/湖南省長沙市2024_2025學年高二下冊第一次學情檢測（3月）數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．若集合，則（

）A． B． C． D．2．的展開式中的系數為（

）A． B． C． D．3．云計算是信息技術發展的集中體現，近年來，我國云計算市場規模持續增長．已知某科技公司2018年至2022年云計算市場規模數據，且市場規模y（單位：千萬元）與年份代碼x的關系可以用模型（其中e＝2.71828…）擬合，設，得到數據統計如下表：年份2018年2019年2020年2021年2022年x12345ym112036.654.6zn2.433.64由上表可得回歸方程，則m的值約為（

）A．2 B．7.4 C．1.96 D．6.94．第屆中國國際航空航天博覽會于年月日至日在珠海舉行．本屆航展規模空前，首次打造“空、海、陸”一體的動態演示新格局，盡顯逐夢長空的中國力量．航展共開辟了三處觀展區，分別是珠海國際航展中心、金鳳臺觀演區、無人系統演示區．甲、乙、丙、丁四人相約去參觀，每個觀展區至少有人，每人只參觀一個觀展區．在甲參觀珠海國際航展中心的條件下，甲與乙不到同一觀展區的概率為（

）A． B． C． D．5．一醫療團隊為研究治療某種疾病的新藥能否有助于7天內治愈該疾病病人，在已患病的500例病人中，隨機分為兩組，實驗組服用該新藥，對照組不服用該藥，在其他治療措施相同的情況下，統計7天內痊愈病例數，得到如下數據：7天內未痊愈7天內痊愈對照組30170實驗組20280根據表格數據，下列結論正確的是（

）參考公式及數據：，其中．0.100.0100.0012.7066.63510.828A．在犯錯誤的概率不大于0.01的前提下，可以認為服用該新藥與7天內治愈病人無關B．在犯錯誤的概率不大于0.001的前提下，可以認為服用該新藥與7天內治愈病人無關C．根據小概率值的獨立性檢驗，可以推斷服用該新藥與7天內治愈病人有關D．根據小概率值的獨立性檢驗，可以推斷服用該新藥與7天內治愈病人有關6．五行是華夏民族創造的哲學思想，多用于哲學?中醫學和占卜方面，五行學說是華夏文明重要組成部分.古代先民認為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金?木?水?火?土，彼此之間存在相生相克的關系.下圖是五行圖，現有5種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如水克火，木克土，可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數有（

）

A．3125 B．1000 C．1040 D．10207．已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．8．已知函數，若對任意的，，，都有成立，則實數k的取值范圍為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列四個命題中正確的是（

）A．已知事件相互獨立，，，則B．已知隨機變量，若，則C．已知隨機變量，若，則D．已知，，，則10．已知函數，的圖象與直線交于、兩點，且，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則無最值C．D．在處的切線的斜率大于11．已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點（異于坐標原點），則下列說法正確的是（

）A．以為直徑的圓與軸相切B．若直線過點，則的最小值為C．若直線的斜率為2，且，則D．若，則直線過定點三、填空題（本大題共3小題）12．現有來自兩個班級的考生報名表，分裝2袋，第一袋有6名男生和4名女生的報名表，第二袋有7名男生和5名女生的報名表，隨機選擇一袋，然后從中隨機抽取2份.則恰好抽到男生和女生的報名表各1份的概率是.13．已知向量，，則的最大值為14．已知正實數滿足，則．四、解答題（本大題共5小題）15．已知數列滿足.(1)求數列的通項公式；(2)令，記數列的前項和為，求證.16．如圖，在三棱錐中，為棱上一點，，且，．(1)證明：平面；(2)求四面體的外接球的體積；(3)若平面與平面夾角的余弦值為，求的長．17．甲、乙兩名同學與一臺智能機器人進行象棋比賽，記分規則如下：在一輪比賽中，如果甲贏而乙輸，甲得1分；如果甲輸而乙贏，甲得-1分；如果甲和乙同時贏或同時輸，甲得0分.設甲贏機器人的概率為0.6，乙贏機器人的概率為0.5.(1)在一輪比賽中，甲的得分X的分布列；(2)在兩輪比賽中，甲的得分Y的分布列；(3)Y的均值和方差.18．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a＞b＞0的左、右焦點分別為F1，F2，右頂點和上頂點分別為P，Q且PF1=3．直線l經過F1交C1求C的方程;2求△PAB面積的最大值;3若直線PA，PB與y軸分別交于M，N兩點，問△MF1F19．定義：如果函數在定義域內，存在極大值和極小值，且存在一個常數，使成立，則稱函數為極值可差比函數，常數稱為該函數的極值差比系數.已知函數.(1)當時，判斷是否為極值可差比函數，并說明理由；(2)是否存在使的極值差比系數為？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；(3)若，求的極值差比系數的取值范圍.

