2025年江蘇省南通市啟東市中考二模數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．2025的倒數是（

）A．2025 B． C． D．2．下列運算正確的是（

）A． B．C． D．3．將一個含有角的直角三角板和一把直尺按如圖方式放置，若，則的度數為（

）A． B．C． D．4．若一次函數的圖象經過點，，則與的大小關系是（

）A． B． C． D．5．在下面四個幾何體中，其左視圖不是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．6．已知是關于的一元二次方程的一個根，則的值為（）A． B． C．5 D．77．如圖，一條細繩系著一個小球在平面內擺動．已知細繩從懸掛點O到球心的長度為50厘米，小球在左、右兩個最高位置時，細繩相應所成的角∠AOB為40°，那么小球在最高位置和最低位置時的高度差為（

）A．厘米 B．厘米C．厘米 D．厘米8．在獻愛心活動中，五名同學捐款數分別是，，，，（單元：元），后來每人追加了元．追加后的5個數據與之前的5個數據相比，不變的是（

）A．平均數 B．眾數 C．中位數 D．方差9．如圖，在等腰三角形中，，點D在上，連接，把繞點A逆時針旋轉得到，使，連接，若，，則的長為(

)A． B． C． D．1010．二次函數，若當時，，則當時，函數值的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題11．量子點是一種重要的低維半導體材料，一般為球形或類球形，直徑常在之間．用科學記數法表示是（其中）．12．分解因式：．13．如圖，以O為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OM相交于點A，再以點A為圓心，AO長為半徑畫弧，兩弧交于點B，畫射線OB，則sin∠AOB的值等于．14．將面積為3πcm2的扇形圍成一個圓錐的側面，若扇形的圓心角是120°，則該圓錐底面圓的半徑為cm．15．一組數據x，2，3的平均數是3，這組數據的方差是．16．《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，成書于約一千五百年前，其中有首歌謠：“今有竿不知其長，量得影長一丈五尺，立一標桿，長一尺五寸，影長五寸，問竿長幾何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多長，量出它在太陽下的影子長一丈五尺，同時立一根一尺五寸的小標桿（如圖所示），它的影長五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），則竹竿的長為．17．如圖，的邊在軸上，反比例函數的圖象經過點，與邊交于點，若，，則的值為．18．如圖，在平面直角坐標系中，平面內有一動點，定點，，連結．若點只在第一象限內運動，過點作于，當取得最大值時，點的坐標是．三、解答題19．（1）計算：；

（2）解不等式組：．20．【閱讀材料】老師的問題：已知：如圖，中，，是斜邊上的中線，求作：菱形小明的作法：（1）取的中點，（2）連接并延長到，使，（3）連接，，四邊形就是所求作的菱形；【解答問題】請根據材料中的信息，證明四邊形是菱形．21．某商品博覽會在五一節期間舉辦了“五一不重”的活動，吸引了眾多市民前來參觀．商品博覽會設置了A、B兩個安檢通道進入場館內部，又設置了D、E、F三個離場通道．小明和小亮兩名同學分別到博覽會游玩．(1)小明從A入口進入商品博覽會的概率是；(2)參觀結束后，小明和小亮都從D出口走出博覽會的概率是多少？（列表或畫樹狀圖）22．如圖，在中，．以為直徑的圓分別交，于點，．過點作圓的切線交的延長線于點．(1)求證：；(2)如果，，求的長．23．如圖1、圖2是某種品牌的籃球架實物圖與示意圖，已知底座BC＝0.6米，底座BC與支架AC所成的角∠ACB＝75°，支架AF的長為2.5米，籃板頂端F點到籃筐D的距離FD＝1.4米，籃板底部支架HE與支架AF所成的角∠FHE＝60°，求籃筐D到地面的距離．（精確到0.1米，參考數據：cos75°≈0.3，sin75°≈0.9，tan75°≈3.7，≈1.7，≈1.4）

