復合函數試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.已知\(f(x)=2x+1\)，\(g(x)=x^2\)，則\(f(g(2))\)的值為（）A.9B.10C.11D.122.若\(f(x)=\sqrt{x}\)，\(g(x)=x-1\)，則\(f(g(x))\)的定義域是（）A.\(x\geq0\)B.\(x\geq1\)C.\(x\gt0\)D.\(x\gt1\)3.已知\(f(x)=3x-2\)，\(g(x)=\frac{1}{x}\)，則\(g(f(1))\)等于（）A.1B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(\frac{1}{4}\)4.函數\(y=f(x)\)與\(y=f(-x)\)的圖象（）A.關于\(x\)軸對稱B.關于\(y\)軸對稱C.關于原點對稱D.無對稱關系5.若\(f(x)=x^2+1\)，\(g(x)=2x\)，則\(f(g(-1))\)的值是（）A.5B.3C.2D.16.已知\(f(x)=2^x\)，\(g(x)=x+1\)，則\(f(g(0))\)為（）A.1B.2C.4D.87.函數\(f(x)=\ln(x+1)\)，\(g(x)=e^x\)，則\(f(g(x))\)是（）A.\(x+1\)B.\(e^{x+1}\)C.\(\ln(e^x+1)\)D.\(e^{\ln(x+1)}\)8.若\(f(x)=\sinx\)，\(g(x)=x^3\)，則\(f(g(\frac{\pi}{2}))\)的值為（）A.1B.0C.\(-1\)D.\(\frac{\pi^3}{8}\)9.已知\(f(x)=x^3\)，\(g(x)=\cosx\)，則\(g(f(0))\)等于（）A.0B.1C.-1D.\(\frac{1}{2}\)10.若\(f(x)=\frac{1}{x-1}\)，\(g(x)=x+1\)，則\(f(g(2))\)的值是（）A.1B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(\frac{1}{4}\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.對于復合函數\(y=f(g(x))\)，下列說法正確的是（）A.定義域是\(g(x)\)的定義域B.值域是\(f(x)\)的值域C.先計算\(g(x)\)的值，再將其作為\(f(x)\)的自變量D.若\(f(x)\)與\(g(x)\)都是奇函數，則\(y=f(g(x))\)是奇函數2.已知\(f(x)=x^2\)，\(g(x)=2x+1\)，則（）A.\(f(g(x))=4x^2+4x+1\)B.\(g(f(x))=2x^2+1\)C.\(f(g(1))=9\)D.\(g(f(1))=3\)3.若\(f(x)=\sqrt{x}\)，\(g(x)=x-1\)，則（）A.\(f(g(x))\)的定義域為\([1,+\infty)\)B.\(f(g(x))=\sqrt{x-1}\)C.\(g(f(x))=x-1\)（\(x\geq0\)）D.\(g(f(4))=3\)4.關于復合函數\(y=f(g(x))\)與\(y=g(f(x))\)，正確的是（）A.定義域可能不同B.值域可能不同C.當\(f(x)=g(x)\)時，\(y=f(g(x))=y=g(f(x))\)D.二者圖象可能相同5.已知\(f(x)=|x|\)，\(g(x)=x^2-1\)，則（）A.\(f(g(x))=|x^2-1|\)B.\(g(f(x))=x^2-1\)C.\(f(g(0))=1\)D.\(g(f(2))=3\)6.若\(f(x)=\frac{1}{x}\)，\(g(x)=x+1\)，則（）A.\(f(g(x))=\frac{1}{x+1}\)B.\(g(f(x))=\frac{1}{x}+1\)C.\(f(g(1))=\frac{1}{2}\)D.\(g(f(2))=\frac{3}{2}\)7.對于復合函數，以下結論正確的是（）A.若\(f(x)\)單調遞增，\(g(x)\)單調遞增，則\(f(g(x))\)單調遞增B.若\(f(x)\)單調遞減，\(g(x)\)單調遞減，則\(f(g(x))\)單調遞增C.若\(f(x)\)單調遞增，\(g(x)\)單調遞減，則\(f(g(x))\)單調遞減D.復合函數的單調性與\(f(x)\)和\(g(x)\)的單調性無關8.已知\(f(x)=e^x\)，\(g(x)=\lnx\)，則（）A.\(f(g(x))=x\)（\(x\gt0\)）B.\(g(f(x))=x\)C.\(f(g(1))=1\)D.\(g(f(0))\)無意義9.若\(f(x)=\sinx\)，\(g(x)=2x\)，則（）A.\(f(g(x))=\sin(2x)\)B.