2026版步步高大一輪高考數(shù)學復習第九章必刷大題18統(tǒng)計與統(tǒng)計分析必刷大題18統(tǒng)計與統(tǒng)計分析[分值：60分]1.(13分)某地用簡單隨機抽樣的方法抽取15個村進行驗收調(diào)查，調(diào)查得到一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，15)，其中xi和yi分別表示第i個村中村戶的年平均收入(單位：萬元)和產(chǎn)業(yè)資金投入數(shù)量(單位：萬元)，并計算得到15∑i=1xi＝15，15∑i=1yi＝750，15∑i=1(xi-x)2＝0.82，15(1)試估計該地被調(diào)查村的村戶年平均收入；(3分)(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，求該地被調(diào)查村中村戶年平均收入與產(chǎn)業(yè)資金投入數(shù)量的樣本相關系數(shù)；(精確到0.01)(5分)(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各被調(diào)查村產(chǎn)業(yè)資金投入差異很大.為了準確地進行驗收，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由.(5分)解(1)該地被調(diào)查村的村戶年平均收入的估計值為11515∑i=1xi＝1(2)樣本相關系數(shù)為r＝15∑i=1((3)采用按比例分配的分層隨機抽樣，理由如下：由(2)知被調(diào)查村的村戶年平均收入與該村的產(chǎn)業(yè)投入資金有很強的正相關性，由于各被調(diào)查村產(chǎn)業(yè)資金投入差異很大，因此被調(diào)查村的村戶年平均收入差異也很大，所以采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法較好地保持了樣本結構與總體結構的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地更準確的驗收估計.2.(15分)某學校為提高學生對《紅樓夢》的了解，舉辦了“我知紅樓”知識競賽，現(xiàn)從所有答卷卷面成績中隨機抽取100份作為樣本，將樣本數(shù)據(jù)(滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，并作出如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中a的值；(3分)(2)求樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)；(6分)(3)已知樣本數(shù)據(jù)落在[50，60)的平均數(shù)是52，方差是6；落在[60，70)的平均數(shù)是64，方差是3.求這兩組數(shù)據(jù)的總平均數(shù)x和總方差s2.(6分)解(1)由(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)×10＝1，解得a＝0.030.(2)因為(0.005＋0.010＋0.020)×10＝0.35，(0.005＋0.010＋0.020＋0.030)×10＝0.65，所以樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)在[70，80)內(nèi)，可得70＋0.62-0.350.3×10＝79所以樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)為79.(3)樣本數(shù)據(jù)落在[50，60)的個數(shù)為0.1×100＝10，落在[60，70)的個數(shù)為0.2×100＝20，總平均數(shù)x＝1010＋20×52＋20總方差s2＝1010＋20[6＋(52－60)2]＋2010＋20[3＋(64－60)23.(15分)某校高一年級有男生200人，女生100人.為了解該校全體高一學生的身高信息，按性別比例進行分層隨機抽樣，抽取總樣本量為30的樣本，并觀測樣本的指標值(單位：cm)，計算得男生樣本的身高平均數(shù)為169，方差為39.下表是抽取的女生樣本的數(shù)據(jù)：抽取次序12345678910身高155158156157160161159162169163記抽取的第i個女生的身高為xi(i＝1，2，3，…，10)，樣本平均數(shù)x＝160，方差s2＝15.參考數(shù)據(jù)：15≈3.9，1592＝25281，1692＝28561.(1)若用女生樣本的身高頻率分布情況代替該校高一女生總體的身高頻率分布情況，試估計該校高一女生身高在[160，165]范圍內(nèi)的人數(shù)；(4分)(2)用總樣本的平均數(shù)和標準差分別估計該校高一學生總體身高的平均數(shù)μ和標準差σ，求μ，σ的值；(5分)(3)如果女生樣本數(shù)據(jù)在(x－2s，x＋2s)之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值后，計算剩余女生樣本身高的平均數(shù)與方差.(6分)解(1)因為女生樣本中，身高在[160，165]范圍內(nèi)的頻率為410故該校高一女生身高在[160，165]范圍內(nèi)的人數(shù)估計為100×25(2)記總樣本的平均數(shù)為X，標準差為S，由題意，設男生樣本(20人)的身高平均數(shù)為y＝169，方差為sy2女生樣本(10人)的身高平均數(shù)為x＝160，方差s2＝15，則X＝20S2＝23[39＋(169－166)2]＋13[15＋(160－166)＝23×48＋13×故μ≈166，σ≈S2(3)由x＝160，s＝15，則(x－2s，x＋2s)，即(160－215，160＋215)，約為(152.2，167.8)，由樣本數(shù)據(jù)知，169?