專題11二次函數的實際應用

二次函數的實際應用

類型1利潤最值問題AW..........................

［方法點撥】二次函數的實際應用中求利泗最值的解題思路：

1.求最大利泗就是求二次函數在自變量取值范圍內的最大值；

2.根據題意，列出關于自變量的二次函數表達式,并根據自變量的實際意義，確定自變量的取值應困；

3.用頂點式表示出二次函數表達式，通常函數值在頂點處或自變量取值范圍內的兩端點處取最大（小）值，根

據函數圖象的增減性進行判斷即可.

【例1】（2021?寶應縣一模）某商店銷售進價為30元/件的某種商品，在第x（lWxW90）天的售價與銷最

的相關信息如下表:

時間X（天）1?50500W90

售價（元/件）A+4090

每天銷量（件）200-2A

設銷售商品的每天利潤為），元.

（1）求出y與工的函數關系式；

（2）問該商品第幾天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是多少?

（3）現該商店決定每銷售1件該商品就捐贈。元（〃>0）給貧困地區，在銷售的前50天內該商店當日

最大利潤為5832元，求〃的值.

【變式1-1］（2021?龍港市一模）溫州某商店以每件40元的價格購進一種商品，經市場調查發現：在一段

時間內，該商品的口銷售量y（件）與售價x（元/件）成一次函數關系，其對應關系如下表.

售價（元/件）455060

日銷售量（件）11010080

（1）求），關于人-的函數表達式.

（2）求售價為多少時，日銷售利潤最大，最大利潤是多少元.

（3）該商店準備搞節日促銷活動，顧客每購買一件該商品獎小元（w>0）,要想在日銷售里不少丁68

件時的日銷售最大利潤是1360元，若日銷售量與伐價仍然滿足（1）中的函數關系，求小的值.（每件

銷售利潤=售價-進價）

【變式1?2】（2021?江岸區模擬）某網店經營一種熱銷小商品，每件成本10元，經過調研發現，這種小商

品20天內售價在持續提升，銷售單價P（元/件）與時間，（天）之間的函數關系為2=20+。（其中I

W/W20,1為整數），且其日銷售量y（件）與時間，（天）的關系如表.

時間，（天）159131721

日銷售量），（件）989082746658

（1）已知），與，之間的變化規律符合一次函數關系，請直接寫出y（件）與時間/（天）函數關系式；

（2）在20天的銷售中，第幾天的銷售利潤最大？最大日俏售利潤為多少？

（3）在實際俏售的20天中，該網店每銷售一件商品就捐贈。元（。為整數）利潤給“精準扶貧”的對

象，通過銷售記錄發現，這20天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間天）的增大而增大，求a

的最小值.

【變式1-3］（2020?海寧市一模）受新冠疫情影響，3月1日起，“君樂買菜”網絡公司某種蔬菜的銷售價

格開始上漲.如圖1,前四周該蔬菜每周的平均銷售價格），（元/依）與周次x（x是正整數，lWx<5）的

關系可近似用函數）=|葉。刻畫；進入第5周后，由于外地蔬菜的上市，該蔬菜每周的平均銷售價格y

（元/奴）從第5周的6元/依下降至第6周的5.6元/必，y與周次x（5WxW7）的關系可近似用函數y=

一書”2+bx+5刻畫.

（I）求a,b的值.

（2）若前五周該蔬菜的銷售量，〃（kg）與每周的平均銷售價格y（元伙g）之間的關系可近似地用如圖2

所示的函數圖象刻畫，第6周的銷伐最與第5周相同：

①求m與y的函數表達式；

②在前六周中，哪?周的銷售額3（元）最大？最大銷售額是多少？

（3）若該蔬菜第7周的銷售量是100依，由于受降雨的影響，此種蔬菜第8周的可銷售量將比第7周減

少a%（a>0）.為此，公司又緊急從外地調運了5伙此種蔬菜，剛好滿足本地市民的需要，且使此種蔬

菜笫8周的銷售價格比第7周僅上漲。.8“％.若在這一舉措下，此種蔬菜在第8周的總銷售額與第7周

剛好持平，請通過計算估算出〃的整數值.

類型2拋物線形問題AV\............................

【方法點撥】在解答拋物線形問題時，求出函數的解析式是關鍵.若沒有拋物線的函數解析式，則一般要先正

確建立平面直角坐標系，將題中的特殊位置轉化為相應點的坐標，往往最高（低）點為拋物線的頂點.

【例2】（2021?鎮海區模擬）如圖，在一次足球比賽中，守門員在地面。處將球踢出，一運動員在離守門

員8米的A處發現球在自己頭上的正上方4米處達到最高點M,球落地后又一次彈起.據實驗測算，足

球在空中運行的路線是一條拋物線，在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少

到原來最大高度的一半.

