/四川省成都市2024_2025學年高二下冊第二階段考試數學試卷一、單選題1．在等差數列中，已知，則數列的前項之和為（

）A． B． C． D．2．先后兩次擲一枚質地均勻的正方體骰子（六個面分別標記為），記事件“第一次擲出的點數小于4”，事件“兩次點數之和大于4”，則（

）A． B． C． D．3．2025年2月深圳福田區推出基于DeepSeek開發的AI數智員工，并上線福田區政務大模型2．0版，該模型能進一步驅動政務效能全面躍升．某地也準備推出20名AI數智員工（假定這20名AI數智員工沒有區別），分別從事三個服務項目，若每個項目至少需要5名AI數智員工，則不同的分配方法種數為（

）A．21 B．18 C．15 D．124．在棱長為1的正方體中，點P，Q分別為平面，平面的中心，則點B到平面APQ的距離為（

）A． B． C． D．5．各項均為正數的等比數列的前5項和為，且，則（

）A．2 B．4 C．8 D．166．若的展開式中的系數為12，則其展開式中所有項的系數的和為（

）A．16 B．32 C．48 D．647．已知函數，則，，的大小關系是（

）A． B．C． D．8．如圖，陰影部分（含邊界）所示的四葉圖是由拋物線繞其頂點分別逆時針旋轉，，后所得的三條曲線及圍成的，若，則下列說法錯誤的是（

）

A．開口向上的拋物線的方程為B．四葉圖上的點到點的距離的最大值為C．動直線被第一象限的葉子所截得的弦長的最大值為2D．四葉圖的面積小于32二、多選題9．已知函數，則（

）A． B．在上單調遞增C．有最小值 D．有兩個零點10．暑假期間，甲同學早上去圖書館有三種方式：騎共享自行車，乘公交車，或乘地鐵，概率分別為；又知道他騎共享自行車，乘公交車，或乘地鐵時，到達圖書館能立即找到空座位的概率分別為，下列說法正確的是（

）A．甲同學今天早上騎共享自行車出行與乘公交車出行是互斥事件B．甲同學今天早上乘公交車出行與乘地鐵出行相互獨立C．甲同學到達圖書館能立即找到空座位的概率大于D．若甲同學今天早上到達圖書館立即找到了空座位，則他是騎共享自行車出行的概率為11．在數列中，，，，是數列的前項和，則（

）A．數列是等比數列 B．數列是等差數列C． D．三、填空題12．設等差數列的前項和分別為，若，則.13．已知分別為雙曲線的左，右焦點，以為直徑的圓與其中一條漸近線在第一象限交于點，過點作另一條漸近線的垂線，點恰在此垂線上，則雙曲線的離心率為．14．現將8個體積相同但質量均不同的小球放入恰好能容納8個小球且底面圓直徑與小球直徑相同的圓柱形卡槽內，這8個小球分別為2個紅球、4個白球、2個黑球，若4個白球互不相鄰，且其中一個白球不能放入卡槽的兩端，則共有種不同的放法；若2個紅球之間恰好有白球和黑球各1個，則共有種不同的放法．四、解答題15．為迎接校籃球社團組織的“李寧杯”三人籃球賽，某班甲、乙兩位同學決定提前訓練，為比賽做準備.在投籃訓練中，甲、乙兩位同學各自投籃，甲投一次得3分、2分、0分的概率分別為，乙投一次得3分、2分、0分的概率分別為，且甲、乙兩人每次投籃的得分情況相互獨立.（1）若甲、乙兩人各進行兩次投籃，求甲、乙的總得分不少于11分的概率；（2）若甲、乙兩人各進行一次投籃，記兩人的總得分為，求的分布列及數學期望.16．如圖，在三棱柱中，平面，是邊長為2的正三角形，，，分別為，的中點.

（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值.17．正項數列的前項和為，．（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和；（3）在（2）的條件下，若對于任意正整數，不等式恒成立，求實數的取值范圍．18．已知雙曲線的離心率為2，右頂點到一條漸近線的距離為．（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線交于兩點，且為坐標原點，求證：點到直線的距離為定值．19．已知函數（其中e為自然對數的底數）.(1)求函數的最小值；(2)若，且在R上恒成立，求的最大值；(3)求證.

