2026版步步高大一輪高考數學復習講義第六章§6.3等比數列§6.3等比數列課標要求1.通過生活中的實例，理解等比數列的概念和通項公式的意義.2.掌握等比數列前n項和公式，理解等比數列的通項公式與前n項和公式的關系.3.能在具體問題情境中，發現數列的等比關系，并解決相應的問題.4.體會等比數列與指數函數的關系.1.等比數列有關的概念(1)定義：一般地，如果一個數列從第項起，每一項與它的前一項的比都等于常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的，公比通常用字母q(q≠0)表示.(2)等比中項：如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成數列，那么叫做a與b的等比中項，此時，G2=.2.等比數列的通項公式及前n項和公式(1)若等比數列{an}的首項為a1，公比為q，則其通項公式為an=.(2)等比數列通項公式的推廣：an=amqn-m.(3)等比數列的前n項和公式：當q=1時，Sn=na1；當q≠1時，Sn==.3.等比數列的常用性質(1)若m+n=p+q，則，其中m，n，p，q∈N*.特別地，若2w=m+n，則，其中m，n，w∈N*.(2)ak，ak+m，ak+2m，…仍是等比數列，公比為(k，m∈N*).(3)若數列{an}，{bn}是兩個項數相同的等比數列，則數列{ban}，{pan·qbn}和panqbn也是等比數列(b，p(4)若a1>0,q>1或a1若a1>0,0<q<1或a4.等比數列前n項和的常用性質若等比數列{an}的前n項和為Sn，則Sn，，仍成等比數列(公比q=-1且n為偶數除外)，其公比為qn.1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)等比數列的公比q是一個常數，它可以是任意實數.()(2)三個數a，b，c成等比數列的充要條件是b2=ac.()(3)數列{an}為等比數列，則S4，S8-S4，S12-S8成等比數列.()(4)對有窮等比數列，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積.()2.(2025·臨汾模擬)在等比數列{an}中，a1=1，a5=4，則a3等于()A.2 B.-2 C.±2 D.223.(多選)設數列{an}是各項均為正數的等比數列，則()A.a3，a5，a7成等比數列 B.{anC.{lgan}是等比數列 D.1a4.在等比數列{an}中，a1=3，a1+a3+a5=21，則a7+a9=.解題時關注三個關鍵點(1)當q≠0，且q≠1時，Sn=k-k·qn(k≠0)是{an}是等比數列的充要條件，此時k=a1(2)由an+1=qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數列，還要驗證a1≠0.(3)在運用等比數列的前n項和公式時，必須注意對q=1與q≠1分類討論，防止因忽略q=1這一特殊情形而導致解題失誤.題型一等比數列基本量的運算例1(1)(2023·全國甲卷)設等比數列{an}的各項均為正數，前n項和為Sn，若a1=1，S5=5S3-4，則S4等于()A.158 B.C.15 D.40(2)我國明代的數學家、音樂理論家朱載堉創立的十二平均律是第一個利用數學使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精確規定八度的比例，把八度分成13個半音，使相鄰兩個半音之間的頻率比是常數，如表所示，其中a1，a2，…，a13表示這些半音的頻率，它們滿足log2ai+1ai12=1(i=1，2，…，12).若某一半音與頻率a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13半音CC#DD#EFF#GG#AA#BC(八度)A.F# B.GC.G# D.A思維升華等比數列基本量的運算的解題策略(1)等比數列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求解.(2)解方程組時常常利用“作商”消元法.(3)運用等比數列的前n項和公式時，一定要討論公比q=1的情形，否則會漏解或增解.跟蹤訓練1(1)已知等比數列{an}的前n項和為Sn，a2=4，S8-S5A.16 B.8 C.6 D.2(2)(2024·嘉興模擬)設數列{an}的前n項和為Sn，等比數列{bn}的前n項和為Tn，若b1=-1，b5=8b2，(1-2n)Sn=n(n+1)Tn，則an=.