§3.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高考文數(shù)

(課標(biāo)Ⅱ?qū)Ｓ?考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值1.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,12,5分)若函數(shù)f(x)=x-

sin2x+asinx在(-∞,+∞)單調(diào)遞增,則a的取值范圍是

()A.[-1,1]

B.

C.

D.

五年高考A組統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組答案

C

f'(x)=1-

cos2x+acosx=1-

(2cos2x-1)+acosx=-

cos2x+acosx+

,f(x)在R上單調(diào)遞增,則f'(x)≥0在R上恒成立,令cosx=t,t∈[-1,1],則-

t2+at+

≥0在[-1,1]上恒成立,即4t2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,令g(t)=4t2-3at-5,則

解得-

≤a≤

,故選C.疑難突破

由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍,利用導(dǎo)數(shù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題,再利用二次函數(shù)來(lái)

解決.評(píng)析本題考查由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍,利用導(dǎo)數(shù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題,再利用二次函

數(shù)來(lái)解決即可.2.(2014課標(biāo)Ⅱ,11,5分,0.474)若函數(shù)f(x)=kx-lnx在區(qū)間(1,+∞)單調(diào)遞增,則k的取值范圍是

(

)A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)

D.[1,+∞)答案

D依題意得f'(x)=k-

≥0在(1,+∞)上恒成立,即k≥

在(1,+∞)上恒成立,∵x>1,∴0<

<1,∴k≥1,故選D.3.(2013課標(biāo)Ⅱ,11,5分,0.371)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是

()A.?x0∈R,f(x0)=0B.函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對(duì)稱圖形C.若x0是f(x)的極小值點(diǎn),則f(x)在區(qū)間(-∞,x0)單調(diào)遞減D.若x0是f(x)的極值點(diǎn),則f'(x0)=0答案

C若y=f(x)有極值點(diǎn),則其導(dǎo)數(shù)y=f'(x)必有2個(gè)零點(diǎn),設(shè)為x1,x2(x1<x2),則有f'(x)=3x2+2ax+b

=3(x-x1)(x-x2),所以f(x)在(-∞,x1)上遞增,在(x1,x2)上遞減,在(x2,+∞)上遞增,則x2為極小值點(diǎn),所以C

項(xiàng)錯(cuò)誤.故選C.知識(shí)拓展

定義域?yàn)镽的三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的圖象是一個(gè)“N”形,因此總有零

點(diǎn),其對(duì)稱中心也總是唯一存在的,就是使其二階導(dǎo)數(shù)為0的那個(gè)點(diǎn)

.評(píng)析本題考查了三次函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值.掌握基本

初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.4.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,21,12分)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.解析(1)f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).(i)設(shè)a≥0,則當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

(2分)(ii)設(shè)a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).①若a=-

,則f'(x)=(x-1)(ex-e),所以f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.②若a>-

,則ln(-2a)<1,故當(dāng)x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x∈(ln(-2a),1)時(shí),f'(x)<0.所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(ln(-2a),1)上單調(diào)遞減.

(4分)③若a<-

,則ln(-2a)>1,故當(dāng)x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x∈(1,ln(-2a))時(shí),f'(x)<0.所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)上單調(diào)遞增,在(1,ln(-2a))上單調(diào)遞減.

(6分)(2)(i)設(shè)a>0,則由(1)知,f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b滿足b<0且b<ln

,則f(b)>

(b-2)+a(b-1)2=a

>0,所以f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

(8分)(ii)設(shè)a=0,則f(x)=(x-2)ex,所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

(9分)(iii)設(shè)a<0,若a≥-

,則由(1)知,f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,又當(dāng)x≤1時(shí)f(x)<0,故f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn);

(10分)若a<-

,則由(1)知,f(x)在(1,ln(-2a))上單調(diào)遞減,在(ln(-2a),+∞)上單調(diào)遞增,又當(dāng)x≤1時(shí)f(x)<0,故f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn).

(11分)綜上,a的取值范圍為(0,+∞).

(12分)疑難突破

(1)分類討論時(shí)臨界點(diǎn)的選取是關(guān)鍵,易忽略a=-

的情形.(2)在討論a>0時(shí)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)時(shí),注意利用不等式的放縮.評(píng)析本題考查函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn),解題時(shí)要認(rèn)真審題、仔細(xì)解答,注意分類討論和

等價(jià)轉(zhuǎn)化.5.(2015課標(biāo)Ⅱ,21,12分,0.185)已知函數(shù)f(x)=lnx+a(1-x).(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)f(x)有最大值,且最大值大于2a-2時(shí),求a的取值范圍.解析(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=

-a.若a≤0,則f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.若a>0,則當(dāng)x∈

時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x∈

時(shí),f'(x)<0.所以f(x)在

上單調(diào)遞增,在

上單調(diào)遞減.(2)由(1)知,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在(0,+∞)上無(wú)最大值;當(dāng)a>0時(shí),f(x)在x=

處取得最大值,最大值為f

=ln

+a

=-lna+a-1.因此f

>2a-2等價(jià)于lna+a-1<0.令g(a)=lna+a-1,則g(a)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,g(1)=0.于是,當(dāng)0<a<1時(shí),g(a)<0;當(dāng)a>1時(shí),g(a)>0.因此,a的取值范圍是(0,1).思路分析

