/湖南省衡陽市2023?2024學年高一下冊期末考試數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．下列幾何體中，頂點個數最少的是（

）A．四棱錐 B．長方體 C．四棱臺 D．四面體2．（

）A． B．C． D．3．已知直線，及平面，，且，，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．已知單位向量，滿足，則與的夾角為（

）A．0 B． C． D．5．將顏色為紅、黃、白的3個小球隨機分給甲、乙、丙3個人，每人1個，則與事件“甲分得紅球，乙分得黃球或甲分得黃球、乙分得紅球”互為對立事件的是（

）A．甲分得黃球 B．甲分得白球C．丙沒有分得白球 D．甲分得白球，乙分得黃球6．在矩形中，若，且，則（

）A．3 B．1 C．2 D．47．如圖，兩座山峰的高度，為測量峰頂和峰頂之間的距離，測量隊在點（，，在同一水平面上）測得點的仰角為，點的仰角為，且，則兩座山峰峰頂之間的距離（

）A．300m B．600m C． D．8．在正三棱柱中，，M是AB的中點，N是棱上的動點，則直線與平面所成角的正切值的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．如圖，在長方體中，點M，N，E，F分別在棱，，，上，且平面平面，下列結論正確的是（

）A． B．C． D．平面10．Z國進口的天然氣主要分為液化天然氣和氣態天然氣兩類.2023年Z國天然氣進口11997噸，其中液化天然氣進口7132噸，氣態天然氣進口4865噸.2023年Z國天然氣及氣態天然氣進口來源分布及數據如圖所示：下列結論正確的是（

）A．2023年Z國從B國進口的液化天然氣比從A國進口的多B．2023年Z國沒有從A國進口液化天然氣C．2023年Z國從C國進口的液化天然氣一定比從D國進口的多D．2023年Z國從B國進口的液化天然氣一定比從D國進口的多11．在中，D是BC的中點，，，下列結論正確的是（

）A．若，則 B．面積的最大值為C． D．若，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知復數，則.13．在某次調查中，采用分層隨機抽樣的方法得到10個A類樣本，30個B類樣本.若A類樣本的平均數為5.5，總體的平均數為4，則B類樣本的平均數為.14．已知某圓臺的母線長為3，下底面的半徑為1，若球O與該圓臺的上、下底面及側面都相切，則球O的表面積為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知向量，.(1)若，求；(2)若向量，，求與夾角的余弦值.16．在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)證明：；(2)若，，求的周長.17．為了解某校高一年級學生數學學習的階段性表現，該年級組織了一次測試.已知此次考試共有1000名學生參加，將考試成績分成六組：第一組，第二組，…，第六組.整理數據得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)該校根據試卷的難易程度進行分析，認為此次成績不低于110分，則階段性學習達到“優秀”，試估計這1000名學生中階段性學習達到“優秀”的人數；(2)若采用等比例分層抽樣的方法，從成績在和內的學生中共抽取6人，查看他們的答題情況來分析知識點的掌握情況，再從中隨機選取3人進行面對面調查分析，求這3人中恰有1人成績在內的概率.18．如圖，在四棱錐中，底面ABCD，E是PC的中點，點F在棱BP上，且，四邊形ABCD為正方形，.

(1)證明：；(2)求三棱錐的體積；(3)求二面角的余弦值.19．在世界杯小組賽階段，每個小組內的四支球隊進行循環比賽，共打6場，每場比賽中，勝、平、負分別積3，1，0分.每個小組積分的前兩名球隊出線，進入淘汰賽.若出現積分相同的情況，則需要通過凈勝球數等規則決出前兩名，每個小組前兩名球隊出線，進入淘汰賽.假定積分相同的球隊，通過凈勝球數等規則出線的概率相同（例如：若B，C，D三支積分相同的球隊同時爭奪第二名，則每個球隊奪得第二名的概率相同）.已知某小組內的A，B，C，D四支球隊實力相當，且每支球隊在每場比賽中勝、平、負的概率都是，每場比賽的結果相互獨立.(1)求A球隊在小組賽的3場比賽中只積3分的概率；(2)已知在已結束的小組賽的3場比賽中，A球隊勝2場，負1場，求A球隊最終小組出線的概率.

