/湖北省荊門2024-2025學(xué)年高二下冊3月月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.1.若函數(shù)在處可導(dǎo)，則等于（）A. B. C. D.02.下列求導(dǎo)運(yùn)算不正確的是（）A. B.C. D.3.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.4.設(shè)三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù)圖象的一部分如圖所示，則下列說法正確的個(gè)數(shù)為（）①函數(shù)有極大值②函數(shù)有極小值③函數(shù)有極大值④函數(shù)有極小值A(chǔ).1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)5.若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.6.如圖所示某城區(qū)的一個(gè)街心花園，共有五個(gè)區(qū)域，中心區(qū)域E已被設(shè)計(jì)為代表城市特點(diǎn)的一個(gè)標(biāo)志性塑像，要求在周圍四個(gè)區(qū)域中種植鮮花，現(xiàn)有四個(gè)品種的鮮花可供選擇，要求每個(gè)區(qū)域只種一個(gè)品種且相鄰區(qū)域所種品種不同，則不同的種植方法的種數(shù)為（）A.12 B.24 C.48 D.847.已知，，，則（）A. B. C. D.8.若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.二、多選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知n的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，下列說法正確的是（）A.2，n，10成等差數(shù)列；B.各項(xiàng)系數(shù)之和為64；C.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第3項(xiàng)；D.展開式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)。10.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.則下列結(jié)論正確的有（）.A. C.在上的最大值為13；B D.在上的最小值為4.11.已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)對任意的，都滿足，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值，關(guān)于x的方程有三個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______.13.現(xiàn)共有6名志愿者要到A，B，C三個(gè)社區(qū)進(jìn)行志愿服務(wù)，每個(gè)志愿者只去一個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去A社區(qū)，則不同的安排方法共有________種.（用數(shù)字作答）14.若函數(shù)，則不等式的解集為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和比的展開式的系數(shù)和大992.（1）求n的值；（2）求的展開式中的常數(shù)項(xiàng).16.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）直線l為曲線的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).17.現(xiàn)有編號為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的三個(gè)口袋，其中Ⅰ號袋內(nèi)裝有兩個(gè)1號球，一個(gè)2號球與一個(gè)3號球；Ⅱ號袋內(nèi)裝有兩個(gè)1號球與一個(gè)3號球；Ⅲ號袋內(nèi)裝有三個(gè)1號球與兩個(gè)2號球.第一次先從Ⅰ號袋內(nèi)隨機(jī)地取一個(gè)球，放入與球上號碼相同的口袋中，第二次從該口袋中任取一個(gè)球，（1）求第二次取1號球的概率；（2）若第二次取到1號球，求它取自編號為Ⅰ口袋的概率。18.如圖，四邊形是一塊邊長為4km的正方形地域，地域內(nèi)有一條河流，其經(jīng)過的路線是以中點(diǎn)M為頂點(diǎn)且開口向右的拋物線（河流寬度忽略不計(jì)）.某公司準(zhǔn)備投資一個(gè)大型矩形游樂園.（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求游樂園的面積S；（3）求游樂園面積的最大值.19.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.1.[解析]方法一：==+.方法二：=［2×］.B2.解析：由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可知，，，故A、B正確；由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可知，，故C錯(cuò)誤；由冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知，故D正確.故選C.答案：C.3.解析：由題意得，所以，解得，故，則，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選B.答案：B4.解析：由題圖知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，<0.的極大值是，的極小值是.答案：B5.解析：由題意可得，當(dāng)時(shí)，>0，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，據(jù)此可得函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，結(jié)合題意可得解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.