（I）求足球第一次落地之前的運動路線的函數表達式及第一次落地點/，和守門員（點O）的距離；

（2）運動員（點A）要搶到第二個落點C,他應再向前跑多少米？（假設點。、A、8、C在同一條直線

上，結果保留根號）

【變式2-1］（2021?嘉善縣一模）己知，足球球門高2.44米，寬7.32米（如圖1）在射門訓練中，一球員

接傳球后射門，擊球點A距離地面0.4米，即A8=0.4米，球的運動路線是拋物線的--部分，當球的水

平移動距離8c為6米時，球恰好到達最高點。，即CO=4.4米.以直線8c為x軸，以直線A8為），軸

建立平面直角坐標系（如圖2）.

（1）求該拋物線的表達式；

（2）若足球恰好擊中球門橫梁，求該足球運動的水平距離；

（3）若要使球直接落在球門內，則該球員應后退〃?米后接球射門，擊球點為4（如圖3）,請直接寫出

力的取值范圍.

【變式2-2］（2021?海城市模擬）如圖，隧道的橫截面由拋物線形和矩形OA8C構成.矩形一邊QA的長

是12〃?，另一邊OC的長是1也.拋物線上的最高點。到地血04的距離為7〃?.以。4所在直線為x軸，

以OC所在直線為），軸，建立平面直角坐標系.

（I）求該拋物線所對應的函數表達式.

（2）在拋物線形拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度為5〃?，求兩

排燈之間的水平距離.

（3）隧道內車輛雙向通行，規定車輛必須在中心線兩側行駛，并保持車輛頂部與隧道有不少于以〃的空

隙.現有一輛貨運汽車，在隧道內距離道路邊緣2加處行駛，求這輛貨運汽車載物后的最大高度.

【變式2-3］（2020?紹興）如圖1,排球場長為18〃?，寬為9〃?，網高為2.24〃?，隊員站在底線。點處發球,

球從點。的正上方19”的C點發出，運動路線是拋物線的一部分，當球運動到最高點A時,高度為2.88”

即8A=2.88小，這時水平距離。8=7加，以直線08為x軸，直線OC為），軸，建立平面直角坐標系，如

圖2.

（1）若球向正前方運動（即x軸垂直于底線），求球運動的高度），（〃力與水平距離x（，加之間的函數

關系式（不必寫出x取值范圍）.并判斷這次發球能否過網？是否出界？說明理由.

（2）若球過網后的落點是對方場地①號位內的點P（如圖1,點P距底線1加，邊線0.5加，問發球點

。在底線上的哪個位置？（參考數據：V2?1.4）

【方法點擾】與幾何圖形面積有關的二次函數實際應用題的解題步驟：

在解與幾何圖形面積有關的二次函數實際應用題時，先設一邊長為X,再根據題中條件，用含X的代數式表示

出相關線段的長，根據周長、面積公式可列出函數表達式，再根據二次函數的性質求解.另夕卜，實際問題中的

函數，自變量的取值危國往往受到限制，這時對應的函數圖象應是拋物線的一部分.

【例31（2020?連云區二模）為了節省材料，某水產養殖戶利用水庫的岸堤（岸堤足夠長）為一邊，用總

長為80米的圍網在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區域，而且這三塊矩形區域的面積相等.設

BC的長度為x米，矩形區域A8C。的面積為y米2.

（I）求證：AE=2BE-

（2）求），與工之間的函數關系式，并寫出自變最x的取值范圍；

（3）x為何值時，y有最大值？最大值是多少？

【變式3-1］（2020?溫州模擬）某植物園有一塊足夠大的空地，其中有一堵長為〃米的墻，現準備用20米

的籬笆圍兩間矩形花圃，中間用籬笆隔開.小俊設計了如圖甲和乙的兩種方案：

方案甲中AO的長不超過墻長；方案乙中AO的長大于墻長.

（I）若。=6.

①按圖甲的方案，要圍成面枳為25平方米的花圃，則A。的長是多少米?

②按圖乙的方案，能圍成的矩形花圃的最大面積是多少？

（2）若0VaV6.5,哪種方案能圍成面積最大的矩形花圃？請說明理由.

a

A

B

圖乙

【變式3-2]（2021?富順縣三模）在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足

券長），用28〃?長的籬笆圍成一個矩形花園ABCO（籬笆只圍AB,8C兩邊），設花園的面

積為Snr.

（I）若花園的面積為192m2,求x的值;

（2）寫出花園面積S與▲?的系數關系式.工為何值時，花園面積S有最大值？最大值為多少？

（3）若在P處有一棵樹與墻CD,A。的距離分別是a（14W0W22）和6〃?，要將這棵樹圍在花園內（含

邊界，不考慮樹的粗細），設花園面積S