答案1．【正確答案】D【分析】直接根據幾何體的特征去判斷即可．【詳解】四棱錐有5個頂點，長方體和四棱臺有8個頂點，四面體有4個頂點．故選D.2．【正確答案】B【分析】由復數除法運算法則可得答案.【詳解】.故選B.3．【正確答案】B【詳解】對于A：若，則不一定垂直，故A錯誤；對于B：因為，所以，因為，所以，故B正確；對于C：若，則不一定平行于，故C錯誤；對于D：若，則或，故D錯誤.故選B.4．【正確答案】C【分析】根據單位向量定義與等量關系可得，再利用夾角的計算公式即可求解.【詳解】由題意得，因為，所以，所以，因為，所以，即與的夾角為.故選C.5．【正確答案】C【分析】由對立事件的概念即可得解.【詳解】甲分得紅球，乙分得黃球或甲分得黃球，乙分得紅球，即丙分得白球，與丙沒有分得白球互為對立事件.故選C.6．【正確答案】D【分析】根據矩形的性質，結合向量的加減法法則即可得解．【詳解】因為四邊形為矩形，所以因為，所以.故選D.7．【正確答案】C【分析】在，中利用銳角三角函數求出，，再在中利用余弦定理計算可得.【詳解】在中，，在中，，在中，．故選C.8．【正確答案】D【分析】根據題意，先畫出圖象，作，然后由面面的垂直的性質可得平面，進而可知為直線與平面所成的角，當取得最大值時，取得最大值，取得最小值，從而可得直線與平面所成角的正切值的最大值.【詳解】如圖，作，垂足為G，連接.

在正三棱柱中，平面平面，因為平面平面，平面，，所以平面.故為直線與平面所成的角.當取得最大值時，取得最大值，取得最小值.不妨設，則，的最小值為a，于是.故選D.9．【正確答案】ABD【分析】利用面面平行的性質結合線面平行的判定定理逐個選項判斷即可.【詳解】因為平面平面，平面與平面和平面的都相交，是交線，所以，故A正確；因為長方體，所以平面平面，而平面與這兩個平行平面的都相交，是交線，所以，故B正確，如圖，連接，此時平面與平面和平面的都相交，是交線，所以，而，所以，又因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為，所以與不平行，故C錯誤；如圖，連接，由長方體性質得面面，此時平面與這兩個平面的都相交，是交線，所以，又因為面，面，所以平面，故D正確.故選ABD.10．【正確答案】ABC【分析】由餅狀統計圖的實際含義逐一驗算各個選項即可求解.【詳解】對于B，2023年Z國從A國進口天然氣2480噸，全部為氣態天然氣，所以2023年Z國沒有從A國進口液化天然氣，B正確.對于A，2023年Z國從B國進口天然氣2435噸，其中氣態天然氣1630噸，液化天然氣805噸，所以2023年Z國從B國進口的液化天然氣比從A國進口的多，A正確.對于C，假設2023年Z國氣態天然氣其余部分全部來自C國，共噸，則Z國從C國進口液化天然氣噸，仍然大于從D國進口的天然氣的總量，所以2023年Z國從C國進口的液化天然氣一定比從D國進口的多，C正確.對于D，2023年Z國從B國進口液化天然氣噸，2023年Z國從D國進口的天然氣總量為1666噸，若全部為液化天然氣，則2023年Z國從B國進口的液化天然氣比從D國進口的少，D錯誤.故選ABC.11．【正確答案】BCD【分析】根據勾股定理可判定A；根據三角形面積公式可判定B；根據向量運算可判定C；結合正余弦定理可判定D.【詳解】在中，，所以，，故A錯誤；當時，最大，所以面積的最大值為，故B正確；，故C正確；在中，由正弦定理可得，得.在中，由余弦定理可得，即.在中，由余弦定理可得，即，所以，整理得，解得（舍去），故D正確.12．【正確答案】【詳解】因為，所以.13．【正確答案】3.5【分析】設B類樣本的平均數為x，通過總體的平均數列方程，進而解方程可得B類樣本的平均數.【詳解】設B類樣本的平均數為x，則，解得.故答案為.14．【正確答案】【分析】把空間問題降維，轉化在軸截面中進行研究，需要理解軸截面的概念，利用等面積法及勾股定理建立等式求解．【詳解】如圖：