(1)求導(dǎo)之后對(duì)a進(jìn)行分類討論.(2)利用(1)知,當(dāng)且僅當(dāng)a>0時(shí),f(x)有最大值,求出最大

值,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式問(wèn)題.6.(2013課標(biāo)Ⅱ,21,12分,0.091)已知函數(shù)f(x)=x2e-x.(1)求f(x)的極小值和極大值;(2)當(dāng)曲線y=f(x)的切線l的斜率為負(fù)數(shù)時(shí),求l在x軸上截距的取值范圍.解析(1)由題意知,f(x)的定義域?yàn)镽,因?yàn)閒'(x)=e-x·(2x-x2),所以令f'(x)=e-x(2x-x2)>0得:x2-2x<0,解得

0<x<2;令f'(x)<0,解得x<0或x>2,所以當(dāng)x=0時(shí),f(x)極小值=0;當(dāng)x=2時(shí),f(x)極大值=4e-2.(2)由題意知,f'(x)=e-x(2x-x2)<0,即x<0或x>2,所以曲線y=f(x)在x=t處的切線方程為y-f(t)=f'(t)(x-t),

令y=0,得x=t+

=t-2+

+3其中t∈(-∞,0)∪(2,+∞).記h(x)=x+

(x∈(-∞,-2)∪(0,+∞)),則由其單調(diào)性及基本不等式得:h(x)∈(-∞,-3)∪[2

,+∞),從而切線在x軸上的截距的取值范圍是(-∞,0)∪[2

+3,+∞).7.(2013課標(biāo)Ⅰ,20,12分,0.207)已知函數(shù)f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程

為y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)討論f(x)的單調(diào)性,并求f(x)的極大值.解析(1)f'(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4,f'(0)=4,故b=4,a+b=8.從而a=4,b=4.(2)由(1)知f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,f'(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)

.令f'(x)=0,得x=-ln2或x=-2.從而當(dāng)x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x∈(-2,-ln2)時(shí),f'(x)<0.故f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上單調(diào)遞增,在(-2,-ln2)上單調(diào)遞減.當(dāng)x=-2時(shí),函數(shù)f(x)取得極大值,極大值為f(-2)=4(1-e-2).評(píng)析利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題應(yīng)該注意:單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間,所以求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間,首先要求函數(shù)的定義域,因?yàn)楹瘮?shù)求導(dǎo)之后,自變量的取值范圍可能會(huì)發(fā)生變化,如f(x)=lnx的定義域?yàn)?0,+∞),而其導(dǎo)函數(shù)為f'(x)=

,其定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞).考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用1.(2014課標(biāo)Ⅰ,12,5分,0.248)已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0>0,則a的取值

范圍是

()A.(2,+∞)

B.(1,+∞)

C.(-∞,-2)

D.(-∞,-1)答案

C

a=0時(shí),不符合題意.a≠0時(shí),f'(x)=3ax2-6x,令f'(x)=0,得x1=0,x2=

.若a>0,則由圖象知f(x)有負(fù)數(shù)零點(diǎn),不符合題意.則a<0,由圖象結(jié)合f(0)=1>0知,此時(shí)必有f

>0,即a×

-3×

+1>0,化簡(jiǎn)得a2>4,又a<0,所以a<-2,故選C.評(píng)析本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用,同時(shí)考查分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想,要求有較強(qiáng)的分

析問(wèn)題及運(yùn)算的能力.2.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,21,12分)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)a<0時(shí),證明f(x)≤-

-2.解析(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=

+2ax+2a+1=

.若a≥0,則當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增.若a<0,則當(dāng)x∈

時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x∈

時(shí),f'(x)<0,故f(x)在

單調(diào)遞增,在

單調(diào)遞減.(2)由(1)知,當(dāng)a<0時(shí),f(x)在x=-

取得最大值,最大值為f

=ln

-1-

.所以f(x)≤-

-2等價(jià)于ln

-1-

≤-

-2,即ln

+

+1≤0.設(shè)g(x)=lnx-x+1,則g'(x)=

-1.當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g'(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g'(x)<0.所以g(x)在(0,1)單調(diào)遞增,在(1,+∞)單調(diào)遞減.故當(dāng)x=

1時(shí),g(x)取得最大值,最大值為g(1)=0.所以當(dāng)x>0時(shí),g(x)≤0.從而當(dāng)a<0時(shí),ln

+

+1≤0,即f(x)≤-

-2.3.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,21,12分)已知函數(shù)f(x)=ex(ex-a)-a2x.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)≥0,求a的取值范圍.解析本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值.(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞),f'(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).①若a=0,則f(x)=e2x,在(-∞,+∞)單調(diào)遞增.②若a>0,則由f'(x)=0得x=lna.當(dāng)x∈(-∞,lna)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(lna,+∞)時(shí),f'(x)>0.故f(x)在(-∞,lna)單調(diào)遞減,在(lna,+∞)單調(diào)遞增.③若a<0,則由f'(x)=0得x=ln

.當(dāng)x∈

時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈

時(shí),f'(x)>0.故f(x)在

單調(diào)遞減,在

單調(diào)遞增.(2)①若a=0,則f(x)=e2x,所以f(x)≥0.②若a>0,則由(1)得,當(dāng)x=lna時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f(lna)=-a2lna,從而當(dāng)且僅當(dāng)-a2lna≥0,即a≤1時(shí),f(x)≥0.③若a<0,則由(1)得,當(dāng)x=ln

