2026版步步高大一輪高考數學復習第八章§8.1直線的方程§8.1直線的方程課標要求1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.2.根據確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、斜截式、兩點式、截距式及一般式).1.直線的方向向量設A，B為直線上的兩點，則AB就是這條直線的方向向量.2.直線的傾斜角(1)定義：當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.3.直線的斜率(1)定義：把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率.斜率常用小寫字母k表示，即k＝tanα.(α≠90°)

(2)過兩點的直線的斜率公式如果直線經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝y24.直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點斜式y－y0＝k(x－x0)不含直線x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點式y-y1y2-y1＝x-x1x2不含直線x＝x1和直線y＝y1截距式xa不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐標系內的直線都適用1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)坐標平面內的任何一條直線均有傾斜角.(√)(2)直線的斜率越大，傾斜角就越大.(×)(3)若直線的傾斜角為α，則斜率為tanα.(×)(4)截距一定是正數.(×)2.直線3x－y＋2025＝0的傾斜角是()A.30° B.45°C.60° D.90°答案C解析根據題意，設直線3x－y＋2025＝0的傾斜角為α，因為其斜率k＝tanα＝3，又由0°≤α<180°，所以α＝60°.3.過點P(2，3)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為.

答案3x－2y＝0或x＋y－5＝0解析當截距為0時，直線方程為3x－2y＝0；當截距不為0時，設直線方程為xa＋則2a＋解得a＝5，直線方程為x＋y－5＝0.所以直線方程為3x－2y＝0或x＋y－5＝0.4.直線x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)所過的定點坐標為.

答案(1，－1)解析直線x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)可以化為m(y＋1)＋y＋x＝0，令y＋1＝0,y＋x＝0,解得1.掌握傾斜角與斜率的關系(1)當直線不垂直于x軸時，直線的斜率和直線的傾斜角為一一對應關系.(2)當直線l的傾斜角α∈0，π2時，α越大，直線l的斜率越大；當α∈π2，π時，(3)所有的直線都有傾斜角，但不是所有的直線都有斜率.2.直線的方向向量當直線的斜率k存在時，直線的一個方向向量為(1，k).3.謹記以下兩個關鍵點(1)“截距”是直線與坐標軸交點的坐標值，它可正，可負，也可以是零，而“距離”是一個非負數.應注意過原點的特殊情況是否滿足題意.(2)當直線的斜率存在時，可設直線的方程為y＝kx＋b；當直線的斜率不為0時，可設直線的方程為x＝ty＋b.題型一直線的傾斜角與斜率例1(1)如圖，若直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則()A.k1<k3<k2B.k3<k1<k2C.k1<k2<k3D.k3<k2<k1答案A解析當傾斜角為銳角時，斜率為正，傾斜角越大，傾斜程度越大，斜率越大；當傾斜角為鈍角時，斜率為負，所以k1<k3<k2.(2)直線(1－a2)x＋y＋1＝0(a∈R)的傾斜角的取值范圍是()A.π4，πC.0，π2∪3π4，π 答案C解析設(1－a2)x＋y＋1＝0的傾斜角為α∈[0，π)，由題意可知，直線的斜率k＝a2－1≥－1，即tanα≥－1，且α∈[0，π)，所以α∈0，π2∪思維升華直線傾斜角的范圍是[0，π)，而這個區間不是正切函數的單調區間，因此根據斜率求傾斜角的范圍時，要分0，π2與π跟蹤訓練1(1)(多選)已知直線l：3x＋y－2＝0，則下列選項中正確的有()A.直線l的斜率為－3B.直線l的傾斜角為5πC.直線l不經過第四象限D.直線l的一個方向向量為v＝(－3，3)答案AD解析由l：3x＋y－2＝0，可得y＝－3x＋2，故其斜率為k＝－3，傾斜角為2π3，故A項正確，B由直線y＝－3x＋2知其斜率k<0，縱截距b＝2>0，所以直線l不經過第三象限，經過第四象限，故C項錯誤；取直線l上兩點A(0，2)，B(3，－1)，可得BA＝(－3，3)，即直線l的一個方向向量為v＝(－3，3)，故D項正確.(2)(2025·信陽模擬)動點P在函數y＝－x(x＋1)(x≥0)的圖象上，以P為切點的切線的傾斜角的取值范圍是()A.0，π4 B.0，C.π2，2π答案C解析設以P點為切點的切線的傾斜角為θ，因為函數y＝－x32－x1所以y'＝－3＝－123x＋1x≤－1當且僅當3x＝1x，即x又因為θ∈[0，π)，所以tanθ≤－3，所以θ的取值范圍為π2題型二求直線的方程例2(1)(多選)下列四個選項中，正確的是()A.