(160－215，160＋215)，為離群值，剔除169后，女生樣本(9人)的身高平均數(shù)為x'＝19(160×10－169)由s2＝110(10∑i=1xi2－10x2)＝110(則剔除169后，女生樣本(9人)的身高的方差為s'2＝19(10∑i=1xi2－1692－9x'2)＝19(256150－284.(17分)西藏隆子縣玉麥鄉(xiāng)位于喜馬拉雅山脈南麓，地處邊疆，山陡路險，交通閉塞.黨的十八大以來，該地區(qū)政府部門大力開發(fā)旅游等產(chǎn)業(yè)，建設幸福家園，實現(xiàn)農(nóng)旅融合，以創(chuàng)建國家全域旅游示范區(qū)為牽引，構建“農(nóng)業(yè)＋文創(chuàng)＋旅游”發(fā)展模式，真正把農(nóng)村建設成為“望得見山、看得見水、記得住鄉(xiāng)愁”的美麗鄉(xiāng)村，在新政策的影響下，游客越來越多.當?shù)芈糜尉纸y(tǒng)計了玉麥鄉(xiāng)景區(qū)2023年1月份到5月份的接待游客人數(shù)y(單位：萬人)，統(tǒng)計結果如下：月份x12345接待游客人數(shù)y(單位：萬人)1.21.82.53.23.8(1)求樣本相關系數(shù)r的值，當r>0.75時，線性相關程度為較強，請說明月份x與接待游客人數(shù)y之間線性關系的強弱；若線性相關，求出y關于x的經(jīng)驗回歸方程；(9分)(2)為打造群眾滿意的旅游區(qū)，該地旅游部門對所推出的報團游和自助游項目進行了深入調(diào)查，下表是從接待游客中隨機抽取的30位游客的滿意度調(diào)查表，請將下述2×2列聯(lián)表補充完整，并依據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，分析游客對本地景區(qū)的滿意度是否與報團游或自助游有關聯(lián).(8分)報團游自助游合計滿意318不滿意5合計1030附：經(jīng)驗回歸方程y^＝b^x＋a^的斜率及截距的最小二乘估計公式分別為b^＝n∑i=1(xi-附表：α0.100.050.0100.001xα2.7063.8416.63510.828解(1)由題中數(shù)據(jù)可得x＝1＋2＋3＋4＋5y＝1.2＋1.8＋2.5＋3.2＋3.8∴5∑i=1(xi－x)(yi－y)＝(－2)×(－1.3)＋(－1)×(－0.7)＋0＋1×0.7＋2×又5∑i=1(xir＝5∑i=1(故月份x與接待游客人數(shù)y之間有較強的線性相關關系.由上可知，b^∴a^＝y(tǒng)∴y關于x的經(jīng)驗回歸方程為y^＝0.66x(2)依題意，完善表格如下：報團游自助游合計滿意15318不滿意5712合計201030零假設為H0：游客對本地景區(qū)滿意度與報團游或自助游無關聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到χ2＝30×(15×7-15根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，推斷H0不成立，即認為游客對本地景區(qū)滿意度與報團游或自助游有關聯(lián).§6.1數(shù)列的概念課標要求1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).1.數(shù)列的有關概念概念含義數(shù)列按照確定的順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項數(shù)列中的每一個數(shù)通項公式如果數(shù)列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式遞推公式如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式數(shù)列{an}的前n項和把數(shù)列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列{an}的前n項和，記作Sn，即Sn=a1+a2+…+an2.數(shù)列的分類分類標準類型滿足條件項數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限項與項間的大小關系遞增數(shù)列an+1>an其中n∈N*遞減數(shù)列an+1<an常數(shù)列an+1=an擺動數(shù)列從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列3.數(shù)列與函數(shù)的關系數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號n，對應的函數(shù)值是數(shù)列的第n項an，記為an=f(n).1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)數(shù)列1，2，3與3，2，1是兩個不同的數(shù)列.(√)(2)數(shù)列1，0，1，0，1，0，…的通項公式只能是an=1+(-1)n(3)任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列.(×)(4)若數(shù)列用圖象表示，則從圖象上看是一群孤立的點.(√)2.傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家用小石子來研究數(shù).如圖中的數(shù)1，5，12，22，…稱為五邊形數(shù)，則第8個五邊形數(shù)是.