題型二等比數列的判定與證明例2(1)(多選)已知數列{an}的前n項和為Sn，下列說法正確的是()A.若b2=ac，則a，b，c成等比數列B.若{an}為等差數列，則{2aC.若Sn=3n-1，則數列{an}為等比數列D.若a1=1，a2=2，3an+1=an+2an+2(n∈N*)，則{an+1-an}為等比數列(2)(2024·福州模擬)已知數列{an}的首項a1=25，且滿足an+1=2①求證：數列1a②若1a1+1a2+1a3思維升華等比數列的四種常用判定方法(1)定義法：若anan-1=q(q為非零常數，且n≥2，n∈N*)，則{(2)等比中項法：若在數列{an}中，an≠0且an+12=anan+2(n∈N*)，則{a(3)通項公式法：若數列{an}的通項公式可寫成an=cqn-1(c，q均為非零常數，n∈N*)，則{an}是等比數列.(4)前n項和公式法：若數列{an}的前n項和Sn=kqn-k(k為常數，且k≠0，q≠0，1)，則{an}是等比數列.跟蹤訓練2(2024·昆明模擬)已知數列{an}滿足an(an-1+3an+1)=4an-1an+1(n≥2，n∈N*)，且a1=1，a2=14(1)證明：數列1a(2)求{an}的通項公式.題型三等比數列的性質命題點1項的性質例3(2023·全國乙卷)已知{an}為等比數列，a2a4a5=a3a6，a9a10=-8，則a7=.下標和相等的等差(比)性質的推廣(1)若數列{an}為等比數列，且m1+m2+…+mn=k1+k2+…+kn，則am1am2·…·amn(2)若數列{an}為等差數列，且m1+m2+…+mn=k1+k2+…+kn，則am1+am2+…+amn=ak命題點2和的性質例4(1)設Sn是等比數列{an}的前n項和，若S2=2，a3+a4=6，則S6A.2 B.74 C.3 D.(2)已知等比數列{an}有2n+1項，a1=1，所有奇數項的和為85，所有偶數項的和為42，則n等于()A.2 B.3 C.4 D.5思維升華(1)在解決與等比數列有關的問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質，特別是“若m+n=p+q，則aman=apaq”，可以減少運算量，提高解題速度.(2)在應用等比數列的性質解題時，要注意性質成立的前提條件，有時需要進行適當變形.此外，解題時注意設而不求思想的運用.跟蹤訓練3(1)(多選)下列說法正確的是()A.若等比數列{an}的前n項和Sn=2n-1+t，則t=-1B.若{an}為等比數列，且a2a7+a3a6=6，則a1a2a3…a8=81C.若數列{an}為等比數列，Sn為其前n項和，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…成等比數列D.項數為奇數的等比數列{an}，a1=2，S奇=8532，S偶=2116，則公比q(2)(多選)設等比數列{an}的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，且滿足條件a1>1，a2024a2025>1，(a2024-1)(a2025-1)<0，則下列結論正確的是()A.{an}為遞減數列B.S2024+1<S2025C.T2024是數列{Tn}中的最大項D.T4049>1答案精析落實主干知識1.(1)2同一個公比(2)等比Gab2.(1)a1qn-1(3)a1(1-3.(1)aman=apaqaman=aw2(2)(4)增減4.S2n-SnS3n-S2n自主診斷1.(1)×(2)×(3)×(4)√2.A3.ABD4.72探究核心題型例1(1)C[方法一若該數列的公比q=1，代入S5=5S3-4中，有5=5×3-4，不成立，所以q≠1.由1-q51-q=5化簡得q4-5q2+4=0，所以q2=1(舍)或q2=4，因為此數列各項均為正數，所以q=2，所以S4=1-q4方法二由題知1+q+q2+q3+q4=5(1+q+q2)-4，即q3+q4=4q+4q2，即q3+q2-4q-4=0，即(q-2)(q+1)(q+2)=0.由題知q>0，所以q=2.所以S4=1+2+4+8=15.](2)B[依題意可知an>0(n=1，2，…，13).由于a1，a2，…，a13滿足log2ai+1ai12=1(i=1，2則ai+1ai12所以數列a1，a2，…，a13為等比數列，公比q=12D#對應的頻率為a4，所求半音與D#的頻率之比為32=所以所求半音對應的頻率為a4·(122)4=a跟蹤訓練1(1)D[設等比數列{an}的公比為q，由S8-即a8+a7可得q3=8，即q=2，又a2=4，所以a1=a2q=2(2)2n解析設等比數列{bn}的公比為q，由b5=8b2，則q3=8，解得q=2，又b1=-1，所以bn=-2n-1，所以Tn=(-1)×(1-2n)代入(1-2n)Sn=n(n+1)Tn，解得Sn=n(n+1)，當n=1時，a1=S1=2，當n≥2，n∈N*時，an=Sn-Sn-1=n(n+1)-n(n-1)=2n，a1=2滿足上式，所以an=2n，n∈N*.