福建省三明市2023?2024學年高一下學期期末質量檢測數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知復數，則（

）A．的實部為 B．的虛部為C． D．2．某校高一、高二、高三年級的學生人數之比為，現用分層隨機抽樣的方法從該校三個年級的學生中抽取一個容量為96的樣本，如果樣本按比例分配，則從高三年級抽取的學生人數為（

）A．32 B．40 C．64 D．723．如圖，是水平放置的,如圖為在斜二測畫法下的直觀圖.若，則的面積為（

）A．2 B． C． D．4．從裝有3個黃球和4個藍球的口袋內任取2個球，下列事件中與事件“至少有一個黃球”互為對立的是（

）A．都是藍球 B．都是黃球 C．恰有一個藍球 D．至少有一個藍球5．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（

）A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥βC．α與β相交，且交線垂直于 D．α與β相交，且交線平行于6．福建省清流縣書法家劉建煌老先生曾為三明綠道“怡亭”題字：四面風光長入畫，一亭綠意最怡人.“怡亭”的頂部可近似看作一個正四棱錐，已知過側棱且垂直于底面的截面是邊長為的等腰直角三角形，則該正四棱錐的側面積約為（

）A． B． C． D．7．如圖，在直三棱柱中，，，點是線段上靠近的三等分點，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．某地區的公共衛生部門為了調查本地區的中學生吸煙情況，對隨機抽出的500名學生進行了調查，調查中使用了兩個問題，問題1：你的生日公歷月份是不是偶數?問題2：你是否經常吸煙？調查者設計了一個裝有大小、形狀和質量完全一樣的50個白球和50個紅球的袋子，每個被調查者隨機從袋子中摸取1個球，再放回摸出白球就如實回答問題1，摸出紅球就如實回答問題2.回答“是”的學生往盒子里放一個石頭，回答“否”的學生什么也不做.經統計，盒子中有140個石頭，由此估計這個地區經常吸煙的中學生所占百分比為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法中正確的是（

）A．已知向量，若，則B．已知非零向量，“”是“”的充要條件C．若是直線上不同的三點，點在直線外，，那么D．已知非零向量，“”是“夾角為銳角”的必要不充分條件10．如圖，在棱長為4的正方體中，為的中點，為的中點，則下列結論正確的是（

）

A．直線與為異面直線 B．平面C．三棱錐外接球的體積為 D．二面角的余弦值為11．如圖，在中，已知，邊上的中點為邊上的中點為，相交于點，則下列結論正確的是（

）

A．B．的內切圓的半徑為C．與夾角的余弦值為D．過點作直線交線段和于點，則的取值范圍是三、填空題（本大題共3小題）12．已知，且與互相垂直.則向量在向量上的投影向量的坐標為.13．從長度為1，3，6，9，10的線段中任取一條，能與長度分別為7和8的兩條線段構成銳角三角形的概率為.14．某校高一年段成立了兩個數學培優班，班10人，班30人，經過一段時間的強化訓練后進行了一次測試，在該測試中，班的平均成績為135分，方差為105，班的平均成績為115分，方差為225.則在這次測試中兩個培優班全體學生方差為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知向量.(1)若，求；(2)若為單位向量，對任意實數恒成立，求向量的夾角的取值范圍.16．5月22日第14屆中美旅游高層對話開幕，中國文化和旅游部為推動文化志愿服務工作規范化，在所有報名參加中國文化推廣的人員中面試選拔出“中國文化志愿者”，通過使用注冊服務證對“中國文化志愿者”進行組織管理.現隨機抽取128名報名者的面試成績，并分成五組，第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同.

(1)求和的值；(2)估計本次面試成績平均分（同一組數據用該區間的中點值作代表）；(3)根據要求，本次“中國文化志愿者”面試選拔錄取率為，請估算被錄取至少需要多少分.17．在中，角的對邊分別為，且向量.(1)求角；(2)若的面積為，點為邊的中點，求的長.18．目前羽毛球混雙世界排名第一，第三，第四分別是中國的“雅思組合，韓國的肉丁組合”，中國的“鳳凰組合.據統計，每場比賽雅思組合戰勝肉丁組合的概率為，“鳳凰組合”戰勝肉丁組合的概率為，同一賽事的每場比賽結果互不影響.已知三個組合參加單循環賽（參加比賽的組合均能相遇一次），“雅思組合，“鳳凰組合”同時戰勝“肉丁組合”的概率為，有一個組合戰勝“肉丁組合”的概率為.(1)求和的值；(2)三個組合參加雙循環賽（參加比賽的組合均能相遇兩次），求雅思組合比“鳳凰組合戰勝肉丁組合的次數多的概率.19．閱讀數學材料：“設為多面體的一個頂點，定義多面體在點處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點相鄰的頂點，且平面，平面，…，平面和平面為多面體的所有以為公共點的面.”已知在直四棱柱中，底面為菱形..（角的運算均采用弧度制）(1)若，求四棱柱在頂點處的離散曲率；(2)若四棱柱在頂點處的離散曲率為，求與平面的夾角的正弦值；(3)截取四面體，若該四面體在點處的離散曲率為與平面交于點，證明：.

