/四川省綿陽市2024-2025學(xué)年高二下冊(cè)3月月考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本卷和答題卡一并交回.一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，若，則（）A. B. C.1 D.【正確答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義，.故選：C.2.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若公比，，則（）A.49 B.56 C.63 D.112【正確答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式推導(dǎo)出與公比的關(guān)系，再結(jié)合已知條件求出的值.【詳解】∵，∴.故選：B.3.已知數(shù)列中，，若，則（）A.4 B.5 C.6 D.7【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列定義求出，利用構(gòu)造法求出，再列式求解即得.【詳解】在數(shù)列中，由，得數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，，則，即，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.則，即，由，得，所以.故選：B4.數(shù)列的通項(xiàng)公式為，那么“”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】當(dāng)時(shí)，可得，知充分性成立；由數(shù)列單調(diào)性可知，從而得到，由此可得，知必要性不成立，由此可得結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí)，，數(shù)列為遞增數(shù)列，充分性成立；當(dāng)數(shù)列為遞增數(shù)列時(shí)，，恒成立，又，，必要性不成立；“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A.5.設(shè)和分別表示正實(shí)數(shù)的整數(shù)部分、小數(shù)部分，例如．已知數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，找出數(shù)列的規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律求出的值.【詳解】已知，因?yàn)椋裕?根據(jù)，可得，化簡(jiǎn)得到.因?yàn)椋裕?同理可得.通過前面的計(jì)算，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律，（）.當(dāng)時(shí)，.故選：C.6.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足：，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式求出公比，進(jìn)而求得，則，結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和可得，進(jìn)而根據(jù)不等式恒成立的問題計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，易知，由題意可得，解得，則，，所以，則，所以原不等式可轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，即恒成立，解得.故選：D.7.若直線是指數(shù)函數(shù)且圖象的一條切線，則底數(shù)（）A.2或 B. C. D.或【正確答案】D【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，列式運(yùn)算求得的值.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)函數(shù)，求導(dǎo)得，切線方程化成斜截式為，由題設(shè)知，顯然，即，由，得，即，即，即，化簡(jiǎn)得，令，即，利用指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)，可知或，即或，解得或故選：D.8.已知為非常數(shù)數(shù)列且，，，下列命題正確的是（）A.對(duì)任意的，，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列B.對(duì)任意的正數(shù)，存在，，，當(dāng)時(shí)，C.存在，，使得數(shù)列的周期為2D.存在，，使得【正確答案】B【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：取.即可判斷數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列.對(duì)于B選項(xiàng)：令，記,根據(jù)的單調(diào)性結(jié)合其與的交點(diǎn)，即可說明總能找到一個(gè)，使得的極限為1.即可判斷出結(jié)論.對(duì)于C選項(xiàng)：先假設(shè)存在，利用化簡(jiǎn)后即可說明矛盾.對(duì)于D選項(xiàng)：利用等式表示出,即可判斷結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí)：恒成立.此時(shí)數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列.A錯(cuò)誤.令，記，，則，.，令，取則在上單調(diào)遞增.令或.如圖所示：在區(qū)間內(nèi)總能找到一個(gè)，使得的極限為1.B正確.假設(shè)存在，，使得數(shù)列的周期為2，即.則②-①：，又.化簡(jiǎn)得.記,恒成立.故在上單調(diào)遞增.要使，則需.與為非常數(shù)數(shù)列矛盾.C錯(cuò)誤.因?yàn)樗詣t.不存在，，使得.D錯(cuò)誤.本題考查遞推關(guān)系.屬于難題.本類題型常常借助函數(shù)的單調(diào)性來說明問題.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若數(shù)列滿足，則下列說法正確的是（）A.存數(shù)列，使得對(duì)任意正整數(shù)．都滿足B.存在數(shù)列，使得對(duì)任意正整數(shù)，都滿足C.存在數(shù)列，使得對(duì)任意正整數(shù)，都滿足D.存在數(shù)列，使得對(duì)任意正整數(shù)，都滿足【正確答案】ABD【分析】根據(jù)題意，找到合適的數(shù)列滿足遞推關(guān)系或舉反例否定，即可得到答案.