時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f

=a2

.從而當(dāng)且僅當(dāng)a2

≥0,即a≥-2

時(shí),f(x)≥0.綜上,a的取值范圍是[-2

,1].4.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,21,12分)設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≤ax+1,求a的取值范圍.解析本題考查函數(shù)的單調(diào)性,恒成立問(wèn)題.(1)f'(x)=(1-2x-x2)ex.令f'(x)=0,得x=-1-

或x=-1+

.當(dāng)x∈(-∞,-1-

)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(-1-

,-1+

)時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x∈(-1+

,+∞)時(shí),f'(x)<0.所以f(x)在(-∞,-1-

),(-1+

,+∞)單調(diào)遞減,在(-1-

,-1+

)單調(diào)遞增.(2)f(x)=(1+x)(1-x)ex.當(dāng)a≥1時(shí),設(shè)函數(shù)h(x)=(1-x)ex,h'(x)=-xex<0(x>0),因此h(x)在[0,+∞)單調(diào)遞減,而h(0)=1,故h(x)≤1,所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1.當(dāng)0<a<1時(shí),設(shè)函數(shù)g(x)=ex-x-1,g'(x)=ex-1>0(x>0),所以g(x)在[0,+∞)單調(diào)遞增,而g(0)=0,故ex≥x+1.當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)>(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=

,則x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)>ax0+1.當(dāng)a≤0時(shí),取x0=

,則x0∈(0,1),f(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1.綜上,a的取值范圍是[1,+∞).解題思路

(1)求f'(x),令f'(x)>0,求出f(x)的單調(diào)增區(qū)間,令f'(x)<0,求出f(x)的單調(diào)減區(qū)間.(2)對(duì)參數(shù)a的取值進(jìn)行分類討論,當(dāng)a≥1時(shí),構(gòu)造函數(shù)可知(1-x)·ex≤1,所以f(x)=(x+1)(1-x)·ex≤x+1

≤ax+1成立;當(dāng)0<a<1時(shí),構(gòu)造函數(shù)可知ex≥x+1,通過(guò)舉反例x0=

,f(x0)>ax0+1,從而說(shuō)明命題不成立;當(dāng)a≤0時(shí),舉反例x0=

說(shuō)明不等式不成立.疑難突破

(1)求單調(diào)區(qū)間的一般步驟:①求定義域;②求f'(x),令f'(x)>0,求出f(x)的增區(qū)間,令f'(x)

<0,求出f(x)的減區(qū)間;③寫(xiě)出結(jié)論,注意單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連接.(2)恒成立問(wèn)題的三種常見(jiàn)解法:①分離參數(shù),化為最值問(wèn)題求解,如a≥φ(x)max或a≤φ(x)min;②構(gòu)造

函數(shù),分類討論,如f(x)≥g(x),即F(x)=f(x)-g(x),求F(x)min≥0;③轉(zhuǎn)變主元,選取適當(dāng)?shù)闹髟墒箚?wèn)題

簡(jiǎn)化.5.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,21,12分)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-x+1.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)證明當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),1<

<x;(3)設(shè)c>1,證明當(dāng)x∈(0,1)時(shí),1+(c-1)x>cx.解析(1)由題設(shè)知,f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=

-1,令f'(x)=0,解得x=1.當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>1時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.

(4分)(2)證明:由(1)知f(x)在x=1處取得最大值,最大值為f(1)=0.所以當(dāng)x≠1時(shí),lnx<x-1.故當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),lnx<x-1,ln

<

-1,即1<

<x.

(7分)(3)證明:由題設(shè)c>1,設(shè)g(x)=1+(c-1)x-cx,則g'(x)=c-1-cxlnc,令g'(x)=0,解得x0=

.當(dāng)x<x0時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>x0時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

(9分)由(2)知1<

<c,故0<x0<1.又g(0)=g(1)=0,故當(dāng)0<x<1時(shí),g(x)>0.所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),1+(c-1)x>cx.

(12分)疑難突破

在(3)中,首先要解方程g'(x)=0,為了判定g(x)的單調(diào)性,必須比較極值點(diǎn)x0與區(qū)間(0,1)

的關(guān)系,注意到g(0)=g(1)=0是求解本題的突破點(diǎn).評(píng)析本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用及不等式的證明.6.(2015課標(biāo)Ⅰ,21,12分,0.080)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)證明:當(dāng)a>0時(shí),f(x)≥2a+aln

.解析(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=2e2x-

(x>0).當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)>0,f'(x)沒(méi)有零點(diǎn);當(dāng)a>0時(shí),因?yàn)閥=e2x單調(diào)遞增,y=-

單調(diào)遞增,所以f'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.又f'(a)>0,當(dāng)b滿足0<b<

且b<

時(shí),f'(b)<0,故當(dāng)a>0時(shí),f'(x)存在唯一零點(diǎn).

(6分)(2)證明:由(1),可設(shè)f'(x)在(0,+∞)上的唯一零點(diǎn)為x0,當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),f'(x)>0.故f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=x0時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f(x0).由于2

-

=0,所以f(x0)=

+2ax0+aln

≥2a+aln

.故當(dāng)a>0時(shí),f(x)≥2a+aln

.

