2025年“三新”協(xié)同教研共同體高一聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4.本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版必修第二冊(cè)第一章至第五章。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z滿足z1+iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.已知向量a=(2,-m),b=(3m+2,2),且a⊥b,則3a+b=A.(2,1)B.(5,5)C.(-1,2)D.(6,3)3.已知角α的終邊過點(diǎn)(3,-4),則sin2α=A.35B.?35C.?4.在△ABC中,AN=13NCA.?35B.35C.15.已知函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示，則f(x)的解析式可能是A.f(x)=sin(sinx)B.f(x)=tan(sinx)C.f(x)=cos(tanx)D.f(x)=tan(cosx)6.若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f(x+π)=f(x),當(dāng)x∈0π2A.32+12【高一數(shù)學(xué)第1頁(共4頁)】7.方程x2A.0B.1C.2D.38.設(shè)A,B,C是函數(shù)fx=sinπA.3π3C.02π二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的。全部選對(duì)的得6分，部分選擇的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知函數(shù)fxA.fB.將f(x)的圖象向右平移π/3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=2sin2x?C.直線x=5πD.直線y=3與f(x)的圖象相交，存在兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)t?,t?,使得10.任何一個(gè)復(fù)數(shù)z都可以表示為re1?，且可以表示為三角形式r(cosθ+isinθ)，r代表復(fù)數(shù)z的模，θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，以O(shè)Z所在的射線為終邊的角.著名數(shù)學(xué)家棣莫弗就此進(jìn)行了深度探究，發(fā)現(xiàn)[rcosθ+isinθA.2cos3π7C.2cosπ711.八卦陣是我國(guó)的文化瑰寶，其可近似視為正八邊形，圖1是一個(gè)八卦陣示意圖，圖2是從圖1中抽象出的幾何圖形的示意圖.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長(zhǎng)為4，O是正八邊形ABCDEFGH的中心，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是A.B.BD在BC方向上的投影向量為1+C.PC?PDD.若函數(shù)fx=∣BE【高一數(shù)學(xué)第2頁(共4頁)】三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a,b滿足|a|=4,|b|=2,|a-b|=5,則|a+b|的值為▲.13.已知a為常數(shù)，且a∈R，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)滿足|z-a|≤2，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合所形成的圖形的面積為▲.14.在銳角△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知acosB+bcos四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或者演算步驟。15.(13分)已知復(fù)數(shù)z滿足∣z∣=2(1)求z;(2)若z的實(shí)部為正數(shù)，,z,z2,2z+z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，求(cos16.(15分)已知函數(shù)(1)化簡(jiǎn)f(x);(2)已知α,β都是銳角,sinα=17.(15分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.(1)若∠ACB=π3,∠ACB的平分線交AB于點(diǎn)D，且(2)若角A,B,C滿足sin2A+sin2【高一數(shù)學(xué)第3頁(共4頁)】18.(17分)設(shè)函數(shù)f(1)求f(x)在R上的最大值;(2)若不等式fx>0在(3)若方程.fx19.(17分)“算兩次”原理(又稱富比尼原理)是一種重要的數(shù)學(xué)思想，其核心是通過對(duì)同一量采用兩種不同的計(jì)算方式，利用結(jié)果的等價(jià)性構(gòu)建等式來解決問題.