參考答案1．【答案】C【分析】先進行化簡，后根據實部虛部概念，模長公式，共軛復數概念解題即可.【詳解】,則的實部為，虛部為，，.故選C．2．【答案】B【分析】根據分層抽樣的定義結合題意求解即可.【詳解】由題意得從高三年級抽取的學生人數為.故選B.3．【答案】B【分析】根據斜二測畫法作圖規則，將直觀圖還原為，即可求解.【詳解】由題意，在斜二測畫法下的直觀圖中,則在平面直角坐標系下，,所以的面積為.故選B.4．【答案】A【分析】根據給定條件，利用對立事件的意義判斷即可.【詳解】事件“至少有一個黃球”的對立事件是“沒有黃球”，即“都是藍球”，所以與事件“至少有一個黃球”互為對立的是“都是藍球”.故選A.5．【答案】D【詳解】試題分析：由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于.故選D．6．【答案】D【分析】由題意畫出示意圖，求出底邊正方形的邊長，得出正四棱錐的側面是四個全等的等邊三角形，再根據等邊三角形的面積即可求解.【詳解】如圖，正四棱錐，截面為等腰直角三角形，因為，所以，又因為四邊形為正方形，設邊長為，由勾股定理得，，解得，，所以正四棱錐的側面是四個全等的等邊三角形，所以.故選D.

7．【答案】C【分析】根據題意，可以用正方體模型補形解題，通過平移找出線線所成的角度借助余弦定理解題即可.【詳解】根據題意，可以補充成一個棱長為3的正方體.如圖所示，取的三等分點,連接，根據正方體性質，知道.則為直線與所成角或補角.連接，.根據正方體性質，知道．在中，由余弦定理，,則直線與所成角的余弦值為.故選C．8．【答案】A【分析】由題意可知摸到白球和紅球的概率都為，12個月其中月份為偶數的概率為，由此可估計出回答問題1為是的人數，從而可求出回答問題2為是的人數，從而可求出答案.【詳解】因為一個裝有大小、形狀和質量完全一樣的50個白球和50個紅球的袋子，從隨機從袋子中摸取1個球，所以摸到白球和紅球的概率都為，所以這500個人中回答問題1的人數約為，回答問題2的人數約為，因為12個月其中月份為偶數的有6個，所以月份為偶數的概率為，所以問題1回答為是的人數約為人，所以問題2回答為是的人數約為人，所以這個地區經常吸煙的中學生所占百分比為.故選A.9．【答案】BD【分析】對于A，舉例判斷，對于B，由由數量積的定義分析判斷，對于C，將用表示，然后由三點共線可求出，對于D，由數量積的定義結合充分條件和必要條件的定義分析判斷.【詳解】對于A，當時，滿足，而與不一定平行，所以A錯誤，對于B，當時，，而當時，，因為為非零向量，所以，因為，所以，所以，所以“”是“”的充要條件，所以B正確，對于C，由，得，所以，若，則，則在直線上，不合題意，所以，所以，因為是直線上不同的三點，點在直線外，所以，即，得，所以C錯誤，對于D，為非零向量，若夾角為銳角，則，而當時，則，所以，因為，所以或為銳角，所以“”是“夾角為銳角”的必要不充分條件，所以D正確.故選BD.10．【答案】BCD【分析】根據異面直線的定義可以判斷A，線面平行的判斷定理可以判斷B，構造長方體，求出外接球半徑，從而可判斷C，作出所求二面角的平面角，結合余弦定理即可求解，從而可以判斷D.【詳解】對于A，在正方體中，，所以四點共面，所以直線與不是異面直線，故A錯誤；

對于B，連接，交于點O，在正方體中，易知點O為的中點，又為的中點，為的中點，所以，又，所以，故B正確；

對于C，在正方體中，分別在上取中點，并依次連接，易知四棱柱為長方體，三棱錐的外接球就是長方體的外接球，且外接球的直徑為長方體體對角線的長，又長方體體對角線長度為：，所以外接球的半徑為3，所以三棱錐的外接球的體積為，故C正確；

對于D，連接，交于點O，在正方體中，易知點O為的中點，連接EO，FO，因為都是等腰三角形，所以，所以為二面角的平面角，又，所以由余弦定理可得，,故D正確，故選BCD.11．【答案】ACD【分析】對于A，利用余弦定理求解即可；對于B，運用等面積法可解；對于C，建立平面直角坐標系，利用向量夾角的坐標求法處理即可；對于D，設出線段的比例關系，用向量共線的條件合理轉化，消去變量求范圍即可.【詳解】對于A，在中，且，，由余弦定理得，解得，(負根舍去)，則A正確；對于B，設的內切圓的半徑為，則，即，即，解得，故B錯誤；對于C，如圖所示，