答案1．【正確答案】D【詳解】，故，故選D.2．【正確答案】D【詳解】展開式的通項公式為，當時，，當時，，所以展開式中含的項為，故展開式中的系數.故選D.3．【正確答案】B【詳解】由題意可得，，將代入可得，且，所以，又因為，即，所以.故選B.4．【正確答案】A【詳解】記事件甲參觀珠海國際航展中心，事件甲與乙不到同一觀展區，則，因為每個觀展區至少有人，每人只參觀一個觀展區，則先將個人分為組，再將這三組分配給三個展區，基本事件的總數為，若事件、同時發生，若參觀珠海國際航展中心有人，則另外一人為丙或丁，此時，不同的參觀情況種數為，若參觀珠海國際航展中心只有甲一人，將另外三人分成兩組，再將這兩組分配給另外兩個展區，此時，不同的參觀情況種數為種，因此，，由條件概率公式可得.故選A.5．【正確答案】C【詳解】，所以根據小概率值的獨立性檢驗，有充分證據推斷服用該新藥對7天內治愈病人有影響，因此在犯錯誤的概率不大于0.01的前提下，可以推斷服用該新藥與7天內治愈病人有關，故C正確，A錯誤.，所以根據小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷服用該新藥對7天內治愈病人有關，因此在犯錯誤的概率不大于0.001的前提下，不可以推斷服用該新藥與7天內治愈病人有關，故BD錯誤.故選C.6．【正確答案】D【詳解】五行相克可以用同一種顏色，也可以不用同一種顏色，即無限制條件.五行相生不能用同一種顏色，即相鄰位置不能用同一種顏色.故問題轉化為如圖五個區域，有種不同的顏色可用，要求相鄰區域不能涂同一種顏色，即域的環狀涂色問題.

分為以下兩類情況：第一類：三個區域涂三種不同的顏色，第一步涂區域，從種不同的顏色中選種按序涂在不同的個區域上，則有種方法，第二步涂區域，由于顏色不同，有種方法，第三步涂區域，由于顏色不同，則有種方法，由分步計數原理，則共有種方法；第二類：三個區域涂兩種不同的顏色，由于不能涂同一色，則涂一色，或涂同一色，兩種情況方法數相同.若涂一色，第一步涂區域，可看成同一區域，且區域不同色，即涂個區域不同色，從種不同的顏色中選種按序涂在不同的個區域上，則有種方法，第二步涂區域，由于顏色相同，則有種方法，第三步涂區域，由于顏色不同，則有種方法，由分步計數原理，則共有種方法；若涂一色，與涂一色的方法數相同，則共有種方法.由分類計數原理可知，不同的涂色方法共有種.故選D.7．【正確答案】A【詳解】對于正三棱臺，設上底面所在圓面半徑為，下底面所在圓面半徑為.對于正三角形，其外接圓半徑與邊長的關系為.上底面邊長，則.下底面邊長，則.

設球心到上下底面的距離分別為，，球的半徑為因為正三棱臺的高，且.根據和.設，則或.由和可得：,解得.把代入，得.

根據球的表面積公式.把代入可得.