經過定點P0(x0，y0)的直線都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示B.經過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(x2－x1)·(y－y1)＝(y2－y1)·(x－x1)表示C.兩點式適用于不垂直于x軸和y軸的直線D.經過定點A(0，b)的直線都可以用方程y＝kx＋b表示答案BC解析經過定點P0(x0，y0)的直線，當斜率存在時，可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示，當斜率不存在時，用方程x＝x0表示，A錯誤；經過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(x2－x1)·(y－y1)＝(y2－y1)·(x－x1)表示，B正確；兩點式適用于不垂直于x軸和y軸的直線，C正確；經過定點A(0，b)且垂直于x軸的直線不能用方程y＝kx＋b表示，D錯誤.(2)(多選)下列說法中，正確的是()A.直線y＝5x－3在y軸上的截距為－3B.過點(3，4)且在x軸、y軸上的截距互為相反數的直線方程為x－y＋1＝0C.A(1，3)，B(2，5)，C(－2，－3)三點共線D.經過點(－1，1)且傾斜角是直線y＝2x＋3的傾斜角的兩倍的直線方程為4x＋3y＋1＝0答案ACD解析直線y＝5x－3在y軸上的截距為－3，故A正確；當在x軸、y軸上的截距都為0時，直線方程為4x－3y＝0；當在x軸、y軸上的截距都不為0時，設直線方程為x－y＝m，則m＝3－4＝－1，所以直線方程為x－y＋1＝0，故過點(3，4)且在x軸、y軸上的截距互為相反數的直線方程為x－y＋1＝0或4x－3y＝0，故B錯誤；因為kAB＝5-32-1＝2，kAC＝-3-3-2-1＝2，所以kAB＝kAC，所以A(1，3)，B(2，5)，C(－2，－3)三點共線，故設直線y＝2x＋3的傾斜角為α，則tanα＝2，顯然α是銳角，因此所求直線的斜率k＝tan2α＝2tanα1-tan2α＝2×21-22＝－43，所以所求的直線方程為y－1＝－4思維升華求直線方程的兩種方法(1)直接法：由題意確定出直線方程的適當形式.(2)待定系數法：先由直線滿足的條件設出直線方程，方程中含有待定的系數，再由題設條件求出待定系數.跟蹤訓練2求符合下列條件的直線方程：(1)直線過點A(－1，－3)，且斜率為－14(2)斜率為34(3)直線過點(2，1)，且橫截距為縱截距的兩倍.解(1)∵所求直線過點A(－1，－3)，且斜率為－14∴直線方程為y＋3＝－14(x＋1)，即x＋4y(2)設直線方程為y＝34x＋b令x＝0，得y＝b，令y＝0，得x＝－43b∴12|b|·-43b＝6∴直線方程為y＝34x±3，即3x－4y(3)當橫截距與縱截距都為0時，可設直線方程為y＝kx，又直線過點(2，1)，∴1＝2k，解得k＝12∴直線方程為y＝12x，即x－2y＝0當橫截距與縱截距都不為0時，可設直線方程為xa＋由題意可得2a＋∴直線方程為x4＋y2＝1，即x綜上，所求直線方程為x－2y＝0或x＋2y－4＝0.題型三直線方程的綜合應用例3已知直線l過點M(2，1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，O為原點，當△AOB面積最小時，求直線l的方程.解方法一設直線l的方程為y－1＝k(x－2)(k<0)，則A2-1k，0，B(0，S△AOB＝12(1－2k)·＝1≥1＝12×(4＋4)＝4當且僅當－4k＝－1k且k<0即k＝－12時，等號成立故直線l的方程為y－1＝－12(x－2即x＋2y－4＝0.方法二設直線l的方程為xa＋且a>0，b>0，因為直線l過點M(2，1)，所以2a＋則1＝2a＋1b≥22ab故S△AOB的最小值為12ab＝12×當且僅當2a＝1b，即a＝4故直線l的方程為x4＋即x＋2y－4＝0.延伸探究1.在本例條件下，當|OA|＋|OB|取最小值時，求直線l的方程.解由本例方法二知，2a＋1b＝1，a>0所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·2a＋1b＝3＋a當且僅當ab即a＝2＋2，b＝1＋2時，等號成立，所以當|OA|＋|OB|取最小值時，直線l的方程為x＋2y－2－2＝0.2.在本例條件下，當|MA|·|MB|取得最小值時，求直線l的方程.解由本例方法一知A2-1B(0，1－2k)(k<0).所以|MA|·|MB|＝1k2＝2×1＋k2k＝2當且僅當－k＝－1k且k<0，即k＝－1時，等號成立此時直線l的方程為x＋y－3＝0.思維升華直線方程綜合問題的兩大類型及解法(1)與函數相結合的問題：一般是利用直線方程中x，y的關系，將問題轉化為關于x(或y)的函數，借助函數的性質解決.(2)與方程、不等式相結合的問題：一般是利用方程、不等式的有關知識來解決.跟蹤訓練3(1)(2024·菏澤模擬)“直線y＝(k－1)x＋2k＋1經過第一、二、四象限”是“－12<k<1”A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案C解析要使y＝(k－1)x＋2k＋1經過第一、二、四象限，則k-1<0,2k＋1>0,解得因此，“直線y＝(k－1)x＋2k＋1經過第一、二、四象限”是“－12<k<1”的充要條件(2)已知O是坐標原點，直線l的方程為(m＋1)x＋y－2m－3＝0(m∈R).若直線l分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于A，B兩點，則△AOB的面積最小值為.

