一、選擇題1．已知正三棱柱，底面正三角形的邊長為，側棱長為，則點到平面的距離為（）A． B． C． D．2．在我國古代，將四個角都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”．在“鱉臑”中，平面，且，若該四面體的體積為，則該四面體外接球的表面積為（）A． B． C． D．3．已知三棱錐的各棱長都相等，為中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．4．如圖，圓錐的母線長為4，點M為母線AB的中點，從點M處拉一條繩子，繞圓錐的側面轉一周達到B點，這條繩子的長度最短值為，則此圓錐的表面積為（）A． B． C． D．5．已知平面圖形，為矩形，，是以為頂點的等腰直角三角形，如圖所示，將沿著翻折至，當四棱錐體積的最大值為，此時四棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．6．一個底面為正三角形的棱柱的三視圖如圖所示，若在該棱柱內部放置一個球，則該球的最大體積為（）A． B． C． D．7．如圖正三棱柱的所有棱長均相等，是中點，是所在平面內的一個動點且滿足平面，則直線與平面所成角正弦值的最大值為（）A． B． C． D．8．下圖中小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某四棱錐的三視圖，則該四棱錐的體積為（）A．64 B．48 C．32 D．169．如圖，正方體中，為線段上的動點，則下列結論錯誤的是（）A．B．異面直線與不可能垂直C．不可能是直角或者鈍角D．的取值范圍是10．如下圖所示是一個正方體的平面展開圖，在這個正方體中①平面；②；③平面平面；④平面．以上四個命題中，真命題的序號是（）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④11．空間四邊形的各邊及對角線長度都相等，、、外別是、、的中點，下列四個結論中不成立的是（）A．平面 B．平面C．平面平面 D．平面平面12．在正方體中，和分別為，和的中點．，那么直線與所成角的余弦值是（）A． B． C． D．二、填空題13．如圖，在矩形中，，，點E為的中點，F為線段（端點除外）上一動點．現將沿折起，使得平面平面．設直線與平面所成角為，的取值范圍為__________．14．已知一個圓錐內接于球O（圓錐的底面圓周及頂點均在同一球面上），圓錐的高是底面半徑的3倍，圓錐的側面積為，則球O的表面積為________．15．如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，，且，現有如下四個結論：①；②平面；③三棱錐的體積為定值；④直線與平面所成的角為定值，其中正確結論的序號是______．16．正四面體棱長為2，平面，垂足為O，設M為線段上一點，且則二面角的余弦值為________．17．如圖，在三棱錐中，，，，且，，則二面角的余弦值是_____．18．在三棱錐中，側面PBC和底面ABC都是邊長為2的正三角形，若，則側棱與底面ABC所成的角的大小是___________．19．三棱錐的各頂點都在同一球面上，底面，若，，且，給出如下命題：①是直角三角形；②此球的表面積等于；③平面；④三棱錐的體積為.其中正確命題的序號為______.（寫出所有正確結論的序號）20．在一個密閉的容積為1的透明正方體容器內裝有部分液體，如果任意轉動該正方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體體積的取值范圍是．三、解答題21．如圖，在四棱錐中，四邊形為梯形，，，（1）若為中點，證明：面（2）若點在面上投影在線段上，，證明：面.22．