/遼寧省沈陽市2023?2024學年高二下冊期末考試數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知全集，集合，，那么集合（

）A． B． C． D．2．若函數在區間上是減函數，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．已知，則“”是“”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．等差數列前項和為，則（

）A．44 B．48 C．52 D．565．已知函數是定義在R上的偶函數，且在區間上是減函數，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．6．設，，.若，，則最大值為（

）A．2 B． C．1 D．7．若命題“,”是假命題，則不能等于（

）A． B． C． D．8．已知函數的定義域為，且滿足，則下列結論錯誤的是（

）A． B．C．是奇函數 D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列選項中正確的是（

）A． B．C． D．10．分形幾何學是美籍法國數學家伯努瓦·曼德爾布羅特在20世紀70年代創立的一門新學科，它的創立為解決傳統科學領域的眾多難題提供了全新的思路.下圖展示了如何按照圖①的分形規律生長成一個圖②的樹形圖，設圖②中第n行白心圈的個數為，黑心圈的個數為，則下列說法正確的是（

）A．B．C．數列為等比數列D．圖②中第2023行的黑心圈的個數是11．已知函數其中，且，則（

）A． B．函數有2個零點C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知函數是奇函數，且，則.13．函數的圖象與的圖象關于軸對稱，再把的圖象向右平移1個單位長度后得到函數的圖象，則.14．某工廠生產一種溶液，按市場要求該溶液的雜質含量不得超過0.1％，這種溶液最初的雜質含量為3％，現進行過濾，已知每過濾一次雜質含量減少，則至少經過次過濾才能達到市場要求．（參考數據：，）四、解答題（本大題共5小題）15．若函數，當時，函數有極值.(1)求函數的極值；(2)若關于的方程有三個零點，求實數的取值范圍.16．已知等比數列的公比，且，．(1)求的通項公式；(2)若數列滿足，且是嚴格增數列，求實數的取值范圍．17．定義在上的函數滿足，，且時，.(1)求；(2)判斷在上的單調性并證明；(3)若，求的取值范圍.18．已知是定義在上的偶函數，且.(1)求的解析式；(2)若不等式恒成立，求實數的取值范圍；(3)設，若存在，對任意的，都有，求實數的取值范圍.19．已知函數．(1)當時，求函數的最小值；(2)試討論函數的單調性；(3)當時，不等式恒成立，求整數a的最大值．

答案1．【正確答案】B【分析】解不等式求出集合，根據交集的定義解答即可.【詳解】由題意可知，，，所以.故選B.2．【正確答案】C根據對稱軸與區間端點值之間的關系,列式可解得結果.【詳解】因為函數在區間上是減函數,所以,解得.故選C.【關鍵點撥】本題考查了利用二次函數的單調性求參數的取值范圍,抓住圖象的開口方向以及對稱軸與區間端點的關系是解題關鍵.3．【正確答案】A【分析】根據題意可直接判斷充分性，舉例說明必要性不成立即可.【詳解】若，則，即充分性成立；若，例如，滿足條件，但不成立，即必要性不成立；綜上所述：“”是“”的充分不必要條件.故選A.4．【正確答案】C【分析】根據等差數列前n項和公式結合等差數列項的性質計算即可【詳解】.故選C.5．【正確答案】D【分析】根據函數的奇偶性，單調性以及對數函數的單調性即可解出．【詳解】因為函數是定義在R上的偶函數，且在區間上是減函數，，所以函數在上是增函數，所以，即有，所以或，解得或．故選D．【思路導引】首先，我們需要利用函數的奇偶性和單調性來分析函數的性質，然后將不等式轉化為對數不等式，最后解出x的范圍.6．【正確答案】C【分析】先利用指數、對數的關系，用表示，再利用基本不等式求最大值.【詳解】∵，，，，∴，，∴，當且僅當，時取等號.∴的最大值為1.故選C.7．【正確答案】C【分析】轉化為命題的否定“,”為真命題.用關于的一次函數來考慮，即可解.【詳解】根據題意，知原命題的否定“,”為真命題.令,,解得.故選C.8．【正確答案】B【分析】利用賦值判斷A，令可判斷C，令，結合條件求出函數周期可判斷B、D.【詳解】令，則，解得，故A正確；令，則，即，因為不恒為0，所以，且定義域為，故函數為奇函數，故C正確；令，則，因為不恒為0，且，所以只能，從而，周期為4，顯然，故B錯誤，D正確.故選B.9．【正確答案】AD【分析】根據對數、指數和冪函數的單調性比大小，結合選項依次判斷即可.【詳解】A：因為在上單調遞增，所以，故A正確；B：因為在R上單調遞增，所以，故B錯誤；C：因為在R上單調遞減，所以，故C錯誤；D：由，所以，故D正確.故選AD.10．【正確答案】ACD【分析】求得，的值判斷選項AB；利用等比數列定義判斷選項C；求得圖②中第2023行的黑心圈的個數判斷選項D.【詳解】由題可得，，故A正確，B錯誤；，，，且有，，故有所以是以為首項，3為公比的等比數列，為常數列，且，所以是以為首項，1為公比的等比數列，故C正確；由上可得故所以，故D正確.故選ACD.11．【正確答案】ACD【分析】先作出函數圖象，結合圖象逐一判定即可.【詳解】，故A正確；作出函數的圖象如圖所示，觀察可知，，而，故，有3個交點，即函數有3個零點，故B錯誤；由對稱性，，而，故，故C正確；b，c是方程的根，故，令，則，故，而，均為正數且在上單調遞增，故，故D正確，故選ACD.12．【正確答案】/【分析】根據求出，再根據求出即可求出.【詳解】的定義域為，而為奇函數，故，而，故，故，所以，此時，故為奇函數，故，故/.13．【正確答案】【分析】根據函數的對稱性及函數圖象變換的原則即可求解.【詳解】由題意可知，把的圖象向右平移1個單位長度后得，故答案為.14．【正確答案】9【分析】根據題意列不等式，運算求解即可.【詳解】由題意可得：經過次過濾后該溶液的雜質含量為，則，解得，∵，則的最小值為9，故至少經過9次過濾才能達到市場要求.故9.【方法總結】函數有關應用題的常見類型及解決問題的一般程序：（1）常見類型：與函數有關的應用題，經常涉及物價、路程、產值、環保等實際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價的最優化問題；（2）應用函數模型解決實際問題的一般程序：讀題（文字語言）?建模（數學語言）?求解（數學應用）?反饋（檢驗作答）；（3）解題關鍵：解答這類問題的關鍵是確切地建立相關函數解析式，然后應用函數、方程、不等式的有關知識加以綜合解答．15．【正確答案】(1)極大值，極小值；(2)【分析】（1）對函數進行求導，利用，解方程組即可得解析式；對函數求導，令，并解導數不等式，分類討論即可得答案；（2）作出函數的圖象，直線與函數圖象需有3個交點，即可得答案；【詳解】（1），由題意知，解得，故所求的解析式為；，令，得或，列表如下：極大值極小值當時，有極大值，當時，有極小值；（2）由（1）知，得到當或時，為增函數；當時，為減函數，∴函數的圖象大致如圖，

