/湖南省衡陽市2023-2024學年高二創(chuàng)新班上學期第四階段測試數(shù)學試卷一、單選題：本題共8題，每題3分，共24分．在每題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，則=A． B． C． D．2．設，“”是“復數(shù)是純虛數(shù)”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．4．設函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，當時，單調(diào)遞增，則不等式的解集為（

）A．或 B．C． D．5．把滿足條件（1），，（2），，使得的函數(shù)稱為“D函數(shù)”，下列函數(shù)是“D函數(shù)”的個數(shù)為（

）①

②

③

④

⑤A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．已知曲線在點處的切線方程為，則A． B． C． D．7．設函數(shù)的定義域為R，滿足，且當時，.若對任意，都有，則m的最小值是（

）A． B． C． D．8．已知定義在上的奇函數(shù)滿足：當時，.若不等式對任意實數(shù)t恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是A． B．C． D．二、多選題：每小題4分，共16分．全部選對的得4分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．如圖是函數(shù)導函數(shù)的圖象，下列選項中正確的是（

）A．在處導函數(shù)有極大值 B．在，處導函數(shù)有極小值C．在處函數(shù)有極大值 D．在處函數(shù)有極小值10．已知函數(shù)，若過點（其中是整數(shù)）可作曲線的三條切線，則的所有可能取值為（

）A．3 B．4 C．5 D．611．已知符號函數(shù)，則（

）A．B．C．是奇函數(shù)D．函數(shù)的值域為（﹣∞，1）12．已知是定義在上的函數(shù)，是的導函數(shù)，給出如下四個結(jié)論，其中正確的是（