(12分)評(píng)析本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)零點(diǎn)及利用導(dǎo)數(shù)研究不等式,考查分類討論思想,是綜合性

較強(qiáng)的題,屬難題!7.(2014課標(biāo)Ⅱ,21,12分,0.164)已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+2,曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線與x軸交點(diǎn)

的橫坐標(biāo)為-2.(1)求a;(2)證明:當(dāng)k<1時(shí),曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn).解析(1)f'(x)=3x2-6x+a,f'(0)=a,曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線方程為y=ax+2.由題設(shè)得-

=-2,所以a=1.(2)證明:由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2.設(shè)g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4.由題設(shè)知1-k>0.當(dāng)x≤0時(shí),g'(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)單調(diào)遞增,g(-1)=k-1<0,g(0)=4,所以g(x)=0在(-∞,0]上有唯一實(shí)

根.當(dāng)x>0時(shí),令h(x)=x3-3x2+4,則g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).h'(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)>h(x)≥h(2)=0.所以g(x)=0在(0,+∞)上沒(méi)有實(shí)根.綜上,g(x)=0在R上有唯一實(shí)根,即曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn).思路分析

(1)求導(dǎo)之后得到函數(shù)f(x)在(0,2)處的切線方程,利用題設(shè)條件求得a的值.(2)引入輔

助函數(shù)g(x)=f(x)-kx+2,將待證結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)g(x)只有一個(gè)零點(diǎn),再利用函數(shù)的單調(diào)性和極

值完成證明.評(píng)析本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查了分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化

等思想方法.把曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)g(x)=x3-3x2+(1-k)x+

4在R上有唯一實(shí)根問(wèn)題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.8.(2014課標(biāo)Ⅰ,21,12分,0.196)設(shè)函數(shù)f(x)=alnx+

x2-bx(a≠1),曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為0.(1)求b;(2)若存在x0≥1,使得f(x0)<

,求a的取值范圍.解析(1)f'(x)=

+(1-a)x-b.由題設(shè)知f'(1)=0,解得b=1.(2)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),由(1)知,f(x)=alnx+

x2-x,f'(x)=

+(1-a)x-1=

(x-1).(i)若a≤

,則

≤1,故當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.所以,存在x0≥1,使得f(x0)<

的充要條件為f(1)<

,即

-1<

,解得-

-1<a<

-1.(ii)若

<a<1,則

>1,故當(dāng)x∈

時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈

時(shí),f'(x)>0.f(x)在

上單調(diào)遞減,在

上單調(diào)遞增.所以,存在x0≥1,使得f(x0)<

的充要條件為f

<

.而f

=aln

+

+

>

,所以不合題意.(iii)若a>1,則f(1)=

-1=

<

.綜上,a的取值范圍是(-

-1,

-1)∪(1,+∞).評(píng)析本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,導(dǎo)數(shù)在解函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用等知識(shí),同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化和分類討

論的數(shù)學(xué)思想,對(duì)運(yùn)算能力及推理能力的要求較高.考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值1.(2017浙江,7,4分)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f‘(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是

(

)

B組自主命題·省（區(qū)、市）卷題組答案

D本題考查函數(shù)圖象的識(shí)辨,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值.不妨設(shè)導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的零點(diǎn)依次為x1,x2,x3,其中x1<0<x2<x3,由導(dǎo)函數(shù)圖象可知,y=f(x)在(-∞,x1)上

為減函數(shù),在(x1,x2)上為增函數(shù),在(x2,x3)上為減函數(shù),在(x3,+∞)上為增函數(shù),從而排除A,C.y=f(x)在x

=x1,x=x3處取到極小值,在x=x2處取到極大值,又x2>0,排除B,故選D.方法總結(jié)函數(shù)圖象的識(shí)辨方法:1.利用函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(如函數(shù)圖象與x軸、y軸的交點(diǎn),函數(shù)圖象上的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)來(lái)

識(shí)辨.2.利用函數(shù)的定義域,在某個(gè)區(qū)間上的值域來(lái)識(shí)辨.3.利用函數(shù)的單調(diào)性、極值(常用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷)和函數(shù)的周期性來(lái)識(shí)辨.4.利用函數(shù)的零點(diǎn)來(lái)識(shí)辨.5.利用函數(shù)的奇偶性來(lái)識(shí)辨,若函數(shù)是奇(或偶)函數(shù),則其圖象關(guān)于原點(diǎn)(或y軸)對(duì)稱.6.利用函數(shù)圖象的中心對(duì)稱和軸對(duì)稱來(lái)識(shí)辨.7.利用函數(shù)圖象的漸近線來(lái)識(shí)辨.如指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)(指數(shù)為負(fù))型函數(shù)(含反

比例函數(shù))、正切型函數(shù)等,其圖象都有漸近線.2.(2017山東,10,5分)若函數(shù)exf(x)(e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增,則

稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì).下列函數(shù)中具有M性質(zhì)的是

()A.f(x)=2-x

B.f(x)=x2

C.f(x)=3-x

D.f(x)=cosx答案

A本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.當(dāng)f(x)=2-x時(shí),ex·f(x)=ex·2-x=

,令y=

,則y'=

=

=

(1-ln2).∵ex>0,2x>0,ln2<1,∴y'>0.∴當(dāng)f(x)=2-x時(shí),ex·f(x)在f(x)的定義域上單調(diào)遞增,故具有M性質(zhì),易知B、C、D不具有M性質(zhì),故選

A.方法小結(jié)

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性的一般步驟:1.求f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x).2.令f'(x)>0(或f'(x)<0),得區(qū)間I.3.判斷單調(diào)性,當(dāng)x∈I時(shí),f(x)單調(diào)增(或減).3.(2016四川,6,5分)已知a為函數(shù)f(x)=x3-12x的極小值點(diǎn),則a=

()A.-4

B.-2

C.4

D.2x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗答案

D由題意可得f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),令f'(x)=0,得x=-2或x=2,則f'(x),f(x)隨x的變化情況如下表:∴函數(shù)f(x)在x=2處取得極小值,則a=2.故選D.評(píng)析本題考查了函數(shù)的極值問(wèn)題.正確理解函數(shù)的極值點(diǎn)的概念是解題的關(guān)鍵.4.(2013湖北,10,5分)已知函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

()A.(-∞,0)

B.

