/山東省2024_2025學年高一下冊4月階段性檢測數學試卷一、單選題1．如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，則盛水部分的幾何體是（

）A．四棱臺 B．四棱錐 C．四棱柱 D．三棱柱2．歐拉公式由瑞士數學家歐拉發現，其將自然對數的底數，虛數單位與三角函數，聯系在一起，被譽為“數學的天橋”.根據以上內容，可知在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知中，，，，則（

）A． B． C．或 D．或4．已知平面向量，若，則實數（

）A． B．1 C．或1 D．45．如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖為矩形，其中，則原平面圖形的周長為（

）A． B． C． D．6．在中，，過點的直線分別交直線、于點、，且，其中，，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．已知圓臺的側面展開圖是半個圓環，側面積為，則圓臺上下底面面積之差的絕對值為（

）A． B． C． D．8．如圖，“六芒星”是由兩個邊長為2正三角形組成，中心重合于點O且三組對邊分別平行，點是“六芒星”（如圖）的兩個頂點，動點P在“六芒星”上（內部以及邊界），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．一個棱柱至少有個面B．直角三角形繞它的一條邊旋轉一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐C．若平面內無數條直線和平面平行，則平面平面D．若平面內任意條直線和平面平行，則平面平面10．已知為虛數單位，則下列結論中不正確的是（

）A．復數的虛部為 B．C．若為復數，則為實數 D．若為復數，則11．在正四棱柱中，，、分別為棱、的中點，點滿足，，動點在矩形內部及其邊界上運動，且滿足，點在棱上，將繞邊旋轉一周得到幾何體，則（

）A．以正四棱柱的上下底面的內切圓為底且與正四棱柱等高的圓柱的側面積，與正四棱柱的外接球的表面積之比為B．動點的軌跡長度為C．存在，，使得平面D．當動點的軌跡與幾何體只有一個公共點時，幾何體的側面積為三、填空題12．已知，表示兩個夾角為的單位向量，為平面上的一個固定點，為這個平面上任意一點，當時，定義為點的斜坐標.設點的斜坐標為，則.13．已知正三棱臺的上、下底面的邊長分別為2和4，側棱長為，則此三棱臺的體積是.14．某同學在學習和探索三角形相關知識時，發現了一個有趣的性質：將銳角三角形三條邊所對的外接圓的三條圓弧（劣弧）沿著三角形的邊進行翻折，則三條圓弧交于該三角形內部一點，且此交點為該三角形的垂心（即三角形三條高線的交點）如圖，已知銳角外接圓的半徑為4，且三條圓弧沿三邊翻折后交于點.若，則；若，則的值為.四、解答題15．已知復數，其中．（1）設，若是純虛數，求實數m的值；（2）設，分別記復數在復平面上對應的點為A、B，求與的夾角余弦值以及在上的投影向量．16．如圖，在直三棱柱中，底面是正三角形，，邊上的中點為.（1）求四棱錐的體積；（2）判斷的形狀，并說明理由；求三棱柱截去三棱錐后所得幾何體的表面積.17．在中，在邊上，且平分，若，（1）證明：；（2）求的面積；（3）求的長．18．如圖，四邊形是平行四邊形，點是平面外一點.（1）求證：平面；（2）已知，分別是，的中點，在上取一點，過和作平面交平面于，（i）求證：；（ii）求證：平面.19．已知，，分別為三個內角，，的對邊，滿足，.（1）求；（2）在中，若，是的中點，，設與相交于點.求的值；（3）若為銳角三角形，且外接圓圓心為，求和面積之差的最大值.