如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD為菱形，且∠DAB=，AB=2，EFAC，EA=ED=，BE=.（1）求證：平面EAD⊥平面ABCD；（2）求三棱錐F-BCD的體積.23．如圖，在直三棱柱中，底面ABC為正三角形，與交于點O，E，F是棱上的兩點，且滿足.（1）證明：平面；（2）當，且，求直線與平面所成角的余弦值.24．如圖，長方體的底面ABCD是正方形，E是棱的中點，.（1）證明：平面平面.（2）求點B到平面的距離.25．在四棱臺中，平面，，，，，，垂足為M.（1）證明：平面平面；（2）若二面角正弦值為，求直線與平面所成角的余弦.26．如圖，正三棱柱的棱長均為2，M是側棱的中點．（1）在圖中作出平面與平面的交線l（簡要說明），并證明平面；（2）求點C到平面的距離．【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、選擇題1．A解析：A【分析】根據題意，將點到平面的距離轉化為點到平面的距離，然后再利用等體積法代入求解點到平面的距離.【詳解】已知正三棱柱，底面正三角形的邊長為，側棱長為，所以可得，為等腰三角形，所以的高為，由對稱性可知，，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，所以，又因為，，所以，即.故選：A.【點睛】一般關于點到面的距離的計算，一是可以考慮通過空間向量的方法，寫出點的坐標，計算平面的法向量，然后代入數量積的夾角公式計算即可，二是可以通過等體積法，通過換底換高代入利用體積相等計算.2．B解析：B【分析】由題意計算分析該幾何體可以擴充為長方體，所以只用求長方體的外接球即可.【詳解】因為平面，且，，而,所以，所以該幾何體可以擴充為正方體方體，所以只用求正方體的外接球即可.設外接球的半徑為R，則,所以外接球的表面積為故選：B【點睛】多面體的外接球問題解題關鍵是找球心和半徑，求半徑的方法有：(1)公式法；(2)多面體幾何性質法；(3)補形法；(4)尋求軸截面圓半徑法；(5)確定球心位置法．3．B解析：B【分析】取中點，連接，證明是異面直線與所成角（或其補角），然后在三角形中求得其余弦值即可得．【詳解】取中點，連接，∵是中點，∴，，則是異面直線與所成角（或其補角），設，則，，∴在等腰三角形中，．所以異面直線與所成角的余弦值為．故選：B．【點睛】思路點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．4．B解析：B【分析】根據圓錐側面展開圖是一個扇形，且線段計算底面圓半徑即可求解.【詳解】設底面圓半徑為，由母線長，可知側面展開圖扇形的圓心角為，將圓錐側面展開成一個扇形，從點M拉一繩子圍繞圓錐側面轉到點B，最短距離為BM；如圖，在中，，所以,所以,故，解得，所以圓錐的表面積為,故選：B【點睛】關鍵點點睛：首先圓錐的側面展開圖為扇形，其圓心角為，其次從點M拉一繩子圍繞圓錐側面轉到點B，繩子的最短距離即為展開圖中線段的長，解三角即可求解底面圓半徑，利用圓錐表面積公式求解.5．C解析：C【分析】分析出當平面平面時，四棱錐的體積取最大值，求出、的長，然后將四棱錐補成長方體，計算出該長方體的體對角線長，即為外接球的直徑，進而可求得外接球的表面積.【詳解】取的中點，連接，由于是以為頂點的等腰直角三角形，則，設，則，設二面角的平面角為，則四棱錐的高為，當時，，矩形的面積為，，解得.將四棱錐補成長方體，所以，四棱錐的外接球直徑為，則，因此，四棱錐的外接球的表面積為.故選：C.【點睛】方法點睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補形法：側面為直角三角形，或正四面體，或對棱二面角均相等的模型，可以還原到正方體或長方體中去求解；②利用球的性質：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據帶其他頂點距離也是半徑，列關系求解即可.6．