貴州省六盤水市2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．下列圖形中，可以表示函數(shù)的是（

）A． B．C． D．3．已知，則（

）A．1 B． C． D．24．已知函數(shù)且，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．函數(shù)的值域?yàn)锽．若，則C．函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)D．若，則5．已知長方體的長?寬?高分別為，則這個(gè)長方體外接球的表面積與體積之比為（

）A． B． C． D．6．在中，是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，則（

）A．0 B． C． D．17．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．-2 B．-1 C．0 D．28．已知，則的值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．如圖在正方體中，分別是的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．平面 B．平面C．四點(diǎn)共面 D．與所成的角為10．下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．11．已知向量的數(shù)量積（又稱向量的點(diǎn)積或內(nèi)積）：，其中表示向量的夾角；定義向量的向量積（又稱向量的叉積或外積）：，其中表示向量的夾角，則下列說法正確的是（

）A．的面積為B．若為非零向量，且，則C．若，則的最小值為D．已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知，則.13．已知函數(shù)，則.14．已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對邊，且，則面積的最大值是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)且對稱軸為.(1)求的解析式；(2)求不等式的解集.16．已知函數(shù)，(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變；再向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象.當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值.17．如圖，直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，.(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.18．文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號.作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，又是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者.六盤水市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽（滿分100分），從所有答卷的成績中抽取了容量為100的樣本，將樣本（成績均為不低于50分的整數(shù)）分成五段：得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值和估計(jì)樣本的下四分位數(shù)；(2)按照分層抽樣的方法，從樣本中抽取20份成績，應(yīng)從中抽取多少份；(3)已知落在的平均成績是53，方差是4；落在的平均成績?yōu)?5，方差是7，求成績落在的平均數(shù)和方差.（注：若將總體劃分為若干層，隨機(jī)抽取兩層，通過分層隨機(jī)抽樣，每層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：.記這兩層總的樣本平均數(shù)為，樣本方差為，則）19．對于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，如果存在區(qū)間，同時(shí)滿足：①在上是單調(diào)函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，，則稱是該函數(shù)的“優(yōu)美區(qū)間”.(1)求證：是函數(shù)的一個(gè)“優(yōu)美區(qū)間”；(2)求證：函數(shù)不存在“優(yōu)美區(qū)間”；(3)已知函數(shù)有“優(yōu)美區(qū)間”，當(dāng)取得最大值時(shí)求的值.

