，所以，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.17．【正確答案】(1)(2)5【詳解】（1）由，得，所以數列為等差數列，所以，所以.又，所以，設的公差為，即解得所以的通項公式是（2）由（1）知，所以令，得，設，則數列是遞增數列.又，所以的最大值為5.18．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）設圓心為，由題意可得：，整理可得，所以曲線的方程為.（2）由題意可知：直線的斜率不為0，設，聯立方程，消去可得，則，可得，可知直線，聯立方程，消去可得，由題意可知：，即，且，可得，同理可得.則因為，則，即，整理可得，由題意可知：點不在直線上，則，即，可得，即，所以直線的斜率；19．【正確答案】(1)（i）答案見解析；（ii）或(2)點的集合為或或【詳解】（1）因為，所以，令，所以.（i）當時，，令，解得；令，解得；故為區間上的凹函數，為區間上的凸函數；當時，令，解得，令，解得或，故為區間上的凹函數，為區間和上的凸函數；當時，，故為區間上的凸函數；.當時，令，解得，令，解得或，故為區間上的凹函數，為區間和上的凸函數；綜上所述，當時，為區間上的凹函數，為區間和上的凸函數；當時，為區間上的凸函數；當時，為區間上的凹函數，為區間和上的凸函數；