/江西省2024_2025學年高二下冊階段性測試數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知復數，則（

）A． B．1 C． D．22．記為等比數列的前項和，若，則（

）A．81 B．71 C．61 D．513．隨機變量，若，則的展開式中的系數為（

）A．12 B．15 C．16 D．204．用數學歸納法證明：，第二步從到，等式左邊應添加的項是（

）A． B．C． D．5．過點的直線與圓相切，則直線的方程為（

）A． B．或C． D．或6．已知甲箱中有2個紅球和3個黑球，乙箱中有1個紅球和3個黑球（所有球除顏色外完全相同），某學生先從甲箱中隨機取出2個球放入乙箱，再從乙箱中隨機取出1個球，記“從乙箱中取出的球是黑球”為事件，則（

）A． B． C． D．7．已知，為雙曲線C：的左、右焦點，過作直線l與雙曲線的右支交于A，B兩點，且，，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．8．已知等差數列、的前項和分別為、，若，對，，，則的最小值為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知的二項式系數和為64，則（

）A．B．常數項是第3項C．二項式系數最大值為20D．所有項系數之和等于110．人工智能是新一輪科技革命和產業變革的重要驅動力量，是研究?開發用于模擬?延伸和擴展人的智能的理論?方法?技術及應用系統的一門新的技術科學.很多學校已經推出基于的人工智能通識課程，幫助學生深入了解人工智能的歷史?關鍵技術及其在科學研究?社會發展中的高效應用，培養跨學科思維，推動人工智能技術在多領域的深度融合與創新.某探究小組利用解答了50份高考模擬試卷，收集其準確率，整理得到如下頻率分布直方圖，則下列說法正確的是（

）A．B．估計準確率的分位數為C．估計準確率的平均數為D．估計準確率的中位數為11．已知兩點的坐標分別為為坐標平面內的動點，直線的斜率分別為，且滿足（為定值），設動點的軌跡為．則（

）A．軌跡關于原點對稱B．軌跡關于直線對稱C．當時，軌跡為一條直線D．當時，軌跡存在最高點三、填空題（本大題共3小題）12．在的展開式中，常數項為.13．一件家用電器，現價2000元，實行分期付款，一年后還清，購買后一個月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款數相同，共付12次，月利率為0.8%，并按復利計息，那么每期應付款元．（參考數據：，，，）14．過拋物線上一動點作圓的兩條切線，切點分別為，則四邊形面積的最小值為．四、解答題（本大題共5小題）15．記數列的前項和為，已知.(1)證明：數列為等差數列；(2)求數列的前項和.16．2024年9月16日，沈陽市舉行馬拉松比賽，全球馬拉松愛好者積極參與本場比賽，某服務部門為提升服務質量，隨機采訪了120名參賽人員，得到下表：滿意度性別合計女性男性比較滿意50非常滿意4070合計60120(1)求的值；(2)能否有的把握認為不同性別的參賽人員對該部門服務質量的評價有差異？(3)用頻率估計概率，現隨機采訪本場比賽的1名女性參賽人員與2名男性參賽人員，已知3人中恰有一人對該部門服務非常滿意，求該人為女性的概率．附：．0.10.010.0012.7066.63510.82817．如圖，在等腰梯形ABCD中，，，E，F分別為AB，CD的中點，沿線段EF將四邊形AEFD翻折到四邊形MEFN的位置，連接MB，NC.已知，，，P為射線FN上一點.(1)若，證明：平面BCNM.(2)若直線FN與平面CEP所成角的正弦值為，求PF.18．為宣揚中國文化，某校組織古詩詞知識比賽.比賽分為兩階段，第一階段為基礎知識問答，每位選手都需要回答3個問題，答對其中至少2個問題，進入第二階段，否則被淘汰；第二階段分高分組、和低分組，第一階段3個問題都答對的選手進入高分組，共回答4個問題，每答對一個得20分，答錯不得分；第一階段答對2個問題的選手進入低分組，共回答4個問題，每答對一個得10分，答錯不得分.第一階段，每個問題選手甲答對的概率都是；第二階段，若選手甲進入高分組，每個問題答對的概率都是，若選手甲進入低分組，每個問題答對的概率都是.(1)求選手甲第一階段不被淘汰的概率；(2)求選手甲在該次比賽得分數為40分的概率；(3)已知該次比賽選手甲進入了高分組，記選手甲在該次比賽中得分數為，求隨機變量的分布列和期望值.19．橢圓C:，、為該橢圓的左右焦點，為過的一條直線，與橢圓交于兩點，弦長的最小值為，且當最小時，三角形面積為.(1)求橢圓的標準方程及離心率；(2)對任意的斜率不為0直線，在軸上總存在一點，使得直線與直線的斜率之和為1，求的取值范圍.