答案92解析∵5-1=4，12-5=7，22-12=10，∴相鄰兩個圖形的小石子數(shù)的差值依次增加3，∴第5個五邊形數(shù)是22+13=35，第6個五邊形數(shù)是35+16=51，第7個五邊形數(shù)是51+19=70，第8個五邊形數(shù)是70+22=92.3.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an=n+an-1(n≥2，n∈N*)，則an=.

答案n解析數(shù)列{an}滿足a1=1，an=n+an-1(n≥2，n∈N*)，可得a1=1，a2-a1=2，a3-a2=3，a4-a3=4，…an-an-1=n，以上各式相加可得an=1+2+3+…+n=n(n+1)2(又a1=1符合該式，所以an=n(4.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=n2-4n+1，則an=.

答案-2解析當n=1時，a1=S1=-2；當n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2-4n+1-[(n-1)2-4(n-1)+1]=2n-5.因為當n=1時，不滿足an=2n-5，所以an=-21.靈活應用兩個常用結論(1)若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則an=S(2)在數(shù)列{an}中，若an最大，則an≥an-1,an≥an+1;2.掌握數(shù)列的函數(shù)性質由于數(shù)列可以看作一個關于n(n∈N*)的函數(shù)，因此它具備函數(shù)的某些性質：(1)單調(diào)性——若an+1>an，則{an}為遞增數(shù)列；若an+1<an，則{an}為遞減數(shù)列，否則為擺動數(shù)列或常數(shù)列(an+1=an).(2)周期性——若an+k=an(k為非零常數(shù))，則{an}為周期數(shù)列，k為{an}的一個周期.題型一由an與Sn的關系求通項公式例1(1)(2025·漳州模擬)已知各項均不為0的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若3Sn=an+1，則a8A.-12 B.-13 C.12答案A解析因為3Sn=an+1，則3Sn+1=an+1+1，兩式相減可得3an+1=an+1-an，即2an+1=-an，令n=7，可得2a8=-a7，且an≠0，所以a8a7(2)已知數(shù)列{an}滿足nΣk=1ak2A.2025 B.2024 C.4049 D.4050答案C解析由題意可得a1+a23+a35+…+an2當n=1時，a1=2；當n≥2時，a1+a23+a35+…+an①②兩式相減得an2n-1=1，即a又a1=2不滿足an=2n-1，綜上所述，an=2所以a2025=4049.思維升華an與Sn的關系問題的求解思路(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)轉化為只含Sn，Sn-1的關系式，再求解.(2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)轉化為只含an，an-1的關系式，再求解.跟蹤訓練1(1)(多選)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=12(3nA.a1=1B.數(shù)列{an}為遞增數(shù)列C.數(shù)列{an}是等比數(shù)列D.an=2×3n-1答案ABC解析∵Sn=12(3n-1∴a1=S1=12×(3-1)=1，故A當n≥2時，Sn-1=12(3n-1-1∴an=Sn-Sn-1=12(3n-1)-12(3n-1-1)=3n-1，a1=1也適合，∴an=3n-1，故∵an+1an∴數(shù)列{an}是公比為3的等比數(shù)列，故C正確；∵a1=1，公比大于1，∴數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，故B正確.(2)(2024·廣州模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+n，當Sn+9an取得最小值時，n答案3解析因為Sn=n2+n，則當n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n，又當n=1時，a1=S1=2，滿足an=2n，故an=2n，則Sn+9an=n2又y=x+9x在(1，3)上單調(diào)遞減，在(3，+∞故當n=3時，n+9n取得最小值，即當n=3時，Sn題型二由數(shù)列的遞推關系求通項公式命題點1累加法例2(2025·常德模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an-an+1=2nanan+1，則an=.