C解析：C【分析】先由三視圖計算底面正三角形內切圓的半徑，內切圓的直徑和三棱柱的高比較大小，確定球的半徑的最大值，計算球的最大體積.【詳解】由三視圖知該直三棱柱的高為4，底面正三角形的高為，易得底面正三角形內切圓的半徑為高的三分之一，即，由于，所以該棱柱內部可放置球的半徑的最大值為，它的體積.故選：C【點睛】關鍵點點睛：本題的第一個關鍵是由三視圖確定底面三角形的高是，第二個關鍵是確定球的最大半徑.7．D解析：D【分析】先找到與平面平行的平面,確定點在直線上，作出線面角，求出正弦，轉化為求的最小值.【詳解】分別取的中點，連接,并延長，如圖，由中位線性質可知,,且,故平面平面，又是所在平面內的一個動點且滿足平面則點在直線上，平面,是直線與平面所成角，,為定值，當最小時，正弦值最大，而，所以當最小時，最大，故當時，最大，設棱長為，則，而,,又,故選：D【點睛】關鍵點點睛：由是所在平面內的一個動點且滿足平面，轉化為找過O的平面與平面平行，P在所找平面與平面ABC的交線上，從而容易確定出線面角，是本題解題的關鍵所在.8．C解析：C【分析】在長方體中還原三視圖后，利用體積公式求體積.【詳解】根據三視圖還原后可知，該四棱錐為鑲嵌在長方體中的四棱錐P-ABCD（補形法）且該長方體的長、寬、高分別為6、4、4，故該四棱錐的體積為.故選C．【點睛】(1)根據三視圖畫直觀圖，可以按下面步驟進行：①、首先看俯視圖，根據俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；②、觀察正視圖和側視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；③、畫出整體，讓后再根據三視圖進行調整；(2)求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數量關系，利用相應體積公式求解．9．D解析：D【分析】在正方體中根據線面垂直可判斷A，根據異面直線所成角可判斷B，由余弦定理可判斷CD.【詳解】如圖，設正方體棱長為2，在正方體中易知平面，為線段上的動點，則平面,所以，故A正確；因為異面直線與所成的角即為與所成的角，在中不可能與垂直，所以異面直線與不可能垂直，故B正確；由正方體棱長為2，則，所以由余弦定理知，即不可能是直角或者鈍角，故C正確；設，則，，由余弦定理，，當時，，所以為鈍角，故D錯誤.故選：D【點睛】關鍵點點睛：判斷正方體中的角的范圍時，可選擇合適三角形，利用正方體中數量關系，位置關系，使用余弦定理，即可判斷三角形形狀或角的范圍，屬于中檔題.10．A解析：A【分析】把正方體的平面展開圖還原成正方體ABCA﹣EFMN，得出BM∥平面ADNE，判斷①正確；由連接AN，則AN∥BM，又，判斷②正確；由BD∥FN，得出BD∥平面AFN，同理BM∥平面AFN，證明平面BDM∥平面AFN，判斷③正確；由，AM，根據線面垂直的判定，判斷④正確．【詳解】把正方體的平面展開圖還原成正方體ABCA﹣EFMN，如圖1所示；對于①，平面BCMF∥平面ADNE，BM?平面BCMF，∴BM∥平面ADNE，①正確；對于②，如圖2所示，連接AN，則AN∥BM，又，所以，②正確；對于③，如圖2所示，BD∥FN，BD?平面AFN，FN?平面AFN，∴BD∥平面AFN；同理BM∥平面AFN，且BD∩BM＝B，∴平面BDM∥平面AFN，③正確；對于④，如圖3所示，連接AC，則，又平面ABCD，平面ABCD，所以，又，所以平面ACM，所以AM，同理得AM，，所以平面BDE，∴④正確．故選：A．【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵在于展開空間想象，將正方體的平面展開圖還原，再由空間的線線，線面，面面關系及平行，垂直的判定定理去判斷命題的正確性．