答案1．【正確答案】B【詳解】由，所以，所以，故選B.2．【正確答案】C【詳解】由題可知，，成等比數列，所以，即，得，則此等比數列的首項是1，公比是，那么，，所以.故選C.3．【正確答案】B【詳解】因為隨機變量，正態曲線關于對稱，由，可得，即，解得．則展開式的通項為，令，得，所以的系數為.故選B．4．【正確答案】C【詳解】根據等式左邊的特點，各數是先遞增再遞減，由于，左邊；時，左邊，比較兩式，從而等式左邊應添加的式子是．故選C.5．【正確答案】D【詳解】若直線的斜率不存在，則直線的方程為：，圓心，半徑為，圓心到直線的距離為，符合要求；若直線的斜率存在，設直線的方程為即，故圓心到直線的距離為，故，故此時直線的方程為.故選D.6．【正確答案】D【詳解】記“從甲箱中取出的球恰有個紅球”為事件，根據題意可得，，所以.故選D.7．【正確答案】B【詳解】由雙曲線定義得，，，設，則由圖，，在中，由余弦定理得，解得，∴.在中，由余弦定理得，∴，故離心率.故選B.8．【正確答案】C【詳解】等差數列、的前項和分別為、，且，則，且當時，，因為，，，則，即的最小值為.故選C.9．【正確答案】ACD【詳解】對于A，由題意，二項式系數和為64，則，解得，故A正確；對于B，通項公式為，令，得，則第四項為常數項，故B錯誤；對于C，二項式系數最大項為中間項第四項，所以為，故C正確；對于D，令則系數和為，故D正確.故選ACD.10．【正確答案】ABD【詳解】對于A選項，由頻率分布直方圖可得，解得，A對；對于B選項，前兩個矩形的面積之和為，所以估計準確率的分位數為，B對；對于C選項，估計準確率的平均數為，C錯；對于D選項，設中位數為，前三個矩形的面積之和為，所以，則，解得，所以估計準確率的中位數為，D對.故選ABD.11．【正確答案】BD【詳解】設，則，整理得，即，所以軌跡為挖去兩個點的關于軸對稱的拋物線，故A錯誤，B正確；當時，，即一條直線挖去了兩個點，故C錯誤；當時，軌跡為，開口向下，有最高點，故D正確．故選BD.12．【正確答案】【詳解】因為的通項公式為，則的展開式中的項為或，所以常數項為.13．【正確答案】176【詳解】設每期應付款x元，第n期付款后欠款元，則，，…．因為，所以，解得，即每期應付款176元．14．【正確答案】4【詳解】由題意知的圓心為，半徑為2，如圖，，則，

而，當最小時，最小，則最小；由于P在拋物線上，設，則，當時，取最小值8，即取到最小值，則取最小值2，故的最小值為4.15．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為，所以，當時，，兩式相減得，①則，②②①得，所以.因為，又，所以當時，；當時，，則，所以，滿足，所以，故數列為等差數列.（2）由（1）可知數列是首項為，公差為的等差數列，所以，，則，所以.16．【正確答案】(1)(2)有的把握認為不同性別的參賽人員對該部門服務質量的評價有差異，理由見詳解(3)【詳解】（1）解：完善列聯表為：滿意度性別合計女性男性比較滿意302050非常滿意304070合計6060120故，，，，故；（2）假設：依據小概率值的獨立性檢驗，認為不同性別的參賽人員對該部門服務質量的評價沒有差異，根據題目所給公式：．，故不成立，依據小概率值的獨立性檢驗，有的把握認為不同性別的參賽人員對該部門服務質量的評價有差異．（3）女性對服務滿意的概率為，女性對服務不滿意的概率為，男性對服務滿意的概率為，男性對服務不滿意的概率為；設事件為“采訪1名女性參賽人員與2名男性參賽人員中，3人中恰有一人對該部門服務非常滿意”，事件為“該人為女性”；；，故所求概率．【規律方法】獨立性檢驗的具體步驟(1)根據實際問題的需要確定允許推斷“事件X與Y有關系”犯錯誤的概率的上界α，然后查表確定臨界值xα.(2)利用公式χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)計算隨機變量χ2.(3)如果xα，推斷“X與Y有關系”這種推斷犯錯誤的概率不超過α；否則，就認為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關系”，或者在樣本數據中沒有發現足夠的證據支持結論“X與Y有關系”．17．【正確答案】(1)證明見解析(2)3【詳解】（1）證明：在線段CN上取一點Q，使得，連接PQ，BQ.因為，所以，且，因為，，所以，且，所以四邊形EBQP是平行四邊形，.因為平面BCNM，平面BCNM，所以平面BCNM.（2）以F為坐標原點，FN，FE所在直線分別為x軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，.設（），則.設平面CEP的法向量為，則，令，則.直線FN的一個方向向量為.，解得（舍去）.故.18．【正確答案】(1)(2)(3)分布列見解析，20【詳解】（1）選手甲第一階段不被淘汰，即甲回答三個問題答對其中2個或3個，其概率為：（2）選手甲在該次比賽得分數為40分有兩種情況：進入高分組，答對2個問題；進入低分組，答對4個問題.故概率為：（3）的可能取值有，，，，所以分布列為：020406080所以.19．【正確答案】(1)；(2)【詳解】（1）依題意，為焦點弦，當且僅當軸時，弦長取最小值為，此時將代入，解得，則①，又的面積為，即，解得.則②.聯立①②，可得：，得（負值舍去）.把代入，得.所以橢圓的標準方程為，離心率.（2）當直線的斜率不存