答案1解析若an+1=0，則an-an+1=0，即an=an+1=0，這與a1=1矛盾，所以an+1≠0，由an-an+1=2nanan+1，兩邊同時除以anan+1，得1an+1-1則1an-1an1an-1-1a…1a3-1a1a2-1上面的式子相加可得1an-1a1=2+22+23+…+2n-1=2(1-2n-1)所以an=12n-1(n又a1=1符合該式，所以an=12命題點2累乘法例3若數(shù)列{an}滿足a1=12，a1+2a2+3a3+…+nan=n2an，則a2025=.

答案4解析因為a1+2a2+3a3+…+nan=n2an，①所以a1+2a2+3a3+…+nan+(n+1)an+1=(n+1)2an+1，②②-①得，(n+1)an+1=(n+1)2an+1-n2an?an+1a所以an=a2a1·a3a2·a4a3·…·anan-1·a1=12又a1=12也符合，所以an=12n所以a2025=4675思維升華(1)形如an+1-an=f(n)的數(shù)列，利用累加法，即可求數(shù)列{an}的通項公式.(2)形如an+1an=f(n)的數(shù)列，利用累乘法，即可求數(shù)列{跟蹤訓練2(1)已知數(shù)列{an}中，a1=1，nan+1=2(a1+a2+…+an)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為.

答案an=n解析∵nan+1=2(a1+a2+…+an)，①∴當n≥2時，(n-1)an=2(a1+a2+…+an-1)，②①-②得nan+1-(n-1)an=2an，即nan+1=(n+1)an，∴an+1a∴an=a1·a2a1·…·anan-1=1當n=1時，結論也成立.∴an=n.(2)(2024·鹽城模擬)凸五邊形有5條對角線，那么凸n+2(n≥2)邊形的對角線條數(shù)為()A.n(n-2)C.(n+2)(n答案D解析凸四邊形有2條對角線，凸五邊形有5條對角線，則得到在凸n+1(n≥3)邊形的基礎上，多一個頂點，則多n條對角線，設凸n+2邊形有f(n+2)條對角線，所以f(n+2)-f(n+1)=n，則f(5)-f(4)=3，f(6)-f(5)=4，…，f(n+2)-f(n+1)=n，累加得f(n+2)-f(4)=3+4+…+n，則f(n+2)=2+3+4+…+n=(n-1)(n+2)2當n=2時，f(4)=2也滿足此式，所以f(n+2)=(n-1)(n+2)題型三數(shù)列的性質命題點1數(shù)列的單調(diào)性例4(2024·阜陽模擬)已知數(shù)列{an}滿足an=2n2+λn(λ∈R)，則“{an}為遞增數(shù)列”是“λ≥0”的()A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件答案C解析由{an}為遞增數(shù)列得，an+1-an=[2(n+1)2+λ(n+1)]-(2n2+λn)=λ+4n+2>0，n∈N*，則λ>-(4n+2)對于n∈N*恒成立，得λ>-6，可得λ≥0?λ>-6，反之不成立.命題點2數(shù)列的周期性例5(2025·孝感模擬)在數(shù)列{an}中，a1=-2，anan+1=an-1，則數(shù)列{an}的前2025項的積為()A.-1 B.-2 C.-3 D.3答案A解析因為anan+1=an-1，an≠0，所以an+1=1-1a又a1=-2，則a2=32，a3=13，a4所以數(shù)列{an}的周期為3，且a1a2a3=-1，設數(shù)列{an}的前n項積為Tn，則T2025=a1a2a3…a2025=(-1)675=-1.命題點3數(shù)列的最值例6數(shù)列{bn}滿足bn=3n-72n-1，則當n=時，b答案45解析方法一∵bn+1-bn=3n-42n-∴當n≤3時，bn+1>bn，{bn}單調(diào)遞增，當n≥4時，bn+1<bn，{bn}單調(diào)遞減，故當n=4時，(bn)max=b4=58方法二令bn≥解得103≤n≤13又n∈N*，∴n=4，故當n=4時，(bn)max=b4=58思維升華(1)解決數(shù)列的周期性問題，先求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.(2)解決數(shù)列的單調(diào)性問題，常用作差比較法，根據(jù)差的符號判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性.跟蹤訓練3(1)(2024·周口模擬)在數(shù)列{an}中，a1=1，a2=5，an+2=an+1-an(n∈N*)，則a2025的值為()A.5 B.-5 C.4 D.-4答案C解析因為a1=1，a2=5，an+2=an+1-an(n∈N*)，所以a3=a2-a1=4，a4=a3-a2=-1，a5=a4-a3=-5，a6=a5-a4=-4，a7=a6-a5=1，a8=a7-a6=5，故數(shù)列{an}的周期為6，所以a2025=a6×337+3=a3=4.