答案4解析由題意知m≠－1，又(m＋1)x＋y－2m－3＝0，令x＝0，得y＝2m＋3，令y＝0，得x＝2m＋3m＋1，由2所以S△AOB＝12×(2m＋3)×2m＋3令m＋1＝t>0，得到S△AOB＝12×(2t＋1)2t＝當且僅當4t＝1t，即t＝12時取等號，此時m＝－課時精練[分值：83分]一、單項選擇題(每小題5分，共40分)1.若向量a＝(3，1)是直線l的一個方向向量，則直線l的傾斜角為()A.π6 B.C.2π3 D.答案A解析設直線l的傾斜角為α(0≤α<π)，若向量a＝(3，1)是直線l的一個方向向量，則直線l的斜率為k＝tanα＝13因為0≤α<π，所以α＝π62.已知直線(a－3)x＋y＋2＝0的傾斜角為30°，則a等于()A.23 B.4C.233答案C解析直線(a－3)x＋y＋2＝0的斜率為3－a，所以tan30°＝3－a＝33，解得a＝23.已知兩條直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，傾斜角分別為α，β.若α<π2<βA.0<k1<k2 B.k1<k2<0C.k1<0<k2 D.k2<0<k1答案D解析依題意得k1＝tanα，k2＝tanβ，α∈0，π2，β∈而y＝tanx在0，π2上單調遞增，且在0，π2上，y＝tanx>0，在π2，π上，y＝tan所以tanβ<0<tanα，即k2<0<k1.4.已知直線l傾斜角的余弦值為－55，且經過點(2，1)，則直線lA.2x＋y－5＝0 B.2x－y－3＝0C.x－2y＝0 D.x＋2y－4＝0答案A解析設直線l的傾斜角為θ∈[0，π)，則cosθ＝－55，可得sinθ＝1-co則直線l的斜率k＝tanθ＝sinθcos且直線l經過點(2，1)，所以直線l的方程為y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.5.(2024·重慶期末)函數y＝3ex＋1的圖象在點(0，1＋3)處的切線的傾斜角為()A.π6 B.C.π3 D.答案C解析根據題意，函數y＝3ex＋1，y'＝3ex，當x＝0時，y'＝3，設該切線的傾斜角為α(0≤α<π)，則tanα＝3，所以α＝π3即函數y＝3ex＋1的圖象在點(0，1＋3)處的切線的傾斜角為π36.若直線y＝－mnx＋3m在y軸上的截距為－1，且它的傾斜角是直線y＝A.m＝－4，n＝－3 B.m＝4，n＝3C.m＝4，n＝－3 D.m＝－4，n＝3答案D解析y＝－mnx＋3m＝－令x＝0得y＝－3n＝－1，得n＝3，即y＝－m3x設直線y＝12x＋32的傾斜角為α，則tanα＝顯然α是銳角，則tan2α＝2tanα1-tan2α＝7.斜拉橋是將梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的橋，它由梁、斜拉索和塔柱三部分組成.如圖1，這是一座斜拉索大橋，共有10對永久拉索，在索塔兩側對稱排列.如圖2，已知拉索上端相鄰兩個錨的間距|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均為4m，拉索下端相鄰兩個錨的間距|AiAi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均為18m.最短拉索的錨P1，A1滿足|OP1|＝84m，|OA1|＝78m，以B10A10所在直線為x軸，OP10所在直線為y軸，則最長拉索所在直線的斜率為()A.±13 B.±C.±4239 D.±答案B解析由題意知{|OPi|}，{|OAi|}(i＝1，2，3，…，10)分別是公差為4和18的等差數列，所以|OP10|＝|OP1|＋9×4＝84＋9×4＝120，|OA10|＝|OB10|＝|OA1|＋9×18＝78＋9×18＝240，則P10(0，120)，A10(240，0)，B10(－240，0)，所以kBkA10P即最長拉索所在直線的斜率為±128.