以為原點，建立平面直角坐標系，易知，，設，由兩點間距離公式得，，解得，，(負根舍去)，故，由中點坐標公式得，，故，，設與的夾角為，故，故C正確；對于D，易知由于邊上的中點為，邊上的中點為，而是兩條中線的交點，故是的重心，所以，設，，，由于在直線上，所以，即，而，所以，，故得，，所以，，故得，則，由于，則，則D正確，故選ACD.【關鍵點撥】本題D選項解題關鍵是將已知向量合理轉化，然后表示出的關系，將面積比表示為一元函數，求出范圍，進而求出數量積的范圍即可，12．【答案】【分析】根據給定條件，求出，再利用投影向量的意義求解即得.【詳解】由，與互相垂直，得，則，所以向量在向量上的投影向量為.故答案為：13．【答案】/0.6【分析】取到線段為1時，，無法構成三角形，其他情況利用最大角的余弦值判斷出三角形的形狀，得到概率.【詳解】當取到線段為1時，，無法構成三角形，當取到線段為3時，最大角的余弦值為，此時三角形為鈍角三角形，當取到線段為6時，最大角的余弦值為，此時三角形為銳角三角形，當取到線段為9時，最大角的余弦值為，此時三角形為銳角三角形，當取到線段為10時，最大角的余弦值為，此時三角形為銳角三角形，故能與長度分別為7和8的兩條線段構成銳角三角形的概率為.故答案為：/0.6.14．【答案】270【分析】求出全體學生的平均數，利用方程公式計算可得答案.【詳解】全體學生的平均數為，則在這次測試中兩個培優班全體學生方差為.故答案為：.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）運用向量加減，數量積的坐標運算計算即可；（2）運用模長公式兩邊平方，結合數量積轉化為對任意的實數恒成立，再用二次函數中根的判別式來解決恒成立問題，轉化為．最后借助余弦函數的性質得到角度范圍即可.【詳解】（1）因為所以，，；（2）是單位向量，設的夾角為，由得：，所以，即，即對任意的實數恒成立，則，解得：，又因為，函數在上單調遞減，因此．所以向量的夾角的取值范圍是.16．【答案】(1)，(2)(3)84分【分析】（1）第三、四、五組頻率之和為0.7，求，根據總頻率之和為1，求出b；（2）運用中點值代表該組數據，運用平均值求法求出即可；（3）找出頻率0.93對應分數，或者93%分位數即可.【詳解】（1）由題圖可知組距為10，因為第三、四、五組頻率之和為0.7，所以，所以，所以，解得.（2）面試成績平均數估計為.（3）因為前三組頻率之和為，前四組頻率之和為，所以頻率0.93對應分數落在區間內，那么，解得，所以面試選拔錄取率為，至少需要84分.17．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，可得，再利用正弦定理統一成邊的形式，然后利用余弦定理可求得結果；（2）解法一：由結合輔助角公式化簡可求出，則可得為等腰三角形，再由三角形的面積可求出，在中利用余弦定理可求得結果；解法二：同解法一求出，然后利用余弦定理求出，再利用極化恒等式可求得結果；解法三：同解法一求出，同解法二求出，然后利用平行四邊形對角線的平方和是鄰邊平方和的兩倍求解.【詳解】（1）因為，所以，由正弦定理得，由余弦定理得因為，所以.（2）解法一：因為，所以，則即，又，所以，則，所以.故.所以，所以.在中，由余弦定理可得，即.解法二：因為，所以，則即，又，所以，則，所以.故.所以，所以.由余弦定理得：，所以，又由極化恒等式得：所以，所以解法三：因為，所以，則即又，所以，則，所以.故.所以，所以.由余弦定理得：，所以由平行四邊形對角線的平方和是鄰邊平方和的兩倍得所以所以.

【關鍵點撥】第（1）的關鍵是由，可得，再利用正弦定理統一成邊的形式，最后結合余弦定理求得結果；（2）解法一：由結合輔助角公式化簡可求出，則可得為等腰三角形，再由三角形的面積可求出，在中利用余弦定理可求得結果；解法二：同解法一求出，然后利用余弦定理求出，再利用極化恒等式可求得最后結果；解法三：同解法一求出，同解法二求出，然后利用平行四邊形對角線的平方和是鄰邊平方和的兩倍的關系求解.18．【答案】(1)(2)【分析】(1)由事件的相互獨立性及互斥事件的概率公式列方程組求解；(2)根據獨立事件乘法公式及互斥事件的求和公式結合條件即得．【詳解】（1）設事件“雅思組合、鳳凰組合均戰勝肉丁組合”，“雅思組合與鳳凰組合只有一個組合戰勝肉丁組合”，由于每場比賽結果互不影響，所以，，由題意可得，即，解得或，因為，所以