(2)已知數(shù)列{an}的通項公式為an=kn2-n-2，若{an}為遞增數(shù)列，則k的取值范圍為()A.(1，+∞) B.(0，+∞)C.12，+答案D解析an=kn2-n-2，若{an}為遞增數(shù)列，則an+1>an(n∈N*)，有k(n+1)2-(n+1)-2>kn2-n-2(n∈N*)，解得k>12n+1(n∈則k>12當n=1時，12n+1max=13則k的取值范圍為13課時精練[分值：90分]一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.觀察數(shù)列1，ln2，sin3，4，ln5，sin6，7，ln8，sin9，…，則該數(shù)列的第12項是()A.1212 B.12 C.ln12 D.sin12答案D解析通過觀察數(shù)列得出規(guī)律，數(shù)列中的項是按正整數(shù)順序排列，且3個為一循環(huán)節(jié)，由此判斷第12項是sin12.2.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn=n2-1，則a3等于()A.-5 B.5 C.7 D.8答案B解析因為Sn=n2-1，所以a3=S3-S2=(32-1)-(22-1)=5.3.已知數(shù)列{an}的項滿足an+1=nn+2an，且a1=1，則aA.2(n+1C.12n-1答案B解析由an+1=nn+2an，得an+1an=nn+2，所以a2a1=13，a3a2=24，a4a3=35，…，an-1an-2=n-2n，anan-1=n-1n+1(n≥2)，所以a2a1·a3a2·4.已知數(shù)列{an}的通項an=nn2+90，則數(shù)列{A.310 B.19 C.119 D.答案C解析令f(x)=x+90x(x>0運用基本不等式得f(x)≥610，當且僅當x=310時，等號成立.因為an=1n+90n，n∈N*，所以所以當n=9或n=10時，an=119最大5.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an-an+1=nanan+1(n∈N*)，則an等于()A.n2+nC.2n2+答案D解析易知an≠0，由題意，得1an+1-1則當n≥2時，1an-1an-1=n-1，1an-1-1an-2以上各式相加得1an-1a1=1+2+…+(n-1)=n(所以1an=n(即an=2n2-n+2當n=1時，a1=1適合此式，所以an=2n6.(2025·江門模擬)物理學家法蘭克·本福特提出的定律：在b進制的大量隨機數(shù)據(jù)中，以n開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為Pb(n)=logbn+1n.應用此定律可以檢測某些經(jīng)濟數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)是否存在造假或錯誤.若80Σn=kP10(nA.7 B.8 C.9 D.10答案C解析80Σn=kP10(n)=P10(k)+P10(k+1)+…+P10(80)=lgk+1k+lg而log4811+log25=lg81lg41+lg5二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.已知數(shù)列{an}的前n項和公式為Sn=nnA.數(shù)列{an}的首項為a1=1B.數(shù)列{an}的通項公式為an=1C.數(shù)列{an}為遞減數(shù)列D.若數(shù)列{Sn}的前n項積為Tn，則Tn=1答案ABC解析對于A，數(shù)列{an}的首項為a1=S1=11+1=12，故對于B，當n≥2時，an=Sn-Sn-1=nn+1-n-1n=1n(n+1)對于C，因為an+1-an=1(n+2)(n+1)-1n(n+1)對于D，Tn=12×23×34×…×nn+1=1n+1，所以數(shù)列{Sn}的前n項積T8.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn-an=(n-1)2，bn=2aA.Sn=n2B.an=2nC.數(shù)列{bn}是遞減數(shù)列D.數(shù)列{bn}的最小值為32答案AD解析∵an=Sn-Sn-1(n≥2)，∴Sn-an=Sn-1，則Sn-1=(n-1)2，即Sn=n2(n∈N*)，∴a1=1，當n≥2時，an=n2-(n-1)2=2n-1，又a1=1滿足上式，∴an=2n-1(n∈N*)，故A正確，B錯誤；易知bn>0，∵bn=22n-1n4，b∴bn+1bn=22n4(n+1)∴當1≤n<3時，bn>bn+1，當n≥3時，bn<bn+1，∴數(shù)列{bn}不是遞減數(shù)列，且當n=3時，bn取得最小值3281，故C錯誤，D正確三、填空題(每小題5分，共10分)9.已知數(shù)列{an}滿足an=n2-λn，n∈N*，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，試寫出一個滿足條件的實數(shù)λ的值：.