答案：B6.解析：四個(gè)區(qū)域最少種植兩種鮮花，最多種植四種，所以分為以下三類：當(dāng)種植的鮮花為兩種時(shí)，A和C相同，B和D相同，共有種種植方法；當(dāng)種植的鮮花為三種時(shí)，A和C相同或B和D相同，此時(shí)共有種種植方法；當(dāng)種植的鮮花為四種時(shí)，四個(gè)區(qū)域各種一種，此時(shí)共有種種植方法.綜上，不同的種植方法的種數(shù)為.故選D.答案：D7.解析：構(gòu)造函數(shù)，則，令，則，令，則，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有極小值，即最小值，且，則，即，所以>0.1，即.構(gòu)造函數(shù)，其中，則g'（x）=1-=，令，則，令，則，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有極小值，即最小值，且，則，即，所以，即，所以.故選B.答案：B8.解析：，因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，故有兩個(gè)根，即和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).若，顯然有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；若，設(shè)直線和相切于點(diǎn)，則解得，故切點(diǎn)坐標(biāo)是，又直線恒過定點(diǎn)，若和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則=1，解得.故選C.答案：C二、多選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.解析：由的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，得，則2,6,10成等差數(shù)列，A正確；令，得，則的各項(xiàng)系數(shù)之和為64，B正確；的展開式共有7項(xiàng)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，C不正確；的展開式中的第5項(xiàng)為，為常數(shù)項(xiàng)，D正確.故選ABD.答案：ABD10.解：（1）依題意可知，點(diǎn)為切點(diǎn)，代入切線方程可得，，，即，又由，得，而由切線的斜率可知，，，即，由解得（2）由（1）知，，，令，得或.當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如表，x1+0-0+8↗極大值↘極小值↗4的極大值為，又f，在上的最大值為13.故選ABC.11.解析：令（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），則，因?yàn)椋裕栽赗上單調(diào)遞增，所以，即，即，所以A正確，B錯(cuò)誤；又，即，所以，所以C錯(cuò)誤，D正確.故選AD.答案：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.解：（1）由題意可知，，∴∴經(jīng)檢驗(yàn)，，符合題意.故所求函數(shù)的解析式為.（2）由（1）知，.令，得或，當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如表，x2+0-0+↗↘↗∴當(dāng)時(shí)，有極大值；當(dāng)時(shí)，有極小值.要使關(guān)于的方程有三個(gè)不等實(shí)根，則k應(yīng)滿足.即實(shí)數(shù)k的取值范圍是.13.解析：先選出2名志愿者去A社區(qū)，有種方法，再把剩下的4名志愿者分成兩組，可以按照1、3和2、2來分，并分配到其他兩個(gè)社區(qū)，有種方法所以共有種方法.14.解析：由函數(shù)，可得，所以函數(shù)為R上的增函數(shù)，又由，所以為奇函數(shù)，則不等式，即為，可得，解得，所以不等式的解集為.答案：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.解：（1）因?yàn)榈恼归_式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，令得，的展開式的系數(shù)和為，所以，解得（舍負(fù)），所以，（2）由的展開式的通項(xiàng)可知，常數(shù)項(xiàng)是第六項(xiàng)，即.16.解：（1），在點(diǎn)處的切線的斜率為，∴切線的方程為，即.（2）方法一：設(shè)切點(diǎn)為，則直線l的斜率為，又在曲線上，故，∴直線l的方程為.又∵直線l過點(diǎn)，，整理得，，，，，∴直線l的方程為，切點(diǎn)坐標(biāo)為.方法二：設(shè)直線l的方程為，切點(diǎn)為，則k=，又，，解得，，，∴直線l的方程為，切點(diǎn)坐標(biāo)為.17.解：（1）記事件Ai表示第一次取到i號球，，表示第二次取到1號球，依題意，，兩兩互斥，其和為Ω，并且，，，，，應(yīng)用全概率公式，有×+×+×=.（2）解：依題設(shè)知，第二次的球取自口袋的編號與第一次取的球上號碼相同.則18.解：（1）如圖，以M點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則.設(shè)拋物線方程為.∵點(diǎn)D在拋物線上，，解得，∴拋物線方程為.（2）設(shè)是曲線上任一點(diǎn)，則，，∴矩形游樂園面積為，（3）求導(dǎo)得，，令，得，解得或（舍）.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.∴當(dāng)時(shí)，S有極大值且為最大值，此時(shí)，，∴游樂園的最大面積為.19.解：（1）因?yàn)椋x域?yàn)镽，所以.當(dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，所以在R上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，