C.(0,1)

D.(0,+∞)答案

B函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=lnx+1-2ax.已知函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個(gè)極值點(diǎn),等價(jià)于lnx+1-2ax=0在(0,+∞)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

等價(jià)于函數(shù)h(x)=lnx的圖象與函數(shù)g(x)=2ax-1的圖象在(0,+∞)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn).設(shè)函數(shù)h(x)=lnx與函數(shù)g(x)=2ax-1的圖象相切于點(diǎn)A(m,lnm),其中m>0,函數(shù)g(x)的圖象在點(diǎn)A處的

切線的斜率為k=2a,函數(shù)h(x)的圖象在點(diǎn)A處的切線的斜率為k=

,∴2a=

.又∵直線g(x)=2ax-1過(guò)點(diǎn)(0,-1),∴k=

,∴

=

.解得m=1,∴當(dāng)函數(shù)h(x)與g(x)的圖象相切時(shí),a=

.∴a∈

.

評(píng)析本題考查函數(shù)的極值及函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn),考查學(xué)生對(duì)概念的理解能

力及對(duì)求函數(shù)零點(diǎn)的常用方法的掌握及運(yùn)用能力.本題關(guān)鍵在于將不能直接求得零點(diǎn)的問(wèn)題,通

過(guò)參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題.5.(2013福建,12,5分)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,x0(x0≠0)是f(x)的極大值點(diǎn),以下結(jié)論一定正確的是

()A.?x∈R,f(x)≤f(x0)B.-x0是f(-x)的極小值點(diǎn)C.-x0是-f(x)的極小值點(diǎn)D.-x0是-f(-x)的極小值點(diǎn)答案

D

f(x)與-f(-x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.故x0(x0≠0)是f(x)的極大值點(diǎn)時(shí),-x0是-f(-x)的極小值

點(diǎn).故選D.6.(2017江蘇,11,5分)已知函數(shù)f(x)=x3-2x+ex-

,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若f(a-1)+f(2a2)≤0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.答案

解析本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用.易知函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.∵f(x)=x3-2x+ex-

,∴f(-x)=(-x)3-2(-x)+e-x-

=-x3+2x+

-ex=-f(x),∴f(x)為奇函數(shù),又f'(x)=3x2-2+ex+

≥3x2-2+2=3x2≥0(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),取“=”),從而f(x)在R上單調(diào)遞增,所以f(a-1)+f(2a2)≤0?f(a-1)≤f(-2a2)?-2a2≥a-1,解得-1≤a≤

.方法小結(jié)函數(shù)不等式的求解思路:(1)轉(zhuǎn)化為f(φ(x))≤f(g(x));(2)結(jié)合單調(diào)性轉(zhuǎn)化為φ(x)≤g(x)或φ(x)≥g(x).7.(2015陜西,15,5分)函數(shù)y=xex在其極值點(diǎn)處的切線方程為

.答案

y=-

解析由y=xex可得y'=ex+xex=ex(x+1),從而可得y=xex在(-∞,-1)上遞減,在(-1,+∞)上遞增,所以當(dāng)x=

-1時(shí),y=xex取得極小值-e-1,因?yàn)閥'|x=-1=0,故切線方程為y=-e-1,即y=-

.8.(2017北京,20,13分)已知函數(shù)f(x)=excosx-x.(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間

上的最大值和最小值.解析本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值.(1)因?yàn)閒(x)=excosx-x,所以f'(x)=ex(cosx-sinx)-1,f'(0)=0.又因?yàn)閒(0)=1,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=1.(2)設(shè)h(x)=ex(cosx-sinx)-1,則h'(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx.當(dāng)x∈

時(shí),h'(x)<0,所以h(x)在區(qū)間

上單調(diào)遞減.所以對(duì)任意x∈

有h(x)<h(0)=0,即f'(x)<0.所以函數(shù)f(x)在區(qū)間

上單調(diào)遞減.因此f(x)在區(qū)間

上的最大值為f(0)=1,最小值為f

=-

.解題思路

(1)先求導(dǎo),再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,最后利用點(diǎn)斜式求出切線方程.

(2)設(shè)h(x)=ex(cosx-sinx)-1,對(duì)h(x)求導(dǎo),進(jìn)而確定h(x)的單調(diào)性,最后求出最值.方法總結(jié)

1.求切線方程問(wèn)題:(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出指定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值,即切線的斜率;

(2)求出指定點(diǎn)處的函數(shù)值;(3)求出切線方程.2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性:(1)求出函數(shù)f(x)的定義域;(2)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x);(3)令f'(x)>0得到f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間,令f'(x)<0得到f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間.9.(2017江蘇,20,16分)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有極值,且導(dǎo)函數(shù)f'(x)的極值點(diǎn)是f(x)

的零點(diǎn).(極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值)(1)求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出定義域;(2)證明:b2>3a;(3)若f(x),f'(x)這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于-

,求a的取值范圍.解析本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究初等函數(shù)的單調(diào)性、極值及零點(diǎn)問(wèn)題,考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)