11．C解析：C【分析】由線面平行的判定定理可判斷A；由線面垂直的判定定理可判斷B；反證法可說明C；由面面垂直的判定定理可判斷D.【詳解】對于A，，外別是，的中點，，平面，平面，故A正確，不符合題意；對于B，各棱長相等，為中點，，，平面，，平面，故B正確，不符合題意；對于C，假設平面平面，設，連接，則是中點，，平面平面，平面，平面，，則，與矛盾，故C錯誤，符合題意；對于D，由B選項平面，平面，平面平面，故D正確，不符合題意.故選：C.【點睛】本題考查線面關系和面面關系的判定，解題的關鍵是正確理解判斷定理，正確理解垂直平行關系.12．A解析：A【分析】作出異面直線和所成的角，然后解三角形求出兩條異面直線所成角的余弦值.【詳解】設分別是的中點，由于分別是的中點，結合正方體的性質可知，所以是異面直線和所成的角或其補角，設異面直線和所成的角為，設正方體的邊長為，，，則.故選：A.【點睛】思路點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．二、填空題13．【分析】在矩形中作交于交于在翻折后的幾何體中證得平面平面從而平面得是直線與平面所成的角設C求得的范圍后可得范圍【詳解】在矩形中作交于交于設由圖易知∴即∴則在翻折后的幾何體中又平面∴平面又平面∴平面平解析：【分析】在矩形中作，交于，交于，在翻折后的幾何體中，證得平面平面，從而平面，得是直線與平面所成的角．設C，求得的范圍后可得范圍．【詳解】在矩形中作，交于，交于，設，，由圖易知，∴，即，∴，，則．在翻折后的幾何體中，，，又，平面，∴平面，又平面，∴平面平面，又平面平面．平面平面，∴平面，連接，則是直線與平面所成的角．，而，，∴，∵，∴，∴，即．故答案為：．【點睛】方法點睛：本題考查求直線與平面所成的角，求線面角常用方法：（1）定義法：作出直線與平面所成的角并證明，然后在直角三角形中計算可得；（2）向量法：建立空間直角坐標系，由直線的方向向量與平面的法向量夾角的余弦的絕對值等于直線與平面所成角的正弦值計算．14．【分析】設圓錐的底面半徑為球的半徑為根據勾股定理可得根據圓錐的側面積公式可得再根據球的表面積公式可得結果【詳解】設圓錐的底面半徑為球的半徑為則圓錐的高為則球心到圓錐的底面的距離為根據勾股定理可得化簡解析：【分析】設圓錐的底面半徑為，球的半徑為，根據勾股定理可得，根據圓錐的側面積公式可得，再根據球的表面積公式可得結果.【詳解】設圓錐的底面半徑為，球的半徑為，則圓錐的高為，則球心到圓錐的底面的距離為，根據勾股定理可得，化簡得，因為圓錐的高為，母線長為，所以圓錐的側面積為，所以，解得，所以，所以球O的表面積為.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：利用圓錐的側面積公式和球的表面積公式求解是解題關鍵.15．①②③【分析】由線面垂直的判定可得平面再由線面垂直的性質可判斷①；由線面平行的判定可判斷②；由錐體的體積公式可判斷③；由線面角的概念可判斷④【詳解】連接交于點由可知平面而平面故①正確；由且平面平面可解析：①②③【分析】由線面垂直的判定可得平面，再由線面垂直的性質可判斷①；由線面平行的判定可判斷②；由錐體的體積公式可判斷③；由線面角的概念可判斷④.【詳解】連接交于點，由，可知平面，而平面，，故①正確；由，且平面，平面，可得平面，故②正確；由正方體的性質可得為定值，且點到平面的距離為定值，所以為定值，故③正確；點到平面的距離為，設直線與平面所成的角為，則不是定值，所以直線與平面所成的角不為定值，故④錯誤.故答案為：①②③.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是空間位置關系的轉化及錐體體積的相關運算，在求解錐體體積相關問題時，選取一個合適底面能事半功倍.16．