【詳解】對(duì)于A，令，且，則有，，所以，故A正確；對(duì)于B，由，得，令，則時(shí)，，，，，，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，由，令，得，所以，，，令，得，所以，，則，所以，所以，與矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，，所以，故D正確.故選：ABD.10.已知，下列說法正確的是（）A.在處的切線方程為 B.單調(diào)遞減區(qū)間為C.的極小值為 D.方程有兩個(gè)不同的解【正確答案】AB【分析】對(duì)于A，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；對(duì)于B，求導(dǎo)后，由導(dǎo)數(shù)小于零求解；對(duì)于C，求導(dǎo)后求極值；對(duì)于D，函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷.【詳解】對(duì)于A，由，得，所以，，所以在處的切線方程為，故A正確；對(duì)于B，由，得，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故B正確；對(duì)于C，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由C選項(xiàng)可知的最大值為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)與的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，即有1個(gè)解，故D錯(cuò)誤.故選：AB.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)分析得的圖像，從而得解.11.古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤?，把數(shù)分成許多類，如圖中第一行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，3，6，10，…稱為三角形數(shù)，第二行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，4，9，16，…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則下列說法正確的是（）

A.；B.1225既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)；C.；D.，總存在，，使得成立；【正確答案】ABD【分析】根據(jù)數(shù)列和的遞推公式，由累加法得通項(xiàng)公式，放縮法驗(yàn)證選項(xiàng)A；用通項(xiàng)公式驗(yàn)證選項(xiàng)B；裂項(xiàng)相消求和驗(yàn)證選項(xiàng)C；取實(shí)例驗(yàn)證選項(xiàng)D.【詳解】依題意，數(shù)列中，，，，，…，，，于是得，滿足上式，數(shù)列中，，，，，…，，，于是得，滿足上式，因此，，對(duì)于A，，則，A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，則，又，則，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，取，，則，所以，，總存在，，使得成立，D正確.故選：ABD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，則取值范圍是_______．【正確答案】【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，結(jié)合直線方程及兩點(diǎn)間距離公式可得，，化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】由題意，，則，所以點(diǎn)和點(diǎn)，,所以，所以，所以，同理所以.故關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件，消去一個(gè)變量后，運(yùn)算即可得解.13.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問題：將1到2025這2025個(gè)自然數(shù)中滿足被3除余2且被5除余4的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是_____.【正確答案】135【分析】根據(jù)“被3除余2且被5除余4的數(shù)”，可得這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，然后根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式結(jié)合范圍計(jì)算求解可得結(jié)果．【詳解】被3除余2且被5除余4的數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為14，公差為15的等差數(shù)列，記為，則，令，解得．∴將1到2025這2025個(gè)自然數(shù)中滿足被3除余2且被5除余4的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是135．故135．14.小王準(zhǔn)備在單位附近的某小區(qū)買房，若小王看中的高層住宅總共有n層，設(shè)第1層的“環(huán)境滿意度”為1，且第k層比第層的“環(huán)境滿意度”多出；又已知小王有“恐高癥”，設(shè)第1層的“高層恐懼度”為1，且第k層比第層的“高層恐懼度”高出倍.在上述條件下，若第k層“環(huán)境滿意度”與“高層恐懼度”分別為，，記小王對(duì)第k層“購買滿意度”為，且，則小王最想買第______層住宅.（參考公式及數(shù)據(jù)：，，，）【正確答案】10【分析】由題意可得，且，；，，從而可求出和，則，方法一：作商比較的大小可得結(jié)論，方法二：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值即可》【詳解】依題意，，且，，所以，由題意得，，所以是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.故小王對(duì)第k層住宅購買滿意度.方法一：由.即解得，所以，同理有，小王最想購買第10層住宅.方法二：設(shè)，，則，故時(shí)，故在上為增函數(shù)，時(shí)，故在上為減函數(shù).由于，，故最大，小王最想購買第10層住宅.故10關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得，，由此可求出和，從而可求出，考查計(jì)算能力，屬于難題.