思想方法分析與解決問(wèn)題以及邏輯推理能力.(1)由f(x)=x3+ax2+bx+1,得f'(x)=3x2+2ax+b=3

+b-

.當(dāng)x=-

時(shí),f'(x)有極小值b-

.因?yàn)閒'(x)的極值點(diǎn)是f(x)的零點(diǎn),所以f

=-

+

-

+1=0,又a>0,故b=

+

.因?yàn)閒(x)有極值,故f'(x)=0有實(shí)根,從而b-

=

(27-a3)≤0,即a≥3.當(dāng)a=3時(shí),f'(x)>0(x≠-1),故f(x)在R上是增函數(shù),f(x)沒(méi)有極值;當(dāng)a>3時(shí),f'(x)=0有兩個(gè)相異的實(shí)根x1=

,x2=

.列表如下:x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗故f(x)的極值點(diǎn)是x1,x2.從而a>3.因此b=

+

,定義域?yàn)?3,+∞).(2)證明:由(1)知,

=

+

.設(shè)g(t)=

+

,則g'(t)=

-

=

.當(dāng)t∈

時(shí),g'(t)>0,從而g(t)在

上單調(diào)遞增.因?yàn)閍>3,所以a

>3

,故g(a

)>g(3

)=

,即

>

.因此b2>3a.(3)由(1)知,f(x)的極值點(diǎn)是x1,x2,且x1+x2=-

a,

+

=

.從而f(x1)+f(x2)=

+a

+bx1+1+

+a

+bx2+1=

(3

+2ax1+b)+

(3

+2ax2+b)+

a(

+

)+

b(x1+x2)+2=

-

+2=0.記f(x),f'(x)所有極值之和為h(a),因?yàn)閒'(x)的極值為b-

=-

a2+

,所以h(a)=-

a2+

,a>3.因?yàn)閔'(a)=-

a-

<0,于是h(a)在(3,+∞)上單調(diào)遞減.因?yàn)閔(6)=-

,于是h(a)≥h(6),故a≤6.因此a的取值范圍為(3,6].易錯(cuò)警示(1)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)x0滿足f'(x0)=0,函數(shù)f(x)的零點(diǎn)x0滿足f(x0)=0,而f'(x)的極值點(diǎn)x0應(yīng)

滿足f″(x0)=0.(2)求函數(shù)的關(guān)系式必須確定函數(shù)的定義域.10.(2016山東,20,13分)設(shè)f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,a∈R.(1)令g(x)=f'(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)已知f(x)在x=1處取得極大值.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析(1)由f'(x)=lnx-2ax+2a,可得g(x)=lnx-2ax+2a,x∈(0,+∞).則g'(x)=

-2a=

.當(dāng)a≤0時(shí),x∈(0,+∞)時(shí),g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時(shí),x∈

時(shí),g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,x∈

時(shí),函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.所以當(dāng)a≤0時(shí),g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞);當(dāng)a>0時(shí),g(x)的單調(diào)增區(qū)間為

,單調(diào)減區(qū)間為

.(2)由(1)知,f'(1)=0.①當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.所以f(x)在x=1處取得極小值,不合題意.②當(dāng)0<a<

時(shí),

>1,由(1)知f'(x)在

內(nèi)單調(diào)遞增,可得當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)<0,x∈

時(shí),f'(x)>0.所以f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在

內(nèi)單調(diào)遞增,所以f(x)在x=1處取得極小值,不合題意.③當(dāng)a=

時(shí),

=1,f'(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f'(x)≤0,f(x)單調(diào)遞減,不合題意.④當(dāng)a>

時(shí),0<

<1,當(dāng)x∈

時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,所以f(x)在x=1處取極大值,合題意.綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍為a>

.思路分析

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),對(duì)a的取值范圍進(jìn)行分類討論,進(jìn)而求出g(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)由第

(1)問(wèn)知f'(1)=0,對(duì)a的取值范圍進(jìn)行分類討論,然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值來(lái)驗(yàn)證是

否滿足條件,從而求出a的取值范圍.評(píng)析本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性和極值要注意“定義域優(yōu)先”原則,注意

對(duì)a分類討論.11.(2016天津,20,14分)設(shè)函數(shù)f(x)=x3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)存在極值點(diǎn)x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求證:x1+2x0=0;(3)設(shè)a>0,函數(shù)g(x)=|f(x)|,求證:g(x)在區(qū)間[-1,1]上的最大值

.x

-

f'(x)+0-0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增解析(1)由f(x)=x3-ax-b,可得f'(x)=3Gx2-a.下面分兩種情況討論:①當(dāng)a≤0時(shí),有f'(x)=3x2-a≥0恒成立,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞).②當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)=0,解得x=

,或x=-

.當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

,單調(diào)遞增區(qū)間為

,

.(2)證明:因?yàn)閒(x)存在極值點(diǎn),所以由(1)知a>0,且x0≠0.由題意,得f'(x0)=3

-a=0,即

=

,進(jìn)而f(x0)=

-ax0-b=-

x0-b.又f(-2x0)=-8

+2ax0-b=-

x0+2ax0-b=-

x0-b=f(x0),且-2x0≠x0,由題意及(1)知,存在唯一實(shí)數(shù)x1滿足f(x1)=f(x0),且x1≠x0,因此x1=-2x0.所以x1+2x0=0.(3)證明:設(shè)g(x)在區(qū)間[-1,1]上的最大值為M,max{x,y}表示x,y兩數(shù)的最大值.下面分三種情況討