【分析】連接延長交于則是中點可得是二面角的平面角求出可得結論【詳解】由已知是中心連接延長交于則是中點連接則而∴平面平面∴∴是二面角的平面角由對稱性又由平面平面得∴故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題考解析：【分析】連接延長交于，則是中點，可得是二面角的平面角．求出可得結論．【詳解】由已知是中心，連接延長交于，則是中點，連接，則，，而，∴平面，平面，∴，∴是二面角的平面角．，，由對稱性，，又，由平面，平面，得，∴．故答案為：．【點睛】關鍵點點睛：本題考查求二面角，解題關鍵是作出二面角的平面角．這可根據平面角的定義作出（并證明），然后在直角三角形中求角即得．注意一作二證三計算三個步驟．17．【分析】取的中點連接證明出可得出面角的平面角為計算出利用余弦定理求得由此可得出二面角的余弦值【詳解】取的中點連接如下圖所示：為的中點則且同理可得且所以二面角的平面角為由余弦定理得因此二面角的余弦值為解析：【分析】取的中點，連接、，證明出，，可得出面角的平面角為，計算出、，利用余弦定理求得，由此可得出二面角的余弦值.【詳解】取的中點，連接、，如下圖所示：，為的中點，則，且，，，同理可得，且，所以，二面角的平面角為，由余弦定理得，因此，二面角的余弦值為.故答案為：.【點睛】本題考查二面角余弦值的計算，考查二面角的定義，考查計算能力，屬于中等題.18．【分析】先畫出直觀圖證明平面平面然后側棱與底面ABC所成的角即為根據題目中的數據算出即可【詳解】如圖作的中點連結因為側面PBC和底面ABC都是邊長為2的正三角形而為的中點所以又所以平面同時平面所以平解析：.【分析】先畫出直觀圖，證明平面平面，然后側棱與底面ABC所成的角即為，根據題目中的數據算出即可.【詳解】如圖，作的中點，連結、因為側面PBC和底面ABC都是邊長為2的正三角形而為的中點，所以，，又，所以平面，同時平面所以平面平面，所以即為側棱與底面ABC所成的角由側面PBC和底面ABC都是邊長為2的正三角形得，又已知所以為等邊三角形，則即側棱與底面ABC所成的角為故答案為：【點睛】本題主要考查空間直線與平面所成角的計算，較簡單.19．①③【分析】①先求出再得到最后判斷①正確；②先判斷三棱錐的外接球就是以為頂點以棱的長方體的外接球再求半徑最后求出球的表面積判斷②錯誤；③先證明最后證明平面判斷③正確；④直接求出三棱錐的體積判斷④錯誤解析：①③.【分析】①先求出，再得到，最后判斷①正確；②先判斷三棱錐的外接球就是以為頂點，以，，棱的長方體的外接球，再求半徑，最后求出球的表面積，判斷②錯誤；③先證明，，,最后證明平面，判斷③正確；④直接求出三棱錐的體積，判斷④錯誤.【詳解】解：①在，因為，，且，所以，則，所以，所以是直角三角形，故①正確；②由（1）可知，又因為底面，所以三棱錐的外接球就是以為頂點，以，，棱的長方體的外接球，則，則此球的表面積等于，故②錯誤；③因為底面，所以，由（1）可知，,所以平面，故③正確；④三棱錐的體積，故④錯誤.故答案為：①③.【點睛】本題考查判斷三角形是直角三角形、求三棱錐的外接球的表面積、求三棱錐的體積、線面垂直的證明，是中檔題.20．【詳解】試題分析：如圖正方體ABCD-EFGH此時若要使液面不為三角形則液面必須高于平面EHD且低于平面AFC而當平面EHD平行水平面放置時若滿足上述條件則任意轉動該正方體液面的形狀都不可能是三角形解析：【詳解】試題分析：如圖，正方體ABCD-EFGH，此時若要使液面不為三角形，則液面必須高于平面EHD，且低于平面AFC．而當平面EHD平行水平面放置時，若滿足上述條件，則任意轉動該正方體，液面的形狀都不可能是三角形．所以液體體積必須＞三棱柱G-EHD的體積，并且＜正方體ABCD-EFGH體積-三棱柱B-AFC體積考點：1．棱柱的結構特征；2．幾何體的體積的求法三、解答題21．