已知直線l的斜率小于0，且l經過點P(6，8)，并與坐標軸交于A，B兩點，C(4，0)，當△ABC的面積取得最小值時，直線l的斜率為()A.－33 B.－C.－433 答案C解析由題意可設直線l：y－8＝k(x－6)(k<0)，即y＝kx＋8－6k(k<0).不妨假設A在x軸上，則A6-8k，0，B(0，8－6k)，易知A記O為坐標原點，因為線段OA與OB的長度分別為6－8k，8－6k所以△ABC的面積S＝126-8k-4(8－6k)＝1264-64k當且僅當－64k＝－12k(k<0)，即k＝－43二、多項選擇題(每小題6分，共18分)9.下列命題中錯誤的是()A.若直線的傾斜角為鈍角，則其斜率一定為負數B.任何直線都存在斜率和傾斜角C.直線的一般式方程為Ax＋By＋C＝0D.任何一條直線至少要經過兩個象限答案BCD解析若直線的傾斜角α∈π2，π，則其斜率k＝tanα<0，傾斜角為π2的直線不存在斜率，B直線的一般式方程為Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0，C錯誤；當直線與x軸或y軸重合時，該直線不經過任何象限，D錯誤.10.下列結論正確的有()A.直線l：2x＋y－2＝0在x軸上的截距為1B.如果AB<0，BC<0，那么直線Ax＋By＋C＝0不經過第三象限C.直線kx－y－2k＋1＝0恒過定點(2，1)D.方程y－4＝k(x－3)可以表示平面內所有過點(3，4)的直線答案AC解析對于A，當y＝0時，x＝1，即直線l：2x＋y－2＝0在x軸上的截距為1，A正確；對于B，由AB<0，BC<0，得直線Ax＋By＋C＝0的斜率－AB>0，在y軸上的截距－CB因此直線Ax＋By＋C＝0經過第一、二、三象限，B錯誤；對于C，直線kx－y－2k＋1＝0，即k(x－2)－(y－1)＝0恒過定點(2，1)，C正確；對于D，方程y－4＝k(x－3)不能表示直線x＝3，D錯誤.11.下列說法正確的是()A.直線y＝ax－2a＋3(a∈R)必過定點(2，3)B.直線y＋1＝2x在y軸上的截距為1C.直線x＋3y＋3＝0的傾斜角為150°D.點A(2，－3)，B(－3，－2)，直線l：mx＋y－m－1＝0與線段AB相交，則實數m的取值范圍是m答案AC解析直線y＝ax－2a＋3＝a(x－2)＋3過定點(2，3)，A選項正確；直線y＋1＝2x即y＝2x－1，縱截距為－1，B選項錯誤；直線x＋3y＋3＝0的斜率為－33，傾斜角為150°，C直線l：mx＋y－m－1＝0即m(x－1)＋y－1＝0過定點C(1，1)，畫出圖象如圖所示，其中kAC＝-3-12-1＝－4，kBC＝-2-1-3-1＝34，直線l的斜率為－m，所以－m≥34或－m≤－4，解得m≥4或m≤三、填空題(每小題5分，共15分)12.若直線l的傾斜角為π3且在x軸上的截距為－1，則直線l的一般式方程是.答案3x－y＋3＝0解析由直線l的傾斜角為π3，可得直線l的斜率為tanπ又由直線l在x軸上的截距為－1，所以直線方程為y＝3(x＋1)，即直線l的一般式方程是3x－y＋3＝0.13.若θ∈-π2，π2，則經過兩點P(0，0)，Q(sinθ，cos答案π2－解析當θ＝0時，Q(0，1)，此時直線的傾斜角為π2當θ≠0時，因為P(0，0)，Q(sinθ，cosθ)，所以kPQ＝cosθ又因為tanπ2且π2－θ∈0，π2所以直線的傾斜角為π2－θ綜上，直線的傾斜角為π2－θ14.已知點A(－1，3)，B(3，2)，過點P32，12的直線l與線段AB相交，則直線l的傾斜角的取值范圍為，直線l答案π4，3π4(－∞，－1]解析如圖所示，由點A(－1，3)，B(3，2)，P32可得直線PA的斜率為12-332＋1＝－1，直線由直線l與線段AB相交，可得直線l的斜率的取值范圍是(－∞，－1]∪[1，＋∞)；由斜率與傾斜角的關系得傾斜角的取值范圍為π4每小題5分，共10分15.若直線沿x軸向右平移2個單位長度，再沿y軸向上平移1個單位長度后，回到原來的位置，則直線l的斜率為.