論:①當(dāng)a≥3時(shí),-

≤-1<1≤

,由(1)知,f(x)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間[-1,1]上的取值范圍為[f(1),f(-1)],因此M=max{|f(1)|,|f(-1)|}=max{|1-a-b|,|-1+a-b|}=max{|a-1+b|,|a-1-b|}=

所以M=a-1+|b|≥2.②當(dāng)

≤a<3時(shí),-

≤-1<-

<

<1≤

,由(1)和(2)知f(-1)≥f

=f

,f(1)≤f

=f

,所以f(x)在區(qū)間[-1,1]上的取值范圍為

f

,f

,因此M=max

,

=max

=max

=

+|b|≥

×

×

=

.③當(dāng)0<a<

時(shí),-1<-

<

<1,由(1)和(2)知f(-1)<f

=f

,f(1)>f

=f

,所以f(x)在區(qū)間[-1,1]上的取值范圍為[f(-1),f(1)],因此M=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|-1+a-b|,|1-a-b|}=max{|1-a+b|,|1-a-b|}=1-a+|b|>

.綜上所述,當(dāng)a>0時(shí),g(x)在區(qū)間[-1,1]上的最大值不小于

.思路分析

(1)求含參數(shù)的函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,需要進(jìn)行分類討論;(2)由第(1)問(wèn)可知a>0,要證x1+

2x0=0,只需證出f(-2x0)=f(x0),其中x1=-2x0,即可得結(jié)論;(3)求g(x)在[-1,1]上的最大值,對(duì)a分情況討論

即可.評(píng)析本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、證明不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和方法.

考查分類討論思想和化歸思想.考查綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.12.(2015安徽,21,13分)已知函數(shù)f(x)=

(a>0,r>0).(1)求f(x)的定義域,并討論f(x)的單調(diào)性;(2)若

=400,求f(x)在(0,+∞)內(nèi)的極值.解析(1)由題意知x≠-r,所求的定義域?yàn)?-∞,-r)∪(-r,+∞).f(x)=

=

,f'(x)=

=

,所以當(dāng)x<-r或x>r時(shí),f'(x)<0,當(dāng)-r<x<r時(shí),f'(x)>0,因此,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-r),(r,+∞);f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-r,r).(2)由(1)的解答可知f'(r)=0,f(x)在(0,r)上單調(diào)遞增,在(r,+∞)上單調(diào)遞減.因此,x=r是f(x)的極大值

點(diǎn),所以f(x)在(0,+∞)內(nèi)的極大值為f(r)=

=

=

=100.評(píng)析本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間,求函數(shù)極值.13.(2015四川,21,14分)已知函數(shù)f(x)=-2xlnx+x2-2ax+a2,其中a>0.(1)設(shè)g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),討論g(x)的單調(diào)性;(2)證明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)有唯一解.解析(1)由已知,得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),g(x)=f'(x)=2(x-1-lnx-a),所以g'(x)=2-

=

.當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.(2)證明:由f'(x)=2(x-1-lnx-a)=0,解得a=x-1-lnx.令φ(x)=-2xlnx+x2-2x(x-1-lnx)+(x-1-lnx)2=(1+lnx)2-2xlnx,則φ(1)=1>0,φ(e)=2(2-e)<0.于是,存在x0∈(1,e),使得φ(x0)=0.令a0=x0-1-lnx0=u(x0),其中u(x)=x-1-lnx(x≥1).由u'(x)=1-

≥0知,函數(shù)u(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增.故0=u(1)<a0=u(x0)<u(e)=e-2<1.即a0∈(0,1).當(dāng)a=a0時(shí),有f'(x0)=0,f(x0)=φ(x0)=0.再由(1)知,f'(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(1,x0)時(shí),f'(x)<0,從而f(x)>f(x0)=0;當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),f'(x)>0,從而f(x)>f(x0)=0;又當(dāng)x∈(0,1]時(shí),f(x)=(x-a0)2-2xlnx>0.故x∈(0,+∞)時(shí),f(x)≥0.綜上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)有唯一解.評(píng)析本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí),考查推

理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí),考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)

化等數(shù)學(xué)思想.14.(2014重慶,19,12分)已知函數(shù)f(x)=

+

-lnx-

,其中a∈R,且曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線垂直于直線y=

x.(1)求a的值;(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.解析(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)得f'(x)=

-

-

,由曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線垂直于直線y=

x知f'(1)=-

-a=-2,解得a=

.(2)由(1)知f(x)=

+

-lnx-

,則f'(x)=

,令f'(x)=0,解得x=-1或x=5.因x=-1不在f(x)的定義域(0,+∞)內(nèi),故舍去.當(dāng)x∈(0,5)時(shí),f'(x)<0,故f(x)在(0,5)內(nèi)為減函數(shù);當(dāng)x∈(5,+∞)時(shí),f'(x)>0,故f(x)在(5,+∞)內(nèi)為增函

數(shù).由此知函數(shù)f(x)在x=5時(shí)取得極小值f(5)=-ln5.評(píng)析本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值.正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用1.(2015陜西,9,5分)設(shè)f(x)=x-sinx,則f(x)

()A.既是奇函數(shù)又是減函數(shù)

B.既是奇函數(shù)又是增函數(shù)C.是有零點(diǎn)的減函數(shù)

D.是沒(méi)有零點(diǎn)的奇函數(shù)答案

B易得f(x)是奇函數(shù),由f'(x)=1-cosx≥0恒成立,可知f(x)是增函數(shù),故選B.2.(2015安徽,10,5分)函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示,則下列結(jié)論成立的是

()

A.a>0,b<0,c>0,d>0

B.a>0,b<0,c<0,d>0C.a<0,b<0,c>0,d>0

D.a>0,b>0,c>0,d<0答案

A由f(x)的圖象易知d>0,且f'(x)=3ax2+2bx+c的圖象是開(kāi)口向上的拋物線,與x軸正半軸

有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則

即

故選A.評(píng)析本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及運(yùn)用圖象解題的能力.3.(2014湖南,9,5分)若0<x1<x2<1,則

()A.