故該球的表面積為.故選A.8．【正確答案】C【詳解】設，則，令，則，因為，所以，，當且僅當時等號成立，當，即時，函數在上單調遞減，則，當，即時，，當，即時，函數在上單調遞增，則，所以，當時，，，由于對任意的，，，都有成立，所以，，解得，當時，，顯然符合題意，當時，，，由題意知，，解得，，綜上可得，的取值范圍為，故選C.9．【正確答案】BCD【詳解】選項A：因為事件相互獨立，，，所以，，A說法錯誤；選項B：因為隨機變量，，又因為，所以，，B說法正確；選項C：由解得，又因為隨機變量，所以，解得，C說法正確；選項D：因為，所以，所以，D說法正確；故選BCD.10．【正確答案】BCD【詳解】對于A選項，函數的定義域為，，令，則，令，則，所以函數的單調減區間為，單調增區間為，所以函數的極小值為，作出函數的圖象如下圖所示：當時，則函數有兩個零點，所以，，解得，A錯；對于B選項，若，對于函數，有，解得，即函數的定義域為，且，，當且僅當時，等號成立，所以，函數在上為減函數，函數無極值，B對；對于C選項，因為函數的單調減區間為，單調增區間為，則，要證，即證，令，，其中，則，所以，函數在上為增函數，當時，，所以，，C對；對于D選項，因為，所以，所以，因為，則，因為所以函數在處的切線斜率大于，D對.故選BCD.11．【正確答案】AD【詳解】對于A，，設，取的中點，過點作軸的垂線，垂足為，則，，所以，所以，所以以為直徑的圓與軸相切，故A正確；對于B，當直線的斜率不存在時，因為直線過點，得或，所以；當直線的斜率存在且不為0時，設直線的方程為，由，得，設，則，此時．綜上所述，，故B錯誤；對于C，設，不妨設點A在軸上方，則.因為，所以，即，由直線的斜率為2，①當時，設，所以，所以，解得，所以，，所以；②當時，設，所以，所以，解得，所以，，所以．結合①，②可得或，故C錯誤；對于D，當直線的斜率不存在時，因為，所以，易得或，則直線的方程為，過點；當直線的斜率存在且不為0時，設直線的方程為，由，得，設，則，所以，因為，所以，所以，所以，又兩點異于坐標原點，所以，得，所以直線的方程為，則直線過點，故D正確．故選AD．12．【正確答案】【詳解】設抽“到第一袋”，“抽到第二袋”，“隨機抽取2份，恰好抽到男生和女生的報名表各1份”，則，，．由全概率公式得．13．【正確答案】3【詳解】，又，，.所以的最大值為.14．【正確答案】【詳解】試題分析:由題設可得(當且僅當時取等號),即,也即,所以.考點：函數方程思想及基本不等式的運用條件．【易錯點晴】基本不等式是高中數學中的重要內容和解答數學問題的重要工具之一.本題設置的目的是考查基本不等式的靈活運用和靈活運用所學知識去分析問題解決問題的能力.求解時先將已知變形為,然后再運用基本不等式得到,再用取得等號時的條件,使得問題獲解.15．【正確答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）當時，，當時，，，故.時，上式亦成立.所以數列的通項公式為：（2）因為，所以，所以兩式相減得：，所以.16．【正確答案】(1)證明見解析；(2)(3)【詳解】（1）根據題意由可得，即，又，且平面，因此平面；（2）由（1）中平面，又平面，所以；又，，所以兩兩垂直，所以四面體的外接球即為以為長方體的長、寬、高時長方體的外接球，該球直徑為，因此四面體的外接球的體積為.（3）由（1）中兩兩垂直可知，以為坐標原點，所在直線分別為軸，過點作垂直于平面的直線作為軸建立空間直角坐標系，如下所示：設，在中由勾股定理可得，易知；可得；設平面的法向量為，則，令，則，所以，設平面的法向量為，則，解得，令，則，所以，因此可得，解得.可得的長為.17．【正確答案】(1)見解析(2)見解析(3)，【詳解】（1）由題設，的可能取值為－1，0，1，，，．的概率分布為X－101P0.20.50.3（2）由題設，的可能取值－2，－1，0，1，2，，，，，．的概率分布為Y－2－1012P0.040.20.370.30.09（3）所以.18．【正確答案】（1）x2（2）92（3）經過，理由如下.【詳解】1依題意有Pa,0，Q0,b，A?c,則b2a?0?c?0=3?b?00?a則橢圓方程為x22設Ax1,y1，B3m2+4由韋達定理有y1+y則|y于是S令t=m2+1?1，y=3t+1則S△PAB?92，故△PAB3△MF1F2的外接圓經過點N．直線令x=0，則y=2y12?x則F1M?=1,故有F=1+?36故F1M⊥F1N，同理可證F19．【正確答案】(1)是，理由見解析(2)不存在，理由見解析(3)【詳解】（1）當時，（），則當時，，當，，所以在和上嚴格遞增，在上嚴格遞減，所以的極大值為，極小值為，所以，所以是極值差比函數.（2）的定義域為，，假設存在使的極值差比系數為，則，是方程的兩個不相等的正實數根，則，