答案1解析由題意，設直線方程為y＝kx＋b，直線沿x軸向右平移2個單位長度，再沿y軸向上平移1個單位長度后，直線方程為y＝k(x－2)＋b＋1，化簡得y＝kx－2k＋b＋1，因為平移后與原直線重合，則kx＋b＝kx－2k＋b＋1，解得k＝12，即直線l的斜率為116.如圖，8個半徑為1的圓擺在坐標平面的第一象限(每個圓與相鄰的圓或坐標軸外切)，設L為八個圓形區域的并集，斜率為3的直線l將L劃分為面積相等的兩個區域，則直線l的方程為.答案3x－y－5＝0解析設直線l的方程為y＝3x＋d，當直線l與L相交時，隨著d的減小，L在這條直線上半部分的面積一定增加，下半部分的面積一定減小，任意一條過A(2，1)的直線將圓1與圓2組成的區域劃分為面積相等的兩個區域，任意一條過B(3，4)的直線將圓3與圓4組成的區域劃分為面積相等的兩個區域，對于其余的四個圓，直線AB將其平分，因此直線AB將L劃分為面積相等的兩個區域且kAB＝4-13-2＝3，∴直線AB的方程為y－1＝3(x－2)，即直線l：3x－y§8.2兩條直線的位置關系課標要求1.能根據斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標.3.掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.1.兩條直線的位置關系直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1與l3是同一條直線，l2與l4是同一條直線)的位置關系如下表：位置關系l1，l2滿足的條件l3，l4滿足的條件平行k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)垂直k1·k2＝－1A1A2＋B1B2＝0相交k1≠k2A1B2－A2B1≠02.三種距離公式(1)兩點間的距離公式①條件：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2).②結論：|P1P2|＝(x③特例：點P(x，y)到原點O(0，0)的距離|OP|＝x2(2)點到直線的距離點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝Ax(3)兩條平行直線間的距離兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝|C1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)當直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1＝k2?l1∥l2.(×)(2)若兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.(×)(3)直線外一點與直線上點的距離的最小值就是點到直線的距離.(√)(4)若點A，B關于直線l：y＝kx＋b(k≠0)對稱，則直線AB的斜率等于－1k，且線段AB的中點在直線l上.(√2.若直線2x＋my＋1＝0與直線3x＋6y－1＝0平行，則m等于()A.4 B.－4C.1 D.－1答案A解析因為直線2x＋my＋1＝0與直線3x＋6y－1＝0平行，所以23＝m6≠3.兩平行直線l1：x－2y－10＝0，l2：4y－2x－310＝0之間的距離為()A.522C.5 D.22答案A解析直線l1：x－2y－10＝0可化為2x－4y－210＝0，直線l2：4y－2x－310＝0可化為2x－4y＋310＝0，所以兩平行直線之間的距離為|34.已知直線2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0相交，則這兩條直線的交點坐標為，過交點并且垂直于直線3x＋4y－7＝0的直線方程為.