答案1(λ取滿足λ<3的任意一個實數(shù)值即可)解析因為數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，且an=n2-λn，則an+1>an，即(n+1)2-λ(n+1)>n2-λn，整理可得2n+1-λ>0，即λ<2n+1，因為n∈N*，即n≥1，所以2n+1≥3，所以λ<3.(λ取滿足λ<3的任意一個實數(shù)值即可)10.九連環(huán)是中國傳統(tǒng)民間智力玩具，它用九個圓環(huán)相連成串，環(huán)環(huán)相扣，以解開為勝，趣味無窮.現(xiàn)假設有n個圓環(huán)，用an表示按照某種規(guī)則解下n個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)，且數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an=an-2+2n-1(n≥3，n∈N*)，則解開九連環(huán)最少需要移動次.

答案341解析由題意，an=an-2+2n-1，故a3-a1=22，a5-a3=24，…a2n-1-a2n-3=22n-2，以上各式相加，可得a2n-1-a1=22+24+…+22n-2=41+42+…+4n-1，即a2n-1=1+41+42+…+4n-1=1-4n1-4所以按規(guī)則解開九連環(huán)最少需要移動的次數(shù)為a9=45四、解答題(共28分)11.(13分)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn，且滿足a1=1，an+1=2Sn(1)求a2的值；(5分)(2)求數(shù)列{an}的通項公式.(8分)解(1)∵a1=1，an+1=2Sn+1∴a2=2S1+1=2a(2)方法一由an+1=2Sn+1得Sn+1-Sn=2Sn+1，故Sn+1=(Sn+1)∵an>0，∴Sn>0，∴Sn+1=S即Sn+1-S則Sn-Sn-1=1(nSn-1-Sn-2=1，…，S由累加法可得Sn=1+(n-1)=n∴Sn=n2(n≥2)，又S1=a1=1，滿足上式，∴Sn=n2.當n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，又a1=1適合上式，∴an=2n-1.方法二由an+1=2Sn+1得(an+1-1)2=4Sn，當n≥2時，(an-1)2=4Sn-1，∴(an+1-1)2-(an-1)2=4(Sn-Sn-1)=4an.∴an+12-an2-2an+1即(an+1+an)(an+1-an-2)=0.∵an>0，∴an+1-an=2(n≥2).又∵a2-a1=2，∴{an}為等差數(shù)列，且公差為2，∴an=1+(n-1)×2=2n-1.12.(15分)已知各項均不為0的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，Sn=an(1)求{an}的通項公式；(6分)(2)若對于任意n∈N*，2n·λ≥Sn恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍.(9分)解(1)因為數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，Sn=anan+1+14，即4Sn=a當n≥2時，可得4Sn-1=an-1an+1，兩式相減得4an=an(an+1-an-1)，因為an≠0，故an+1-an-1=4，所以a1，a3，…，a2n-1，…及a2，a4，…，a2n，…均為公差為4的等差數(shù)列，當n=1時，由a1=1及S1=a1a2+14所以a2n-1=1+4(n-1)=2(2n-1)-1，a2n=3+4(n-1)=2×2n-1，所以數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1.(2)由(1)知an=2n-1，可得Sn=(2n-1)(2n+1)+1因為對于任意n∈N*，2n·λ≥Sn恒成立，所以λ≥n2設bn=n22n，則bn+1-bn=(n+1當1-2<n<1+2，即n=1，2時，bn+1-bn>0，bn<bn+1，當n>1+2，即n≥3，n∈N*時，bn+1-bn<0，