答案1．【正確答案】C【詳解】記水面與三棱柱四條棱的交點分別為，如圖所示，由三棱錐性質可知，和是全等的梯形，又平面平面，平面分別與平面和相交于，所以，同理，又，所以互相平行，所以盛水部分的幾何體是四棱柱.故選C2．【正確答案】B【詳解】利用歐拉公式可知，其在復平面內對應的點的坐標為，位于第二象限.故選B3．【正確答案】A【詳解】根據正弦定理，得，故，因為，所以或，又因為，所以，故.故選A.4．【正確答案】C【詳解】因為，所以，因為，所以，所以，整理得，解得或.故選C.5．【正確答案】D【詳解】由直觀圖還原原平面圖形，如下圖所示：因為四邊形為矩形，則，且，故為等腰直角三角形，故，，在原圖形中，，，因為，，則在原圖形中，，，故四邊形為平行四邊形，所以，，，故原平面圖形的周長為.故選D.6．【正確答案】C【詳解】如下圖所示：因為，易知，又，所以，易知三點共線，利用共線定理可得，又，，所以；當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為.故選C7．【正確答案】A【詳解】根據題意可知圓臺的側面展開圖的圓心角為，設圓臺上、下底面圓半徑為，母線長為，展開圖中大、小扇形的半徑分別為；則展開圖的外弧長為，內弧長為，因此有，即，又，可得；所以母線長為，圓臺側面積為，代入可得，即；所以圓臺上下底面面積之差的絕對值為.故選A8．【正確答案】A【詳解】如圖，以為原點，分別為軸建立平面直角坐標系，因為“六芒星”是由兩個邊長為2正三角形組成，中心重合于點O且三組對邊分別平行，所以六邊形為邊長為的正六邊形，，所以，所以，設，則，所以，因為動點P在“六芒星”上（內部以及邊界），所以，所以，所以.故選A.9．【正確答案】AD【詳解】對于A選項，一個棱柱最少有個面，且此棱柱為三棱柱，A對；對于B選項，直角三角形繞它的斜邊旋轉一周形成的曲面圍成的幾何體是由兩個同底的兩個圓錐拼接而成的組合體，B錯；對于C選項，若平面內無數條直線和平面平行，則或、相交，C錯；對于D選項，若平面內任意條直線和平面平行，則，D對.故選AD.10．【正確答案】ABD【詳解】對于A選項，復數的虛部為，A錯；對于B選項，虛數不能比較大小，B錯；對于C選項，設，則，所以為實數，C對；對于D選項，不妨取，則，，故，D錯.故選ABD.11．【正確答案】ACD【詳解】對于A，圓柱的底面圓半徑，圓柱的側面積，正四棱柱的外接球直徑，此球的表面積，，A正確；對于B，在正四棱柱中，，，則，而，則點是以點為圓心為半徑的四分之一圓，動點F的軌跡長度，B錯誤；對于C，連接，在上取點，過點作的平行線交于點，再過點作的平行線，與的軌跡相交，令交點為，而，則，又平面，平面，則平面，同理平面，又，因此平面平面，平面，故平面，C正確；對于D，幾何體是以為旋轉軸，為母線的圓錐，當動點的軌跡與幾何體只有一個公共點時，圓錐與平面的交線與所在的圓弧相切，由，得，由，則，解得，該圓錐的底面半徑，所以幾何體的側面積，D正確.故選ACD12．【正確答案】【詳解】由題知，又，表示兩個夾角為的單位向量，所以.13．【正確答案】/【詳解】如圖，是上下底面的中心，，則，則三棱臺的高為，上下底面的面積分別為和，所以三棱臺的體積.14．【正確答案】/0.75【詳解】設外接圓半徑為，則，由正弦定理，可知，即，由于是銳角，故，又由題意可知P為三角形ABC的垂心，即,故，所以；設，則，由于，不妨假設，由余弦定理知，設AD,CE,BF為三角形的三條高，由于,故,則得，所以，同理可得，所以.15．【正確答案】（1）（2），【詳解】（1），因為是純虛數，所以且，解得；（2）當時，，故，，故．設，則；所以在上的數量投影向量為．16．【正確答案】（1）（2）為直角三角形，理由見解析，【詳解】（1）三棱柱的體積，三棱錐的體積為所以四棱錐的體積.（2）為直角三角形，理由：由題意得，，，從而，即，可得為直角三角形，所以，所以，因此幾何體的表面積為.17．【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）【詳解】（1）證明：在中，在邊上，且平分，所以,，,在中，，在中，，兩式作比值可得，，化簡得.（2）因為平分，所以，設，由余弦定理，得，即，解得．（3）由，得，解得，所以．18．【正確答案】（1）證明見解析（2）（i）證明見解析（ii）證明見解析【詳解】（1）因為四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）（i）連接，交于，連接，如下圖：因為四邊形是平行四邊形，所以是的中點，又因為是的中點，所以.又因為平面，平面，所以平面.又因為平面，平面平面，所以.（ii）連接，如下圖：易知，顯然平面，平面，所以平面；同理可得，即平面；又，所以平面平面，又因為平面，