在軸截面梯形中，，，設球O的半徑為r，．，解得：，因為，所以，所以球O的表面積為，故．15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，，所以.由，可得，即，解得，所以，故；（2）依題意得.因為，所以，解得，則,，，，所以，所以與夾角的余弦值為.16．【正確答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）由正弦定理以及三角恒等變換即可得證；（2）由正弦定理以及三角恒等變換即可得解.【詳解】（1）因為，所以，由正弦定理可得.因為，所以，則（或，舍去），即；（2）因為，，所以，..由，可得，.故的周長為.17．【正確答案】(1)200人(2)【分析】（1）用學生成績在內的頻率乘以1000即可得解；（2）寫出從6人中任選3人的樣本空間，以及抽取的3人中恰有1人成績在內的樣本空間寫出來，結合古典概型概率計算公式即可求解.【詳解】（1）由頻率分布直方圖，可得學生成績在內的頻率為0.04，在內的頻率為0.16，故估計這1000名學生中階段性學習達到“優秀”的人數為.（2）學生成績在內的頻率為0.08，在內的頻率為0.16，則抽取的6人中，成績在內的有2人，在內的有4人.記成績在內的4名學生為a，b，c，d，在內的2名學生為E，F，則從6人中任選3人，樣本空間可記，共包含20個樣本.用事件A表示“這3人中恰有1人成績在內”，則A={，，，}，A包含4個樣本.故所求概率.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由線面垂直的判定求證；（2）由轉化求解；（3）由線面垂直的性質得即二面角的平面角，即可求解．【詳解】（1）證明：因為底面，底面，所以.因為四邊形為正方形，所以.因為，所以平面.因為平面，所以.在中，，E是PC的中點，則.因為，所以平面.因為平面，所以.因為，，所以平面.因為平面，所以.（2）連接交于點，如圖所示：

則，又底面，平面，得，而，則平面，則點C到平面的距離為，因為E是PC的中點，所以，，，，所以，，所以.（3）由（1）可得平面，因為平面，平面，所以，.為二面角的平面角.，.因為，所以，解得.因為，即，所以.故二面角的余弦值為.19．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）分類討論只積3分的可能情況，結合獨立事件概率乘法公式運算求解；（2）由題意，若A球隊參與的3場比賽中勝2場，負1場，根據獲勝的三隊通過凈勝球數等規則決出前兩名，分情況討論結合獨立事件概率乘法公式運算求解.【詳解】（1）A球隊在小組賽的3場比賽中只積3分，有兩種情況.第一種情況：A球隊在3場比賽中都是平局，其概率為.第二種情況：A球隊在3場比賽中勝1場，負2場，其概率為.故所求概率為.（2）不妨假設A球隊參與的3場比賽的結果為A與B比賽，B勝；A與C比賽，A勝；A與D比賽，A勝.此情況下，A積6分，B積3分，C，D各積0分.在剩下的3場比賽中：若C與D比賽平局，則C，D每隊最多只能加4分，此時C，D的積分都低于A的積分，A可以出線；若B與C比賽平局，后面2場比賽的結果無論如何，都有兩隊的積分低于A，A可以出線；若B