-

>lnx2-lnx1

B.

-

<lnx2-lnx1C.x2

>x1

D.x2

<x1

答案

C令f(x)=

,則f'(x)=

=

.當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)<0,即f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,∵0<x1<x2<1,∴f(x2)<f(x1),即

<

,∴x2

>x1

,故選C.4.(2013天津,8,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-3.若實(shí)數(shù)a,b滿足f(a)=0,g(b)=0,則

()A.g(a)<0<f(b)

B.f(b)<0<g(a)C.0<g(a)<f(b)

D.f(b)<g(a)<0答案

A∵f(x)=ex+x-2,∴f'(x)=ex+1>0,則f(x)在R上為增函數(shù),且f(0)=e0-2<0,f(1)=e-1>0,又f(a)=0,∴0<a<1.∵g(x)=lnx+x2-3,∴g'(x)=

+2x.當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),g'(x)>0,得g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),又g(1)=ln1-2=-2<0,g(2)=ln2+1>0,且g(b)=0,∴1<b<2,即a<b,∴

故選A.5.(2013安徽,10,5分)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2.若f(x1)=x1<x2,則關(guān)于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為

()A.3

B.4

C.5

D.6答案

A

f'(x)=3x2+2ax+b,原題等價(jià)于方程3x2+2ax+b=0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根x1,x2,且x1<x2,x∈(-∞,

x1)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;x∈(x1,x2)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;x∈(x2,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞

增.∴x1為極大值點(diǎn),x2為極小值點(diǎn).∴方程3(f(x))2+2af(x)+b=0有兩個(gè)不等實(shí)根,f(x)=x1或f(x)=x2.∵f

(x1)=x1,∴由圖知f(x)=x1有兩個(gè)不同的解,f(x)=x2僅有一個(gè)解.∴選A.

6.(2013浙江,8,5分)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是下列四個(gè)圖象之一,且其導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所

示,則該函數(shù)的圖象是

()

答案

B在(-1,0)上f'(x)單調(diào)遞增,所以f(x)圖象的切線斜率呈遞增趨勢(shì);在(0,1)上f'(x)單調(diào)遞

減,所以f(x)圖象的切線斜率呈遞減趨勢(shì).故選B.7.(2015四川,15,5分)已知函數(shù)f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R).對(duì)于不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,設(shè)m=

,n=

.現(xiàn)有如下命題:①對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,都有m>0;②對(duì)于任意的a及任意不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,都有n>0;③對(duì)于任意的a,存在不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,使得m=n;④對(duì)于任意的a,存在不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,使得m=-n.其中的真命題有

(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)).答案①④解析①f(x)=2x是增函數(shù),∴對(duì)任意不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,都有

>0,即m>0,∴①成立.②由g(x)=x2+ax圖象可知,當(dāng)x∈

時(shí),g(x)是減函數(shù),∴當(dāng)不相等的實(shí)數(shù)x1、x2∈

時(shí),

<0,即n<0,∴②不成立.③若m=n,則有

=

,即f(x1)-f(x2)=g(x1)-g(x2),f(x1)-g(x1)=f(x2)-g(x2),令h(x)=f(x)-g(x),則h(x)=2x-x2-ax,h'(x)=2xln2-2x-a,令h'(x)=2xln2-2x-a=0,得2xln2=2x+a.由y=2xln2與y=2x+a的圖象知,存在a使對(duì)任意x∈R恒有2xln2>2x+a,此時(shí)h(x)在R上是增函數(shù).若h(x1)=h(x2),則x1=x2,∴③不成立.④若m=-n,則有

=-

,f(x1)+g(x1)=f(x2)+g(x2),令φ(x)=f(x)+g(x),則φ(x)=2x+x2+ax,φ'(x)=2xln2+2x+a.令φ'(x)=0,得2xln2+2x+a=0,即2xln2=-2x-a.由y1=2xln2與y2=-2x-a的圖象可知,對(duì)任意的a,存在x0,使x>x0時(shí)y1>y2,x<x0時(shí)y1<y2,故對(duì)任意的a,存在x0,使x>x0時(shí),φ'(x)>0,x<x0時(shí)φ'(x)<0,故對(duì)任意的a,φ(x)在R上不是單調(diào)函數(shù).故對(duì)任意的a,存在不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,使m=-n,∴④成立.綜上,①④正確.8.(2017天津,19,14分)設(shè)a,b∈R,|a|≤1.已知函數(shù)f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=exf(x).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)已知函數(shù)y=g(x)和y=ex的圖象在公共點(diǎn)(x0,y0)處有相同的切線,(i)求證:f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于0;(ii)若關(guān)于x的不等式g(x)≤ex在區(qū)間[x0-1,x0+1]上恒成立,求b的取值范圍.解析本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)

和方法.考查用函數(shù)思想解決問(wèn)題的能力.(1)由f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,可得f'(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)[x-(4-a)].令f'(x)=0,解得x=a,或x