（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）取中點為，連接，，四邊形為平行四邊形，所以，利用線面平行的性質定理即可證明；（2）利用勾股定理證明，設點在面上投影在線段上設為點，再利用已知條件證明，利用線面垂直的判斷定理即可證明.【詳解】（1）取中點為，連接，，則為中位線，且，又四邊形是直角梯形，，且，四邊形為平行四邊形，所以，因為面，面，所以面.（2）在四棱錐中，四邊形是直角梯形，，，，，設點在面上投影在線段上，設為點，面，面，，又，，面.【點睛】方法點睛：證明直線與平面平行的常用方法（1）定義法：證明直線與平面沒有公共點，通常要借助于反證法來證明；（2）判定定理：在利用判斷定理時，關鍵找到平面內與已知直線平行的直線，常考慮利用三角形中位線、平行四邊形的對邊平行或過已知直線作一平面，找其交線進行證明；22．（1）證明見詳解；（2）.【分析】（1）取AD的中點O，連接EO，BO.，可證EO⊥平面ABCD再根據面面垂直判定定理可證；（2）因為EFAC得點F到平面ABCD的距離等于點E到平面ABCD的距離，由體積公式可求出結果.【詳解】解：（1）如圖，取AD的中點O，連接EO，BO.∵EA=ED，∴EO⊥AD.由題意知△ABD為等邊三角形，∴AB=BD=AD=2，∴BO=.在△EAD中，EA=ED=，AD=2，∴EO=，又BE=，∴，∴，∵，AD?平面ABCD，BO?平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又EO?平面EAD，∴平面EAD⊥平面ABCD.（2）由題意得，∵EF∥AC，∴點F到平面ABCD的距離等于點E到平面ABCD的距離，為EO，∴.【點晴】關鍵點點晴：證明面面垂直的關鍵在于找到線面垂直.23．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取AB中點G，連結OG?EG，可證明四邊形OGEF為平行四邊形，則，由線面平行的判定定理即可求證；（2）由（1）可知，，則直線與平面所成角即為直線與平面所成角，平面，則即為直線與平面所成的角，在中即可求的余弦值.【詳解】（1）取AB中點G，連結OG?EG，在直三棱柱中，，則，又，則，所以四邊形OGEF為平行四邊形，則，又平面，平面，故平面.（2）由（1）可知，，則直線與平面所成角即為直線與平面所成角，連接，由直三棱柱可得平面，則即為直線與平面所成的角，設，則，又，則，，得，所以，直線與平面所成角的余弦值為，故直線與平面所成角的余弦值為.【點睛】方法點睛：證明直線與平面平行的常用方法（1）定義法：證明直線與平面沒有公共點，通常要借助于反證法來證明；（2）判定定理：在利用判斷定理時，關鍵找到平面內與已知直線平行的直線，常考慮利用三角形中位線、平行四邊形的對邊平行或過已知直線作一平面，找其交線進行證明；（3）利用面面平行的性質定理：直線在一平面內，由兩平面平行，推得線面平行；直線在兩平行平面外，且與其中一平面平行，這這條直線與另一個平行.24．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由線面垂直證明，由勾股定理證明，可得線面垂直，從而得面面垂直；（2）用等體積法求得點面距．【詳解】（1）證明：因為是長方體，所以側面，而平面，所以.又因為底面ABCD是正方形，且，所以，，，從而，所以.因為，平面EBC，所以平面EBC，因為平面，所以平面平面.（2）解：由（1）可知，平面EBC，所以，在中，，.設B到平面的距離為h，所以，則，即點B到平面的距離為.【點睛】方法點睛：本題考查證明面面垂直，求點到平面的距離．求點到平面距離的常用方法：（1）根據定義作出點到平面的垂線，求出垂線段的長（本題可以直接求出到直線的距離）；（2）等體積法，通過轉換頂點，求出三棱錐的體積，