答案-53，79解析由方程組2解得x＝-53因為所求直線與直線3x＋4y－7＝0垂直，所以所求直線的斜率為k＝43由點斜式得所求直線方程為y－79即4x－3y＋9＝0.1.三種常見的直線系(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程為Ax＋By＋C1＝0(C≠C1)；(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程為Bx－Ay＋C1＝0；(3)過直線A1x＋B1y＋C1＝0與直線A2x＋B2y＋C2＝0交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直線A2x＋B2y＋C2＝0).2.謹防四個易誤點(1)兩條直線平行時，不要忘記它們的斜率有可能不存在的情況.(2)兩條直線垂直時，不要忘記一條直線的斜率不存在、另一條直線的斜率為零的情況.(3)求點到直線的距離時，應先化直線方程為一般式.(4)求兩平行線之間的距離時，應先將方程化為一般式且x，y的系數對應相等.題型一兩條直線的平行與垂直例1(1)(多選)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則下列說法正確的是()A.若A2＝0，則l2表示與x軸平行或重合的直線B.直線l1可以表示任意一條直線C.若A1B2－A2B1＝0，則l1∥l2D.若A1A2＋B1B2＝0，則l1⊥l2答案ABD解析當A2＝0時，l2的斜率為0，與x軸平行或重合，故A正確；當B1＝0時，l1的斜率不存在，當B1≠0時，l1的斜率存在，能表示任意直線，故B正確；若A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0或B1C2－B2C1≠0，則l1∥l2，故C錯誤；若B1B2≠0，則由A1A2＋B1B2＝0可得斜率之積為－1，故l1⊥l2，若B1＝0(B2＝0)，可得A2＝0(A1＝0)，此時滿足A1A2＋B1B2＝0，此時兩條直線一條斜率為0，一條斜率不存在，故l1⊥l2，故D正確.(2)數學家歐拉在1765年發表的《三角形的幾何學》一書中有這樣一個定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點分別為A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，則△ABC的歐拉線方程為()A.4x－3y－6＝0 B.3x＋4y＋3＝0C.4x＋3y－6＝0 D.3x＋4y－3＝0答案C解析因為△ABC的頂點分別為A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，所以△ABC的重心為G1，2因為kAB＝2，kAC＝－12所以kAB·kAC＝－1，所以AB⊥AC，所以△ABC的外心為BC的中點D32因為三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上，所以△ABC的歐拉線為直線GD，所以△ABC的歐拉線方程為y-023-0＝x思維升華判斷兩條直線位置關系的注意點(1)斜率不存在的特殊情況.(2)可直接利用直線方程系數間的關系得出結論.跟蹤訓練1(1)(多選)△ABC的三個頂點坐標為A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列說法中正確的是()A.邊BC與直線3x－2y＋1＝0平行B.邊BC上的高所在的直線方程為3x＋2y－12＝0C.過點C且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程為x＋y－13＝0D.過點A且平分△ABC面積的直線與邊BC相交于點D(3，5)答案BD解析直線BC的斜率為k＝7-36-0＝23，而直線3x－2y＋1＝0的斜率為邊BC上的高所在直線斜率為－32，直線方程為y＝－32(x－4)，即3x＋2y－12＝0，過點C且在兩坐標軸上的截距相等的直線不過原點時方程為x＋y－13＝0，過原點時方程為7x－6y＝0，C錯誤；過點A且平分△ABC面積的直線過邊BC的中點，中點坐標為(3，5)，D正確.(2)已知直線l1：ax－y－1＝0，l2：ax－(a－2)y－1＝0，若l1∥l2，則a＝.

答案0解析①當a＝0時，l1：y＝－1，l2：y＝12，l1∥l2②當a≠0時，若l1∥l2，則a－2＝1，可得a＝3，l1與l2重合，不符合題意，故a＝0.題型二兩直線的交點與距離問題例2(1)過兩條直線l1：x＋2y－4＝0，l2：2x－y－3＝0的交點，且與直線x＋3y＋1＝0垂直的直線的方程為()A.3x－y－5＝0 B.6x－2y－3＝0C.x－3y＋3＝0 D.3x＋y－7＝0答案A解析由x＋2y設與直線x＋3y＋1＝0垂直的直線的方程為3x－y＋m＝0，則3×2－1＋m＝0，得m＝－5，所以所求直線方程為3x－y－5＝0.(2)當點P(－2，－1)到直線l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)的距離最大時，其最大值以及此時的直線方程分別為()A.13；3x＋2y－5＝0B.11；3x＋2y－5＝0C.13；2x－3y＋1＝0D.11；2x－3y＋1＝0答案A解析將直線l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)變形得x＋y－2＋λ(3x＋y－4)＝0，由x＋y-2＝0,3x＋y-4＝0,解得當AP⊥l時，點P(－2，－1)到直線l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)的距離最大，最大值為|AP|＝(-2-1)又直線AP的斜率kAP＝-1-1-2-1則直線l的斜率為－32所以此時直線l的方程為y－1＝－32(x－1)，即3x＋2y思維升華利用距離公式應注意的點(1)點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|.(2)使用兩條平行線間的距離公式前要把兩條直線方程化為一般式且x，y的系數對應相等.跟蹤訓練2已知兩條平行直線分別過點A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自繞點A，B旋轉，兩平行線之間的距離的最大值為，此時兩平行直線方程分別為.