例2(1)BCD[對于A，當a=b=c=0時，b2=ac，此時a，b，c不成等比數列，故A錯誤；對于B，若{an}為等差數列，設其公差為d，則此時有2an+12an=2an對于C，若Sn=3n-1，則a1=S1=2，an=Sn-Sn-1=3n-1-(3n-1-1)=3n-3n-1=2·3n-1(n≥2)，a1=2顯然滿足an=2·3n-1，所以數列{an}為等比數列，故C正確；對于D，因為3an+1=an+2an+2，所以2(an+2-an+1)-(an+1-an)=0，而a1=1，a2=2，因此數列{an+1-an}是首項為1，公比為12的等比數列，故D正確.(2)①證明由an+1=2得1an+1=1+則1an又a1=25，1a1所以數列1an-2是以12②解由①可得1an所以1an=1則1a1+1a2=12+=121-12n1-1由1a1+1a2+1a3+…得1-12n+2n<2即2n-12n<2又函數y=2n-12所以滿足2n-12n<2024的最大正整數為1跟蹤訓練2(1)證明∵an(an-1+3an+1)=4an-1an+1(n≥2，n∈N*)，∴an·an-1+an·3an+1=4an-1an+1，∴1an+1+∴1an+1-又1a2-1a1∴數列1an+1-1a(2)解由(1)得1an+1-1an=3×3∴當n≥2時，1an-1a=3n-1+3n-2+…+31=3(1-=3n-32，即1∴1an=3n-32=3∴an=2又a1=1也滿足上式，∴數列{an}的通項公式為an=23例3-2解析方法一{an}為等比數列，∴a4a5=a3a6，∴a2=1，又a2a9a10=a7a7a7，∴1×(-8)=(a7)3，∴a7=-2.方法二設{an}的公比為q(q≠0)，則a2a4a5=a3a6=a2q·a5q，顯然an≠0，則a4=q2，即a1q3=q2，則a1q=1，∵a9a10=-8，則a1q8·a1q9=-8，則q15=(q5)3=-8=(-2)3，則q5=-2，則a7=a1q·q5=q5=-2.微拓展典例33解析S8=8(a1∴a1+a8=4，又∵a9+a1+a8=3a6，∴a6=3，故S11=11a6=33.例4(1)D[由題意得S2=2，S4-S2=6，S4=S2+6=8，且等比數列{an}的公比q≠-1，則S2，S4-S2，S6-S4成等比數列，故(S4-S2)2=S2即62=2(S6-8)，解得S6=26，故S6S4=268(2)B[因為等比數列{an}有2n+1項，則奇數項有n+1項，偶數項有n項，設公比為q，得到奇數項的和為1+q2+q4+…+q2n=1+q(q+q3+q5+…+q2n-1)=85，偶數項的和為q+q3+q5+…+q2n-1=42，整體代入得q=2，所以前2n+1項的和為1-22n+11-2=85+42=127跟蹤訓練3(1)BD[對于A，因為Sn=2n-1+t=t+12×2n，由等比數列的前n項和公式Sn=a1(1-qn)1-q=a11-q對于B，由a2a7+a3a6=6，得到a2a7=a3a6=3，所以a1a2a3…a8=(a2a7對于C，當q=-1，n為偶數時，Sn=0，顯然Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…不成等比數列，所以C錯誤；對于D，設數列{an}共有2m+1項，由題意得S奇=a1+a3+…+a2m+1=8532，S偶=a2+a4+…+a2m=2116，則S奇=a1+a2q+…+a2mq=2+q(a2+a4+…+a2m)=2+2116q=8532，解得q(2)AC[由(a2024-1)(a2025-1)<0，得a2024-1>0,∵a2024a2025>1，∴a2024和a2025同號，且一個大于1，一個小于1.∵a1>1，∴a2024>1，0<a2025<1，即數列{an}的前2024項都大于1，而從第2025項開始都小于1，公比q=a2025a2024<1，且∵a1>1，∴an=a1qn-1為減函數，故{an}為遞減數列，故A正確；∵a2025<1，∴a2025=S2025-S2024<1，即S2024+1>S2025，故B錯誤；等比數列{an}的前n項積為Tn，且數列{an}的前2024項大于1，而從第2025項開始都小于1，故T2024是數列{Tn}中的最大項，故C正確；T4049=a1a2a3…a4049=a∵a2025<1，∴a20254049<1，即T4049<1，故D錯誤§6.4數列中的構造問題重點解讀數列中的構造問題是歷年高考的一個熱點內容，主、客觀題均可出現，一般通過構造新的數列求數列的通項公式.