答案1．【正確答案】C【詳解】設等差數列的前項和為，則.故選C.2．【正確答案】B【分析】利用條件概率公式即可求得的值.【詳解】由題意可知，事件與事件同時發生，有共12種可能，，所以.故選B.3．【正確答案】A【詳解】先每組分5名員工，然后剩余5名分成三組，采用隔板法，五名員工和兩個隔板，共有七個位置，所以不同的分配方法種數為種.故選A4．【正確答案】B【詳解】如圖，以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，因點P，Q分別為平面，平面的中心，則，于是，，設平面的法向量為，則，故可取，又，則點B到平面APQ的距離為.故選B.5．【正確答案】A【詳解】設等比數列的首項為，公比為（），根據題意即，解得（舍），而，故，所以選選：A.6．【正確答案】C【詳解】的展開式中的系數為，所以，所以令，所以展開式中所有項的系數的和為48.故選C.7．【正確答案】A【詳解】因為，所以函數為偶函數，，令，則，所以函數，即當時，，所以函數在上單調遞增，所以.故選A.8．【正確答案】C【詳解】對于A，若，則拋物線，若拋物線繞其頂點逆時針旋轉，可得拋物線方程為，即，開口向上，故A正確；對于B，由拋物線的性質，可得四葉草關于原點對稱，關于，軸，軸對稱，可知與的交點到原點的距離是四葉圖上的點到點的距離最大的點，解方程組可求得，所以，所以四葉圖上的點到點的距離的最大值為，故B正確；對于C，設直線與拋物線相切于點，由，消去得，由，得，切點，設直線與拋物線相切于點，由，消去得，由，得，切點，直線的斜率為，即直線與直線平行或重合，所以直線被第一象限封閉圖形截的弦長最大值為，故C錯誤.

對于D，拋物線，求導得，則拋物線在點處的切線斜率為，拋物線在點處的切線方程為，即，該切線交軸于點，因此在第一象限的半個草葉的面積必小于，所以四葉圖的面積小于，故D正確.

故選C.9．【正確答案】BC【詳解】的定義域為，，對于A，，錯誤；對于B和C，由，得，當，，單調遞減，當，，單調遞增，所以當時，取得最小值，故BC正確；對于D，由在上單調遞減，在單調遞增，且的最小值為，所以無零點，錯誤．故選BC．10．【正確答案】ACD【詳解】設“甲同學今天早上騎共享自行車出行”為事件A1，“甲同學今天早上乘公交車出行”為事件A2，“甲同學今天早上乘地鐵出行”為事件，“甲同學到達圖書館能立即找到空座位”的事件為B．對于A，A1與A2不能同時發生，故A正確；對于B，因為，，但，故，故B錯誤；對于C，由，，，，，，由全概率公式得：．故C正確；對于D，由題意可知所求概率為；故D正確．故選ACD．11．【正確答案】ABD【詳解】由，得，則數列是首項為，公比為2的等比數列，A正確.根據等比數列的通項公式得，即，則，所以數列是首項為，公差為1的等差數列，B正確.根據等差數列的通項公式得，即，所以，C錯誤.由，，D正確.故選ABD12．【正確答案】【詳解】因為，所以.13．【正確答案】2【詳解】如圖，設為與漸近線的交點，由題意：，，所以Q是線段的中點，所以.又直線，是雙曲線的漸近線，由雙曲線對稱性知，所以，所以，所以，所以離心率.14．【正確答案】17283840【詳解】由題意可將把8個小球放入卡槽內的過程轉化為這8個小球位置上的排列組合問題，若4個白球互不相鄰，且其中一個白球不能放入卡槽的兩端，先排紅球和黑球共有種方法，再排其中1個白球有種方法，最后排剩余的3個白球有種方法，所以共有種不同的放法．若2個紅球之間恰好有白球和黑球各1個，先任選1個白球，1個黑球放入2個紅球中間，有種方法，又2個紅球的放法有種，再將1個白球，1個黑球和2個紅球進行捆綁與剩余的4個小球進行全排列有種，所以共有種不同的放法．15．【正確答案】（1）（2）分布列見解析，數學期望為【詳解】（1）設事件為“甲、乙兩人各進行兩次投籃，總得分不少于11分”，則事件包含甲、乙兩人各投兩次且兩人兩次全得3分，或者一人兩次全得3分，另一人一次得3分，一次得2分兩種情況.故，故甲、乙兩人各進行兩次投籃，總得分不少于11分的概率為.（2）甲、乙兩人各進行一次投籃的總得分的所有可能取值為0，2，3，4，5，6，則；；；；；.故的分布列為023456所以.16．【正確答案】（1）證明見解析.（2）【詳解】（1）在三棱柱中，由底面,平面，得，由為等邊三角形，為的中點，得，而平面，所以平面.（2）取中點，連結，由為的中點，得，由（1）知平面，平面，則，而，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，，，設平面的法向量，則，令，得，而，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的余弦值為.

17．【正確答案】（1）（2）（3）【詳解】（1）當時，，有，整理得，又，有，所以，當時，，整理得，得（舍）或，所以數列是等差數列，首項，公差為，，因此數列的通項公式；（2）由（1）知，①②①—②得，所以；（3）若不等式恒成立，即，等價于恒成立，設，則有，對，所以，即，可知數列是遞減數列，數列的最大值為，所以，因此實數的取值范圍為．18．【正確答案】（1）（2）證明見解析【詳解】（1）由題意，得雙曲線的漸近線方程為，右頂點為．又，且，所以，故．又，解得，所以雙曲線的方程為．（2）設，當直線和軸線平行時，，解得，所以點到直線的距離為．當直線和軸線不平行時，設直線的方程為，由得所以．又，所以解得．又點到直線的距離為，則，故，即點到直線的距離為．綜上所述，點到直線的距離為定值．19．【正確答案】(1)(2)(3)證