答案3103x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0解析兩條平行直線分別過點A(6，2)，B(－3，－1)，并且各自繞點A，B旋轉，當AB與兩平行直線垂直時，兩平行線之間的距離最大，|AB|＝(6＋3)2＋(2＋1這兩條平行直線之間的距離有最大值，最大值為310，∵直線AB的斜率kAB＝2＋16＋3故這兩條平行直線的斜率為－3，則兩平行直線方程分別為y－2＝－3(x－6)，y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.題型三對稱問題例3已知直線l：x＋2y－2＝0，試求：(1)點P(－2，－1)關于直線l的對稱點坐標；(2)直線l1：y＝x－2關于直線l對稱的直線l2的方程；(3)直線l關于點M(1，1)對稱的直線l'的方程.解(1)設點P(－2，－1)關于直線l的對稱點為Q(x，y)，則y＋1x所以對稱點Q的坐標為25(2)由x＋2y-2＝0,y＝x-2,解得x＝2,y點E(0，－2)是直線l1上的點，設它關于直線l的對稱點為B(x1，y1)，則y1＋2即B125kAB＝14512所以直線l2的方程為y＝7(x－2)，即7x－y－14＝0.(3)方法一在直線l：x＋2y－2＝0上任取兩點，如A(2，0)，C(0，1)，則A，C關于點M(1，1)的對稱點A'，C'均在直線l'上，易得A'(0，2)，C'(2，1)，所以直線l'的方程為y－2＝1-22-0x即x＋2y－4＝0.方法二設直線l關于點M(1，1)對稱的直線l'的方程為x＋2y＋m＝0，m≠－2，由|1＋2-2|5＝|1＋2＋m5，解得m＝－2(舍去)或m思維升華對稱問題的求解策略(1)解決對稱問題的思路是利用待定系數法將幾何關系轉化為代數關系求解.(2)中心對稱問題可以利用中點坐標公式解題，兩點軸對稱問題可以利用垂直和中點兩個條件列方程組解題.跟蹤訓練3已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2).求：(1)點A關于直線l的對稱點A'的坐標；(2)直線m：3x－2y－6＝0關于直線l對稱的直線m'的方程；(3)直線l關于點A的對稱直線l'的方程.解(1)設A'(x，y)，由已知條件得y解得x＝-3313,(2)在直線m上取一點，如M(2，0)，則M(2，0)關于直線l的對稱點M'必在直線m'上.設對稱點M'(a，b)，則2×a＋22設直線m與直線l的交點為Q，由2x-3y＋1＝0,3x-2又m'經過點Q(4，3)，所以直線m'的方程為y-33013-3＝x(3)方法一在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點，如P(1，1)，Q(4，3)，則P，Q關于點A(－1，－2)的對稱點P'，Q'均在直線l'上，易得P'(－3，－5)，Q'(－6，－7)，所以l'的方程為y＋5-7＋5＝x＋3-6＋3方法二因為l∥l'，所以設l'的方程為2x－3y＋C＝0(C≠1).因為點A(－1，－2)到兩直線l，l'的距離相等，所以由點到直線的距離公式，得|-2＋6＋C22所以l'的方程為2x－3y－9＝0.課時精練[分值：85分]一、單項選擇題(每小題5分，共40分)1.已知直線l1：x＋(a－1)y－3＝0與直線l2：x＋2y＋3＝0相互垂直，則a的值為()A.12 C.3 D.－1答案A解析∵l1⊥l2，∴1×1＋(a－1)·2＝0?a＝122.“m＝－3”是“直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析由直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，得2m＝m＋13≠4-2且m≠0，解得m＝2或m＝－3，所以“m＝－3”是“直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋33.與直線2x＋3y＋1＝0平行且過點(0，1)的直線方程是()A.2x＋3y－3＝0 B.3x＋2y－2＝0C.2x－3y＋3＝0 D.3x－2y＋2＝0答案A解析設所求直線方程為2x＋3y＋C＝0(C≠1)，又過點(0，1)，則可得3＋C＝0，解得C＝－3，則所求直線方程為2x＋3y－3＝0.4.