由圖可知當時，與有三個交點，有三個零點，所以實數的取值范圍為．16．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）利用等比數列通項公式的基本量進行運算即可；（2）是嚴格增數列，利用恒成立即可求解.【詳解】（1）因為數列是等比數列，且，所以或2，若，，則與矛盾，舍去，若，，則，，滿足題意，所以．（2）因為，是嚴格增數列，所以對于任意正整數n都成立，，即對于任意正整數n都成立，所以，因為在上嚴格遞減，所以當時，最大，最大值為，所以的取值范圍是.17．【正確答案】(1)(2)在上的單調遞增，證明見解析(3)【分析】（1）根據條件，通過賦值，即可求出結果；（2）根據條件，利用證明函數單調性的定義法，再結合條件，即可求出結果；（3）利用（2）中結果，根據條件得到，即可求出結果.【詳解】（1）因為，令，得到，所以.（2）在上的單調遞增，證明如下，任取，且，則，又時，，且，所以，得到，所以在上的單調遞增.（3）因為，由（2）知，解得，又由，得到，所以的取值范圍為.18．【正確答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用偶函數定義可得參數值，從而的解析式；（2）易知在上單調遞增，逆用單調性化為具體不等式問題，參變分離求最值即可；（3）原問題等價于在上的最小值不大于在上的最小值.【詳解】（1）由題意知，即，所以，故.（2）由（1）知，，易知在上單調遞增，所以不等式恒成立，等價于，即恒成立.又，當且僅當時，等號成立，所以，即實數的取值范圍是.（3）因為存在，對任意的，都有，所以在上的最小值不大于在上的最小值.因為在上單調遞增，所以當時，.圖象的對稱軸方程為，當時，在上單調遞增，，解得，所以；當時，在上單調遞減，在上單調遞增，，解得；當時，在上單調遞減，，解得，所以.綜上，實數的取值范圍是.19．【正確答案】(1)(2)答案見詳解(3)4【分析】（1）求導，利用導數判斷的單調性和最值；（2）求出原函數的導函數，對進行分類討論即可得出原函數的單調區間；（3）問題轉化為恒成立，令新函數，利用導數求其最小值的范圍，即可求得整數的最大值.【詳解】（1）當時，則，可知的定義域為，且，令，解得；令，解得，可知的單調遞減區間是，單調遞增區間是，所以函數的最小值為.（2）由題意可知的定義域為，且，當時，恒成立，所以的單調遞減區間是，無單調遞增區間.當時，令解得，令，解得；令，解得，所以的單調遞減區間是，單調遞增區間是；綜上所述：當時，的單調遞減區間是，無單調遞增區間；當時，的單調遞減區間是，單調遞增區間是.（3）當時，不等式恒成立，即，整理可得，原題意等價于對任意恒成立，令，則，令，則，所以在區間上單調遞增，因為，，所以在區間內存在唯一零點