）A．若，且，則的解集為B．若，且，則函數(shù)有極小值0C．若，且，則不等式的解集為D．若，則三、填空題：本題共4小題，每小題4分，共16分．13．已知，設函數(shù)的圖象在點（1，）處的切線為l，則l在y軸上的截距為.14．已知函數(shù)，則，的最小值是．15．已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個極值點，則實數(shù)m的取值范圍是．16．已知定義在上的函數(shù)滿足，其中是函數(shù)的導函數(shù).若，則實數(shù)的取值范圍為.四、解答題：本題共4小題，共44分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，求的取值范圍.18．已知函數(shù)（I）討論的單調(diào)性；（II）設有兩個極值點若過兩點的直線與軸的交點在曲線上，求的值．19．新冠肺炎疫情造成醫(yī)用防護服短缺，某地政府決定為防護服生產(chǎn)企業(yè)A公司擴大生產(chǎn)提供(萬元)的專項補貼，并以每套80元的價格收購其生產(chǎn)的全部防護服.A公司在收到政府(萬元)補貼后，防護服產(chǎn)量將增加到(萬件)，其中為工廠工人的復工率().A公司生產(chǎn)萬件防護服還需投入成本(萬元).（1）將A公司生產(chǎn)防護服的利潤(萬元)表示為補貼(萬元)的函數(shù)；(政府補貼x萬元計入公司收入)（2）在復工率為k時，政府補貼多少萬元才能使A公司的防護服利潤達到最大？（3）對任意的(萬元)，當復工率達到多少時，A公司才能不產(chǎn)生虧損？（精確到0.01）.20．已知函數(shù).（1）證明：曲線在點處的切線恒過定點；（2）若有兩個零點，且，證明.1．C【分析】本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學運算素養(yǎng)．采取數(shù)軸法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題．【詳解】由題意得，，則．故選C．不能領會交集的含義易致誤，區(qū)分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2．B【詳解】當a=0時，如果b=0，此時是實數(shù)，不是純虛數(shù)，因此不是充分條件；而如果已經(jīng)是純虛數(shù)，由定義實部為零，虛部不為零可以得到a=0，因此是必要條件，故選B【考點定位】本小題主要考查的是充分必要條件，但問題中又涉及到了復數(shù)問題，復數(shù)部分本題所考查的是純虛數(shù)的定義3．B【分析】先根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除部分選項，然后令y=0，結(jié)合圖象分析求解.【詳解】因為函數(shù)定義域為R，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故排除C，由，令y=0得x=-1，x=0，x=1，當時，，當時，，排除AD故選：B本題主要考查函數(shù)圖象的識別以及函數(shù)的奇偶性和零點的應用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和分析求解問題的能力，屬于中檔題.4．A【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性和偶函數(shù)的性質(zhì)，解出不等式即可．【詳解】當時，函數(shù)單調(diào)遞增，且函數(shù)是上的偶函數(shù)，，由，得，故，得或.故選:A.本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查了運用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解決不等式問題，考查學生計算能力，屬于中檔題．5．B【分析】滿足（1）（2）的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關于原點對稱，分別對所給函數(shù)進行驗證.【詳解】滿足（1）（2）的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關于原點對稱，①不滿足（2）；②不滿足（1）；③不滿足（2）；④⑤均滿足（1）（2）.故選：B.本題考查新定義函數(shù)的問題，涉及到函數(shù)的性質(zhì)，考查學生邏輯推理與分析能力，是一道容易題.6．D通過求導數(shù)，確定得到切線斜率的表達式，求得，將點的坐標代入直線方程，求得．【詳解】詳解：，將代入得，故選D．本題關鍵得到含有a，b的等式，利用導數(shù)幾何意義和點在曲線上得到方程關系．7．A【詳解】根據(jù)函數(shù)在上的解析式，以及，求出函數(shù)在上的解析式，求出滿足題意的臨界值即可.，∴當時，，時，，，時，，，將函數(shù)大致圖象繪制如下：時，令，解得：，，若對于任意，都有，所以，故選：A.本題考查函數(shù)解析式的求解，以及數(shù)形結(jié)合求解恒成立問題的能力，屬綜合性中檔題.8．A【分析】由是上的奇函數(shù)，并結(jié)合當時，，可得的解析式，進而判斷其單調(diào)性，可將不等式轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，進而可求得實數(shù)m的取值范圍.【詳解】由題意知，時，，則，因為是上的奇函數(shù)，所以，所以當時，.因為函數(shù)為上的減函數(shù)，所以為上的增函數(shù)，故為上的增函數(shù)，由，可得，即對任意恒成立，當時，不等式可化為，顯然不符合題意，所以，可得，解得.故選：A.本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)單調(diào)性的應用，考查不等式恒成立問題，考查學生的計算能力與推理能力，屬于中檔題.9．ABCD【分析】根據(jù)極大值、極小值的定義，判斷出正確選項.【詳解】根據(jù)導函數(shù)的圖像可知：的兩側(cè)左減右增，所以在，處導函數(shù)有極小值；的兩側(cè)左增右減，所以在處導函數(shù)有極大值.根據(jù)導函數(shù)的圖像可知：的左側(cè)導數(shù)大于零，右側(cè)導數(shù)小于零，所以在處函數(shù)有極大值.的左側(cè)導數(shù)小于零，右側(cè)導數(shù)大于零，所以在處函數(shù)有極小值.而左右兩側(cè)導函數(shù)符號相同，原函數(shù)不取得極值.故選：ABCD本小題主要考查極大值、極小值的定義和判斷，屬于基礎題.10．ABC【分析】由題意先設出切點，寫出切線方程，代入點,得到一個含參數(shù)的方程，通過參變分離法，轉(zhuǎn)化成一個函數(shù)的圖象與直線有三個交點的問題，只需要研究函數(shù)的圖象性質(zhì)即可.【詳解】由題知，設切點為，則切線方程為，將，代入得；令，則，或時，,為增函數(shù)；時，，為減函數(shù)，的極大值為，極小值為，如圖.