例如：如圖甲，在△ABC中,D為BC的中點(diǎn)，則AD=AB+BD,AD=AC+CD(1)如圖乙,在四邊形ABCD中,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),證明:2(2)如圖丙,在四邊形ABCD中,E,F分別在邊AD,BC上,且AE=14AD,BF=14BC,AB=4,DC=3,AB與(3)若在四邊形ABCD中,E,F分別在邊AD,BC上,且AE=1mAD,BF=1mBC,AB=p,DC=q,【高一數(shù)學(xué)第4頁(共4頁)】2025年“三新”協(xié)同教研共同體高一聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷參考答案題號(hào)12345678910答案DBCADCAAABDBD題號(hào)11答案ABC1.D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法計(jì)算出z，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義寫出z，，最后確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的位置.【詳解】由z1+i=2?i可知z=(2-i)(1+i)=3+i,則故選D.2.B【分析】由a⊥b,可得6m+4-2m=0,求出m的值,從而可求出3a+b的坐標(biāo).【詳解】因?yàn)橄蛄縜=(2,-m),b=(3m+2,2),且a⊥b,所以6m+4-2m=0,解得m=-1,所以a=(2,1),b=(-1,2),所以3a+b=(6,3)+(-1,2)=(5,5).故選B.3.C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出sinα，cosα，結(jié)合二倍角的正弦公式計(jì)算即可求解.由題意知，sin所以sin故選C.4.A【分析】根據(jù)給定條件，利用共線向量定理的推論列式計(jì)算即得.【詳解】由AN=13NC,得AC=4所以m=?故選A.【高一數(shù)學(xué)·參考答案第1頁(共9頁)】5.D【分析】利用函數(shù)的奇偶性、定義域，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)判定即可.【詳解】觀察圖象可知函數(shù)為偶函數(shù).對(duì)于A,f(-x)=sin(sin(-x))=sin(-sinx)=-sin(sinx)=-f(x),為奇函數(shù),排除;對(duì)于B,f(-x)=tan(sin(-x))=tan(-sinx)=-tan(sinx)=--f(x),為奇函數(shù)，排除；同理，C，D選項(xiàng)為偶函數(shù)，而對(duì)于C項(xiàng)，其定義域?yàn)?π故選D.6.C【分析】由題意可得f(x)的最小正周期為π，由奇函數(shù)的定義和周期性，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，計(jì)算可得所求和.【詳解】f(x)是定義在R上的奇函數(shù),則f(x)=-f(-x),又滿足f(x+π)=f(x),可得f(x)的最小正周期為π,所以f(x+π)=--f(-x),則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(π20)對(duì)稱，即.又當(dāng)x∈0所以f=f=?3故選C.7.A【分析】根據(jù)1=sin【詳解】原方程化為x?J由sinπx2=0,得x=2k(k∈Z),代入x=cosπx故選A.8.A【分析】先化簡(jiǎn)變換得到fx=cosωx,gx=cos【高一數(shù)學(xué)·參考答案第2頁(共9頁)】銳角三角形，只須π4<∠ACB<π2【詳解】由題意得，fx=sinπA，B，C為連續(xù)三個(gè)交點(diǎn)(不妨設(shè)B在x軸下方)，D為AC的中點(diǎn)，由對(duì)稱性，得△ABC是以∠ABC為頂角的等腰三角形，AC=T=由cosωx=cosωx?解得tanωx=33即yC=?y因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，則π所以tan∠ACB=BDDC故選A.9.ABD【分析】根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖象的平移變換即可求解.【詳解】由圖知，A=2,T4=π將(π/3,0)代入f(x)=2sin(2x+φ),得2sin2×π3+=0,解得=kπ?所以f(x)的解析式為f對(duì)于A,fπ對(duì)于B，將f(x)的圖象向右平移π/3個(gè)單位長(zhǎng)度，得fx=2sin對(duì)于C,f5π6=2sin對(duì)于D，由三角函數(shù)的性質(zhì)知，2t+π3=π3+2kπ或【高一數(shù)學(xué)·參考答案第3頁(共9頁)】故選ABD.10.BD【分析】根據(jù)棣莫弗定理可得z的一般形式，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】設(shè)z=r(cosθ+isinθ),其中r>0,則z所以r?cos7θ=128,sin7θ=0,而cos7θ>0,則7θ=2kπ,k∈Z,故r=2,z=2故B,D正確,A,C錯(cuò)誤.故選BD.11.ABC【分析】根據(jù)題意，建系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)OA=a，利用余弦定理求得a2=16+82.