已知從點(5，2)發出的一束光線，經x軸反射后，反射光線恰好過點(1，2)，則入射光線所在的直線方程為()A.x－y－3＝0 B.x＋y－7＝0C.x－y＋3＝0 D.x＋y－3＝0答案A解析運用點關于直線對稱，求出(1，2)關于x軸的對稱點為(1，－2)，又(1，－2)與(5，2)在同一條直線上，運用兩點式得到入射光線所在的直線方程為y-2-2-2＝x-5則入射光線所在的直線方程為x－y－3＝0.5.若曲線y＝f(x)＝2sinx＋2025在點π3，fπ3處的切線與直線yA.1 B.－1C.2 D.－2答案B解析函數f(x)＝2sinx＋2025，求導得f'(x)＝2cosx，因此曲線在點π3，fπ3處的切線斜率為k＝f'π3＝1，而切線與直線y＝ax＋26.已知直線l：x＋my－2m－1＝0，則點P(2，－1)到直線l距離的最大值為()A.5 B.10C.5 D.10答案B解析直線l：x＋my－2m－1＝0，即x－1＋m(y－2)＝0，由x-1＝0,所以直線l過定點A(1，2)，當直線l垂直于直線AP時，距離最大，此時最大值為|AP|＝(2-1)7.(2025·大同模擬)已知實數a，b，c，d滿足3a－4b＋3＝0，3c－4d－7＝0，則(a－c)2＋(b－d)2的最小值為()A.1 B.2C.3 D.4答案D解析由題意得，點A(a，b)在直線3x－4y＋3＝0上，點B(c，d)在直線3x－4y－7＝0上，兩直線平行，所以(a－c)2＋(b－d)2的最小值為兩平行線間距離的平方，即|3＋78.過定點A的動直線x＋ky＝0和過定點B的動直線kx－y－2k＋1＝0交于點M，則|MA|＋|MB|的最大值是()A.22 B.3C.10 D.15答案C解析由題意知x＋ky＝0過定點A(0，0)，動直線kx－y－2k＋1＝0，即k(x－2)－y＋1＝0過定點B(2，1)，對于直線x＋ky＝0和動直線kx－y－2k＋1＝0滿足1×k＋k×(－1)＝0，故兩直線垂直，因此點M在以AB為直徑的圓上(除去點(2，0))，|AB|＝22則|MA|2＋|MB|2＝5，所以(|MA|＋|MB|)2＝|MA|2＋|MB|2＋2|MA||MB|≤2(|MA|2＋|MB|2)＝10，當且僅當|MA|＝|MB|＝102故|MA|＋|MB|的最大值為10.二、多項選擇題(每小題6分，共18分)9.已知直線l：3x－y＋1＝0，則下列結論正確的是()A.直線l過第一、三、四象限B.過點(3，1)與直線l平行的直線的方程是3x－y－2＝0C.直線3x－y＋2＝0到直線l的距離為1D.若直線m：x－3y＋1＝0，則l⊥m答案BC解析直線l過第一、二、三象限，故A錯誤；設過點(3，1)且與直線l平行的直線的方程為3x－y＋t＝0(t≠1)，由于點(3，1)滿足該直線，代入得t＝－2，所以所求的直線方程為3x－y－2＝0，故B正確；由于直線l：3x－y＋1＝0與直線3x－y＋2＝0平行，故兩直線間的距離d＝|2-1|(直線l的斜率為kl＝3，直線m的斜率為km＝33，因為klkm≠－1，所以直線l和直線m不垂直，故D錯誤10.對于直線l1：ax＋2y＋3a＝0，l2：3x＋(a－1)y＋3－a＝0，則()A.l1∥l2的充要條件是a＝3或a＝－2B.當a＝25時，l1⊥lC.直線l2經過第二象限內的某定點D.點P(1，3)到直線l1的距離的最大值為32答案ABC解析若l1∥l2，則a(a－1)－6＝0，解得a＝3或a＝－2，經檢驗，符合題意，所以a＝3或a＝－2，所以l1∥l2的充要條件是a＝3或a＝－2，故A正確；當a＝25時，3a＋2(a－1)＝65－65＝0，所以l1⊥由l2：3x＋(a－1)y＋3－a＝0，得(y－1)a＋3x－y＋3＝0，令y-1＝0,3x-y＋3＝0,解得x由l1：ax＋2y＋3a＝0，得(x＋3)a＋2y＝0，令x＋3＝0,2y＝0,解得x＝-3,y＝0,所以直線l1過定點M(－3，0)，當PM⊥l1時，點P(1，3)到直線l11.(2025·眉山模擬)已知直線l：2x－y＋3＝0，點R(0，2)，P(1，1)，Q(1－