\(g(f(x))=2\sinx\)C.\(f(g(\frac{\pi}{4}))=1\)D.\(g(f(\frac{\pi}{6}))=1\)10.對于復合函數\(y=f(g(x))\)，若\(f(x)\)的定義域為\(A\)，\(g(x)\)的值域為\(B\)，則（）A.\(B\subseteqA\)時，復合函數有意義B.當\(A\capB=\varnothing\)時，復合函數無意義C.復合函數的定義域是\(g(x)\)中使得\(g(x)\inA\)的\(x\)的取值集合D.復合函數的值域是\(f(x)\)在\(B\)上的值域三、判斷題（每題2分，共10題）1.復合函數\(y=f(g(x))\)中，\(f(x)\)的定義域就是\(g(x)\)的值域。（）2.若\(f(x)\)是偶函數，\(g(x)\)是奇函數，則\(f(g(x))\)是偶函數。（）3.已知\(f(x)=x+1\)，\(g(x)=x^2\)，則\(f(g(x))=x^2+1\)。（）4.復合函數\(y=f(g(x))\)的值域一定是\(f(x)\)值域的子集。（）5.若\(f(x)\)單調遞增，\(g(x)\)單調遞減，則\(f(g(x))\)單調遞增。（）6.函數\(f(x)=\sqrt{x}\)，\(g(x)=-x^2\)，則\(f(g(x))\)的定義域為\(R\)。（）7.已知\(f(x)=2x\)，\(g(x)=\frac{1}{x}\)，則\(f(g(x))=\frac{2}{x}\)。（）8.復合函數\(y=f(g(x))\)與\(y=g(f(x))\)的定義域一定相同。（）9.若\(f(x)\)和\(g(x)\)都有反函數，則\(f(g(x))\)也一定有反函數。（）10.對于復合函數\(y=f(g(x))\)，當\(x\)在\(g(x)\)定義域內變化時，\(y\)的取值范圍就是\(f(x)\)的值域。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述求復合函數\(y=f(g(x))\)定義域的方法。答案：先確定\(f(x)\)的定義域\(A\)，然后令\(g(x)\)的值域滿足\(g(x)\inA\)，解出\(x\)的取值范圍，此范圍即為\(y=f(g(x))\)的定義域。2.如何判斷復合函數\(y=f(g(x))\)的單調性？答案：根據“同增異減”原則。若\(f(x)\)與\(g(x)\)在相應區間單調性相同，則\(f(g(x))\)單調遞增；若單調性相反，則\(f(g(x))\)單調遞減。3.已知\(f(x)=x^2-1\)，\(g(x)=x+1\)，求\(f(g(x))\)并化簡。答案：將\(g(x)=x+1\)代入\(f(x)\)得\(f(g(x))=(x+1)^2-1\)，展開化簡得\(f(g(x))=x^2+2x+1-1=x^2+2x\)。4.若\(f(x)\)的定義域是\([0,2]\)，求\(f(x^2)\)的定義域。答案：因為\(f(x)\)定義域是\([0,2]\)，對于\(f(x^2)\)，則\(0\leqx^2\leq2\)，解不等式得\(-\sqrt{2}\leqx\leq\sqrt{2}\)，所以\(f(x^2)\)定義域是\([-\sqrt{2},\sqrt{2}]\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論復合函數\(y=f(g(x))\)在實際數學問題和生活中的應用實例。答案：在數學中，如計算復雜函數的導數時常用復合函數求導法則。生活中，比如根據時間計算商品價格變化，時間先影響生產效率（\(g(x)\)），生產效率再影響價格（\(f(x)\)），構成復合函數關系。2.探討復合函數\(y=f(g(x))\)的值域與\(f(x)\)、\(g(x)\)值域之間的具體聯系和區別。答案：\(y=f(g(x))\)的值域是\(f(x)\)在\(g(x)\)值域上的取值范圍，是\(f(x)\)值域的子集。區別在于\(f(x)\)值域是其自身所有可能取值，而\(f(g(x))\)值域受\(g(x)\)值域限制，可能只是\(f(x)\)值域一部分。3.當\(f(x)\)和\(g(x)\)都是周期函數時，討論\(f(g(x))\)是否一定是周期函數。答案：\(f(x)\)和\(g(x)\)都是周期函數時，\(f(g(x))\)不一定是周期函數。若\(f(x)\)周期為\(T_1\)，\(g(x)\)周期為\(T_2\)，當存在非零整數\(m\)、\(n\)使得\(mT_1=nT_2\)時，\(f(g(x))\)是周期函數，否則不一定是。4.分析復合函數\(y=f(g(x))\)圖象與\(f(x)\)、\(g(x)\)圖象之間的關系。答案：\(y=f(g(x))\)圖象與\(f(x)\)、\(g(x)\)圖象密切相關。\(g(x)\)圖象的變化會通過\(f(x)\)影響\(f(g(x))\)。例如