對(duì)于A，代入點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算即可判斷；對(duì)于B，根據(jù)投影向量的定義計(jì)算即可判斷；對(duì)于C，取CD的中點(diǎn)M，推得PC+PD2【詳解】如圖，以GC所在直線為x軸，以AE所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)OA=a,在△OAB中,由余弦定理得a2+a2A(0,-a),B(22a,-2a),C(a,0),D([2,,24E(0,a),F對(duì)于AOB+OD=2對(duì)于BBD=02a,BC=2?22a2對(duì)于C，取CD的中點(diǎn)M，則PC+PD=2兩式相減，可得4PC?PD=4PM2?MC2【高一數(shù)學(xué)·參考答案第4頁(共9頁)】則PM2=2+24+12對(duì)于D，因?yàn)锽E則[f(x)]2=(BE-xBC)2=BE2-2xBE,BC+x2BC2=(2+2)a2-2a2x+(2-2)a2x2=[(2-2)x2-2x+2+2]a2,則當(dāng)x=??222?2=故f(x)的最小值fx故選ABC.12.【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和模的性質(zhì)證明∣a?b∣【詳解】因?yàn)閍?b∣a+b所以|a?b又|a|=4,|b|=2,|a-b|=5所以5+∣a+b所以∣a+b∣2=35,故答案為3513.4π【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，則|z-a|≤2表示點(diǎn)Z到點(diǎn)(a，0)的距離小于或等于2，所以復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合所形成的圖形是以(a，0)為圓心，2為半徑的圓面，所以圓的面積為π×故答案為4π.14.【分析】由題中式子知sinC=【詳解】由acosB+bcosA=3sinC,得2RsinA+B【高一數(shù)學(xué)·參考答案第5頁(共9頁)】12ab故答案為215.(1)z=1-i或z=?1+i;【詳解】(1)設(shè)z=x+yi(x,y∈R),則z則{x解得{x=1,y=?1或∴z=1-i或z=-1+i.…………………6分(2)∵z的實(shí)部為正數(shù)，∴z=1-i,……………………7分∴則.A(1,--1),B(0,-2),C(2,-4),則AB=∴cos16.【分析】(1)應(yīng)用誘導(dǎo)公式、二倍角公式化簡(jiǎn)即可；(2)根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，結(jié)合角的范圍求出cosα，sin(α+β)，最后根據(jù)sinβ=sin[(α+β)-α]及兩角差的正弦公式計(jì)算可得.【詳解】1fx=(2)因?yàn)榻铅翞殇J角，且sinα=437,所以又因?yàn)閏osα+β=?1114,所以【高一數(shù)學(xué)·參考答案第6頁(共9頁)】=517.(1)4;(2)見解析.【分析】(1)由等面積法和三角形面積公式得出32ab=12(2)利用三角恒等變換及和差化積公式即可證明.【詳解】(1)因?yàn)?C=π3,所以C2由S△CAB=S△CAD所以32所以CD=3(2)由于ssin因此1?cos所以3cos則2所以cos2A+cos2B+2cos2C=0,……………10分所以2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2C=0,即---2cosCcos(A-B)+2cos2C=0,即cosC[cosC-cos(A-B)]=0,故cosC=0或cosC=cos(A-B).…………12分由a>b>c,可得π>A>B>C>0,所以π>A-B>0,π>C>0,所以C=π由A>B>C,可得(C<π因此該三角形為直角三角形.……………………15分【分析】(1)令t=cosx，根據(jù)余弦函數(shù)的有界性知t∈[--1，1]，原函數(shù)變?yōu)橐詔為自變量的開口向下的二次函數(shù)，討論對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系，分別求解即可；(2)利用換元法將問題轉(zhuǎn)化為g(t)min>0在12(3)參考詳解.【詳解】1)fx【高一數(shù)學(xué)·參考答案第7頁(共9頁)】[-1,1],得gt①當(dāng)-a<-1,即a>1時(shí),f(x)max=g(-1)=3a+1.②當(dāng)-1≤-a≤1,即-1≤a≤1時(shí),f③當(dāng)-a>1,即a<-1時(shí),f(x)max=g(1)=-a+1.綜上可知，…………………6分(2)若要f(x)>0,則需f(x)min>0,當(dāng)x∈0π3函數(shù)y=f(x)變?yōu)間所求問題變?yōu)間(t)min>0恒成立.…………………8分易知g(t)的圖象是開口向下的拋物線的一部分，最小值一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得，所以有………10分解得a<1,故a的取值范圍是(-∞,1).………12分(3)(方法一)原方程.fx=?cos0.令t=cosx∈[-1,1],即t2當(dāng)t∈(-1,1)時(shí),t=cosx在x∈(0,2π]上一個(gè)t對(duì)應(yīng)兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,因此原題可轉(zhuǎn)化為y=a與y=t2?1的圖象在t∈(-1，