參考答案1．【答案】A【分析】首先化簡集合，再根據(jù)集合與集合的關(guān)系，元素與集合的關(guān)系判斷即可.【詳解】因?yàn)椋裕收_的只有A.故選A. 2．【答案】B【分析】由函數(shù)的定義即可得解.【詳解】通過平移直線，只有B選項(xiàng)的圖象滿足：其圖象和直線至多有一個(gè)交點(diǎn)，即只有B選項(xiàng)符合題意.故選B.【思路導(dǎo)引】根據(jù)函數(shù)的定義：對于任意一個(gè)x都有唯一確定的一個(gè)y和它對應(yīng)，可知函數(shù)的圖象和直線至多有一個(gè)交點(diǎn)，即可得出答案.3．【答案】B【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)乘法化簡，結(jié)合模公式求解.【詳解】，則.故選B.4．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】函數(shù)且為指數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋蔄錯(cuò)誤；若，則在上單調(diào)遞增，所以，則，故B錯(cuò)誤；指數(shù)函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，故C正確；若，則在上單調(diào)遞減，則由，得，故D錯(cuò)誤；故選C.【思路導(dǎo)引】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋纯膳袛噙x項(xiàng)A；根據(jù)時(shí)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，即可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)時(shí)指數(shù)函數(shù)的圖象，即可判斷選項(xiàng)D.5．【答案】D【分析】長方體的外接球直徑為體對角線，求出半徑即可.【詳解】長方體的外接球直徑為體對角線，且，則..故選D.6．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量基本定理結(jié)合已知條件將用，即可求出，從而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)镈是BC邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)橄蛄坎还簿€，所以，所以.故選C.7．【答案】A【分析】由周期函數(shù)、奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意，所以的周期是4，所以.故選A.【思路導(dǎo)引】根據(jù)以及是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，可得的周期是4，從而計(jì)算出.8．【答案】B【分析】利用余弦的兩角和差公式和切化弦思想，即可求出結(jié)果.【詳解】由已知得：；；兩式相加得：，，，，故選B.【思路導(dǎo)引】利用兩角和差公式化簡題目條件，計(jì)算得，結(jié)合的范圍計(jì)算出的值，最后利用切化弦計(jì)算的值為.9．【答案】ABC【分析】根據(jù)線面平行判定定理，線面垂直判定定理，兩直線平行確定共面，兩直線夾角定義法判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】對于A，在正方體中，連接,因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，因此平面，A正確；對于B，在正方體中，平面，面，所以，因?yàn)椋瞧矫鎯?nèi)的兩條相交直線，所以平面，由面，則，分別是的中點(diǎn)，有，所以，在正方體中，平面，面，所以，因?yàn)椋瞧矫鎯?nèi)的兩條相交直線，所以平面，由面，則，又，所以，又因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)兩條相交直線，則平面，B正確；對于C，由上可知，兩條平行線可以確定一個(gè)平面，所以四點(diǎn)共面，C正確；對于D，連接相交于點(diǎn)，連接，在正方形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，所以為與所成的角，設(shè)正方體的邊長為2，,，，因?yàn)椋珼錯(cuò)誤；故選ABC.10．【答案】BCD【分析】對于A，舉反例即可判斷；對于BCD，結(jié)合基本不等式的相關(guān)知識即可判斷.【詳解】對于A，若，則，故A錯(cuò)誤；對于B，由基本不等式可得，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，因?yàn)椋裕蔇正確.故選BCD.11．【答案】BC【分析】對于A，直接由新定義結(jié)合三角形面積公式即可驗(yàn)證；對于B，建立關(guān)于方程，從而即可判斷；對于C，由已知得出，結(jié)合模的公式以及基本不等式即可判斷；對于D，由新定義結(jié)合向量數(shù)量積、模的坐標(biāo)公式即可驗(yàn)算.【詳解】A：，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B：若為非零向量，，則，選項(xiàng)B正確；C：，則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到“”，選項(xiàng)C正確；D：已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選BC.12．【答案】【分析】首先表示出，，再根據(jù)線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋裕?故答案為：. 13．【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)計(jì)算即可.【詳解】，，所以，故答案為：.14．【答案】/【分析】利用余弦定理和均值不等式來求面積的最大值.【詳解】由題意得：，由余弦定理得：即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.故答案為：/.【思路導(dǎo)引】結(jié)合題目條件可得，根據(jù)三角形內(nèi)角的范圍得出A的值，利用余弦定理與基本不等式得到最后結(jié)合三角形面積公式計(jì)算出最大值為.15．【答案】(1)； (2).【分析】（1）代入點(diǎn)，結(jié)合對稱軸列方程可解；（2）列不等式，解出即可.【詳解】（1）二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)和對稱軸為，，，.（2），，，，不等式的解集.16．【答案】(1)；(2)，無最大值.【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式化簡原函數(shù)，再求最小正周期即可.（2）先求出變換后的三角函數(shù)圖像，再利用三角函數(shù)的最值求解即可.【詳解】（1），，函數(shù)的最小正周期；（2）由（1）知，把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到，再向左平移個(gè)單位長度得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且無最大值.17．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）只需證明，其中點(diǎn)是與的交點(diǎn)，然后結(jié)合線面平行的判定定理即可得解；（2）思路一：由等體積法求線面角；思路二：用定義得出直線與面所成角為，結(jié)合解三角形知識即可求解.【詳解】（1）連接，連接交于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，連結(jié)，則是的中位線，，又平面，平面，平面；（2）方法一：由題意設(shè)，記點(diǎn)到平面距離為，在中，是的中點(diǎn)，，又平面，平面，，又，，平面，∴平面； 平面，，，，，，，記直線與平面所成角為；方法二：過作的垂線，垂足為，連接.在中，是的中點(diǎn)，∴，又∵平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，平面，，又∵，，平面，∴平面，則直線與面所成角為，在中由，由題意設(shè)，知，求得.則.18．【答案】(1)，；(2)人；(3)，. 【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為得到方程求出的值，再根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得；（2）根據(jù)分層抽樣計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得；（3）首先求出各組的人數(shù)，再根據(jù)平均數(shù)、方差公式計(jì)算可得.【詳解】（1）由已知可得，所以，樣本成績在分以下的答卷所占的比例為，樣本成績在分以下的答卷所占的比例為，因此樣本成績的下四分位數(shù)一定位于內(nèi)，設(shè)為，則，解得，所以因此樣本成績的下四分位數(shù)為；（2）按照分層抽樣的方法，從樣本中抽取份成績，抽樣的比例為，樣本成績在有人，則從樣本成績中抽取人；（3）落在的人數(shù)為人，落在的人數(shù)為人，兩組成績的總平均數(shù)，兩組成績的總方差.19．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）根據(jù)優(yōu)美區(qū)間的定義來證明即可；（2）假設(shè)函數(shù)存在“優(yōu)美區(qū)間”，結(jié)合已知導(dǎo)出矛盾即可得證；（3）原題條件等價(jià)于是方程（*）的兩個(gè)同號且不等的實(shí)數(shù)根，結(jié)合判別式可得的范圍，