題型一待定系數法命題點1an+1=pan+q(p≠0，1，q≠0)例1已知數列{an}中，a1=5且an+1=4an+6，則an=.命題點2an+1=pan+qn+c(p≠0，1，q≠0)例2已知數列{an}滿足an+1=4an-12n+4，且a1=4，若ak=2024，則k等于()A.253 B.506 C.1012 D.2024命題點3an+1=pan+qn(p≠0，1，q≠0，1)例3(2024·衡陽模擬)已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn=an+1-2n+1，a1=2，則an=.思維升華形式構造方法an+1=pan+q引入參數c，構造新的等比數列{an-c}an+1=pan+qn+c引入參數x，y，構造新的等比數列{an+xn+y}an+1=pan+qn兩邊同除以qn+1，構造新的數列a跟蹤訓練1(多選)已知數列{an}，下列結論正確的有()A.若a1=2，2(n+1)an-nan+1=0，則an=n·2nB.在數列{an}中，a1=1，且an=2an-1+3(n≥2，且n∈N*)，則數列{an}的通項公式為an=2n+1-3C.若a1=2，an=13an-1+13n(n≥D.已知數列{an}滿足a1=1，an+1=2an+n-1，則數列{an}的通項公式為an=2n-n+1題型二取倒數法和取對數法命題點1取倒數法例4已知數列{an}中，a1=1，an+1=anan+3(n∈N*)，則a命題點2取對數法例5(2025·岳陽模擬)已知數列{an}滿足a1=10，an+1=10an2，若as·at=110a10，則sA.10 B.12 C.16 D.18思維升華(1)形如an+1=tansan+r的遞推公式，兩邊同時取倒數轉化為1an+1=rt·1an+st的形式，化歸為b(2)形如an+1=panq的遞推公式，兩邊同取以p為底的對數，得logpan+1=qlogpan+1，將logpan看成整體，運用待定系數法求得logpan的表達式，再得出a跟蹤訓練2(1)在數列{bn}中，b1=-1，bn+1=bn3bn+2，則數列{bn}的通項公式(2)設數列{an}滿足a1=100，an>0，且10an=an-12(n≥2)，則an特征根法求an＋2＝pan＋1＋qan型的通項公式an＋2＝pan＋1＋qan對應于一元二次方程x2－px－q＝0，此方程為該數列的特征根方程.(1)若特征根方程有兩個不等實根α，β，則an＝A·αn＋B·βn，A，B由a1，a2的值決定；(2)若特征根方程只有一個實根α，則an＝(An＋B)·αn，A，B由a1，a2的值決定.典例(1)已知數列{an}滿足a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)，則an＝.

(2)已知數列{an}滿足a1＝1，a2＝2，4an＋2＝4an＋1－an(n∈N*)，則an＝.

答案精析例17×4n-1-2解析因為an+1=4an+6，所以an+1+2=4an+8=4(an+2)，又因為a1+2=5+2=7≠0，所以an+1所以數列{an+2}是以7為首項，4為公比的等比數列，所以an+2=7×4n-1?an=7×4n-1-2.例2B[設an+1+λ(n+1)+u=4(an+λn+u)，所以an+1=4an+3λn+3u-λ，所以λ所以an+1-4(n+1)=4(an-4n).又a1-4=0，故{an-4n}為常數列，所以an=4n.由ak=4k=2024，解得k=506.]例3(n+1)2n-1解析因為Sn=an+1-2n+1，Sn-1=an-2n(n≥2)，兩式相減得Sn-Sn-1=(an+1-2n+1)-(an-2n)，即an+1=2an+2n.兩邊同除以2n+1可得an+12n+1-an2又S1=a2-22=2，得a2=6，滿足a222-所以數列an2n是首項為a1故an2n=1+即an=(n+1)2n-1.跟蹤訓練1AB[∵2(n+1)an-nan+1=0，∴an+1∴ann是首項為a11∴ann=2·2n-1，∴an=n·2n，故由an=2an-1+3(n≥2)，得an+3=2(an-1+3)，即an+3又a1+3=1+3=4，∴數列{an+3}是首項為4，公比為2的等比數列，∴an+3=4×2n-1，即an=2n+1-3，∴數列{an}的通項公式為an=2n+1-3，故B正確