結(jié)合圖象，依題意可知，，又為整數(shù)，.故選：ABC.11．BC【分析】對于A，判斷出log23?log3＜0，根據(jù)函數(shù)解析式可得函數(shù)值；對于B，＝﹣2＜0，根據(jù)函數(shù)解析式可得函數(shù)值；對于C，討論當x＞0，x＜0和x＝0時的函數(shù)值，利用奇函數(shù)的定義判斷即可；對于D，寫出函數(shù)解析式畫出圖象可得函數(shù)的值域．【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，log23＞0而log3＜0，則log23?log3＜0，故sgn（log23?log3）＝﹣1，A錯誤；對于B，＝﹣2＜0，則sgn（）＝﹣1，B正確；對于C，sgn（x）＝，當x＞0時，sgn（﹣x）＝﹣sgn（x）＝﹣1，當x＜0時，sgn（﹣x）＝﹣sgn（x）＝1，當x＝0時，sgn（﹣x）＝﹣sgn（x）＝0，則對于任意的x，都有sgn（﹣x）＝﹣sgn（x），故sgn（x）是奇函數(shù)，C正確；對于D，函數(shù)y＝2x?sgn（﹣x）＝，其圖象大致如圖，值域不是（﹣∞，1），D錯誤；故選：BC．本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)，涉及函數(shù)值的計算以及函數(shù)奇偶性的判斷，屬于基礎題．12．ABD【分析】根據(jù)各選項的條件分別構(gòu)造出函數(shù)，再利用導數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性和已知條件依次判斷即可得到答案.【詳解】對選項A：設，因為，且，則，所以在上增函數(shù)，又因為，所以當時，，即的解集為，故A正確.對選項B，設，因為所以當時，，為減函數(shù)，當時，，為增函數(shù)，故當，取得極小值，極小值為，故B正確.對選項C，設，.因為，，所以，在上增函數(shù).又因為，所以.所以當時，，故C錯誤.對選項D，設，因為，所以，在上增函數(shù).所以，，即.故D正確.故選：ABD本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，同時考查了構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題.13．1【詳解】函數(shù)f(x)=ax?lnx,可得,切線的斜率為：，切點坐標(1,a),切線方程l為：y?a=(a?1)(x?1)，l在y軸上的截距為：a+(a?1)(?1)=1.故答案為1.點睛：求曲線的切線方程是導數(shù)的重要應用之一，用導數(shù)求切線方程的關鍵在于求出切點及斜率，其求法為：設是曲線上的一點，則以的切點的切線方程為：．若曲線在點的切線平行于軸（即導數(shù)不存在）時，由切線定義知，切線方程為．14．，.【詳解】，若：，當且僅當時，等號成立；若：，當且僅當時，等號成立，故可知．考點：1．分段函數(shù)；2．函數(shù)最值．15．【分析】函數(shù)有兩個極值點，即導數(shù)有兩個變號零點，轉(zhuǎn)化成和的圖象在上有兩個交點，對求導，導數(shù)構(gòu)造新函數(shù)，進而確定單調(diào)性，得出的范圍即可求解.【詳解】，∴，令，得，設，則，令，則，∴在上單調(diào)遞減，且，∴當時，，即，在上單調(diào)遞增；當時，，即，在上單調(diào)遞減，故，而當時，，當時，，若有兩極值點，只要和的圖象在上有兩個交點，只需，故.故答案為.16．【分析】令，求得函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，把題設中的不等式轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】令，則，因為，所以，所以函數(shù)在為單調(diào)遞減函數(shù)，又由，所以，即，所以，即，所以，解得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.故答案為.本題主要考查了利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的單調(diào)性的應用，著重考查了構(gòu)造、轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.17．（1）；（2）.（1）求出的值，利用點斜式可求得所求切線的方程；（2）求得，，根據(jù)題意可得出關于的不等式，進而可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），，，因此，曲線在點處的切線方程，即；（2），，令，得或，由于函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.本題考查利用導數(shù)求解函數(shù)的切線方程，同時也考查了利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)，考查計算能力，屬于中等題.18．（I）見解析；（II）或或【詳解】（I），當時，，當且僅當時，，所以是上增函數(shù)；當時，的兩個根為，，，，綜上所述，當時，單調(diào)遞增區(qū)間是；當時，單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（II）由題設知，是方程的兩個根，故有，，因此，同理，因此直線的方程為，設直線與軸的交點為，得，，由題設知，點在曲線上，故，解得或或所以的值為.本試題考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用．第一就是三次函數(shù)，通過求解導數(shù)，求解單調(diào)區(qū)間．另外就是運用極值的概念，求解參數(shù)值的運用．19．（1），；（2）；（3）0.65.（1）根據(jù)已知條件列出關系式，即可得出答案；（2）由，進而結(jié)合基本不等式求出的最小值，此時取得最大值，從而可求出答案；（3）對任意的（萬元），公司都不產(chǎn)生虧損，可知在上恒成立，利用參變分離，可得，求出的最大值，即可得出的值.【詳解】（1）由題意，即；（2）因為，所以，所以當且僅當，即時，等號成立，所以故政府補貼為萬元才能使公司的防護服利潤達到最大，最大為萬元.（3）對任意的（萬元），公司都不產(chǎn)生虧損，則在上恒成立不等式整理得，令，則，則令任取，且則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增可得所以，即所以當復工率達到0.65時，對任意的（萬元），公司都不產(chǎn)生虧損.易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易