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記為首項(xiàng)為4的數(shù)列的前n項(xiàng)和，且是以首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列.（1）求；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【正確答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）應(yīng)用等比數(shù)列的定義寫出通項(xiàng)公式，即可得，進(jìn)而求項(xiàng)；（2）利用關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）由（2）得，再應(yīng)用錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和.【小問1詳解】由題意，得，則，則【小問2詳解】由（1），當(dāng)時(shí)，則，又滿足上式，故【小問3詳解】由（2），得，記的前n項(xiàng)和為，所以①，則②，①②得，，則，故數(shù)列的前n項(xiàng)和為16.已知函數(shù)在處的切線為.（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最大值.【正確答案】（1）（2）在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，【分析】（1）由條件結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，列方程求即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性求最值.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處的切線為，所以，，又函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，所以，所以；【小問2詳解】由（1）知當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，又，，.17.已知公差不為0的等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】(1)利用等比數(shù)列的基本性質(zhì)及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)和公差,進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)利用裂項(xiàng)相消法求和，求得，然后作差法判斷的單調(diào)性，以及結(jié)合，求得，然后根據(jù)恒成立建立不等式組，從而得解.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列{}的公差為，由題意知：解方程組得，所以，即【小問2詳解】，，單調(diào)遞增，，又若使得對(duì)一切恒成立，則，解得，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是．18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為滿足，且，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）若將數(shù)列中的所有項(xiàng)按原順序依次插入數(shù)列中，組成一個(gè)新的數(shù)列：，在與之間插入項(xiàng)中的項(xiàng)，中之前（不包括）所有項(xiàng)的和記為.若.求使得成立的最大整數(shù)的值.（其中表示不超過的最大整數(shù)）【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由條件結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由與關(guān)系求，由取求，當(dāng)時(shí)，用替換，兩式相除可得結(jié)論；（2）由（1）可得，等式兩邊同乘，兩式相減可得，再利用錯(cuò)位相減法求結(jié)論；（3）由（1）結(jié)合等差數(shù)列等比數(shù)列求和公式求，再求，結(jié)合等差數(shù)列求和公式化簡(jiǎn)不等式求結(jié)論.【小問1詳解】因?yàn)椋允且詾槭醉?xiàng)，為公差的等差數(shù)列.所以.當(dāng)時(shí)，又滿足關(guān)系，故.數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以，；【小問2詳解】由題可知①②①-②得.③④③-④得；【小問3詳解】依題意，數(shù)列中之前的所有項(xiàng)中包括項(xiàng)中的項(xiàng)，設(shè)其和為，則數(shù)列中之前的所有項(xiàng)中包括項(xiàng)中的項(xiàng)，設(shè)其和為，則于是所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，于是，，因此，所以，，所以，又，所以，，，得成立的最大整?shù)的值為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二小問解決的關(guān)鍵在于利用錯(cuò)位相減法先求出，然后再次利用錯(cuò)位相減法求結(jié)論.19.函數(shù)的定義域?yàn)槿w正整數(shù)集合，則稱或?yàn)閿?shù)列，簡(jiǎn)記為，數(shù)列中的每一項(xiàng)即為．我們舉個(gè)例子，古代哲學(xué)家莊周所著的《莊子?天下篇》引用過一句話：一尺之錘，日取其半，萬世不竭，其含義為：一根長(zhǎng)一尺的木棒，每天截下一半，這樣的過程可以無限進(jìn)行下去．第一天截下，第二天截下，第天截下不難看出，數(shù)列的通項(xiàng)隨著的無限增大而無限接近于0，那么我們就說數(shù)列的極限為0．我們定義：設(shè)為數(shù)列，為定數(shù)，若對(duì)給定的任意正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得時(shí)有，則稱數(shù)列收玫于，定數(shù)稱為數(shù)列的極限，記為．（1）已知數(shù)列，證明：當(dāng)不斷增大時(shí)，的值會(huì)不斷趨向于黃金分割比．（2）設(shè)數(shù)列滿足，且，證明：．（3）材料：設(shè)是個(gè)實(shí)數(shù)列，對(duì)任意給定的，若存在，使得凡，且，都有，則稱為“柯西列”．問題解決：定義，證明：時(shí)，不是“柯西列”，時(shí)，是“柯西列”．【正確答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題設(shè)可得，可知為方程的兩個(gè)根，進(jìn)而得到，由此得，即可證結(jié)論；（2）根據(jù)已知有數(shù)列單調(diào)遞增，進(jìn)而證結(jié)論；（3）討論、，