24．某企業生產并銷售某種產品，假設銷售量與產量相等，圖中的線段表示該產品每千克生產成本單位：元與產量單位：之間的函數關系；線段表示該產品銷售價單位：元與產量單位：之間的函數關系，已知，．(1)求線段所表示的與之間的函數表達式；(2)若，該產品產量為多少時，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？(3)若，該產品獲得的利潤最大利潤是______．25．已知關于x的二次函數（實數b，c為常數）．（1）若二次函數的圖象經過點，對稱軸為，求此二次函數的表達式；（2）若，當時，二次函數的最小值為21，求b的值；（3）記關于x的二次函數，若在（1）的條件下，當時，總有，求實數m的最小值．26．如圖，在矩形中，，，點E在上，連接、，相交于點G，作，交于點F，設．【變中不變】（1）明明發現：連接，當點E的位置在上發生變化時，的度數始終不變．經過思考，他整理出如下說理過程，請補充完整．∵，且①_______；∴；∴即：；又∵；∴②_______；∴；∴；在矩形中，；∴；∴③_______°，即度數不變．【嘗試應用】（2）若，求的長；【思維拓展】（3）將繞著點E順時針旋轉得到，是否存在這樣的x，使得有頂點落在直線上，若存在，請求出滿足條件的x值；若不存在，請說明理由．《2025年江蘇省南通市啟東市中考二模數學試題》參考答案1．D解：根據倒數的定義得2025的倒數為，故選：D．2．C解：A、，故本選項錯誤，不符合題意；B、，故本選項錯誤，不符合題意；C、，故本選項正確，符合題意；D、，故本選項錯誤，不符合題意；故選：C3．B解：如圖所示，∵，∴，∴，故選：B．4．A解：∵一次函數y=2x+1中，k=2＞0，∴y隨著x的增大而增大．∵點（-3，y1）和（4，y2）是一次函數y=2x+1圖象上的兩個點，-3＜4，∴y1＜y2．故選：A．5．C解：根據題意知，A選項左視圖為正方形，是中心對稱圖形，故該選項不符合題意；B選項左視圖為圓，是中心對稱圖形，故該選項不符合題意；C選項左視圖為等腰三角形，不是中心對稱圖形，故該選項符合題意；D選項左視圖為矩形，是中心對稱圖形，故該選項不符合題意；故選：C．6．C解：把代入關于的一元二次方程得：，，故選：C7．D解：如圖：過作于，中，厘米，，．（厘米）．故選：D．8．D解：五名同學捐款數分別是，，，，（單位：元），后來每人追加了元．追加后的個數據與之前的個數據相比，不變的是方差；平均數，眾數，中位數都會發生變化，故選：D．9．D解：∵繞點A逆時針旋轉得到，，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，，即，∴，∴，∵，∴．故選：D．10．B解：由題意得，拋物線的對稱軸為直線．，．．設與軸交點為，（其中，即：，當時，，且拋物線開口向上，，拋物線的對稱軸為直線，或1時，，，．，當，即時，隨著的增大而減少，當時，，，，當時，，，當時，，函數值的取值范圍為．故選：B．11．解：，故答案為：．12．解：原式，故答案為：．13．∵以O為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OM交于點A，∴OA=OB，∵以A為圓心，AO長為半徑畫弧，兩弧交于點B，∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB=60°，∴sin∠AOB=sin60°=．故答案為．14．1解：設圓錐的母線長為Rcm，底面圓的半徑為rcm，∵面積為3πcm2的扇形圍成一個圓錐的側面，扇形的圓心角是120°，∴＝3π，解得：R＝3，由題意可得：2πr＝，解得：r＝1．故答案為：1．15．解：利用平均數的計算公式可得：，解得，∴這組數據為4，2，3，∴這組數據的方差為．故答案為．16．四丈五尺解：設竹竿的長度為x尺，∵竹竿的影長=一丈五尺=15尺，標桿長=一尺五寸=1.5尺，影長五寸=0.5尺，∴由相似相似原理可知：解得x=45（尺）．故答案為：四丈五尺．17．解：如圖，作軸，垂足為，軸，垂足為，連接，，，，由反比例函數值的幾何意義可知：，設，則，，，解得：．故答案為：．18．解：依題得，點在的函數圖象上，且需滿足，，當時，，當時，，即定點，為函數與坐標軸的交點，作軸，交于點，設直線的解析式為，將，代入可得，解得，即直線的解析式為，，，中，，，，，，，在中，，當最長時，最長，，則，，，，，，，，當時，取最大值，此時點的坐標為．故答案為：．19．（1）；（2）解：（1）原式；（2）由不等式，得，由不等式，得，∴不等式組的解集為．20．見解析證明：∵中，，是斜邊上的中線，∴，∵，∴，∴∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形．21．(1)(2)（1）解：∵一共有兩個入口，每個入口被選擇的概率相同，∴小明從A入口進入商品博覽會的概率是，故答案為：；（2）解：畫樹狀圖如下：

由樹狀圖可知，一共有9種等可能性的結果數，其中小明和小亮都從D出口走出博覽會的結果數有1種，∴小明和小亮都從D出口走出博覽會的概率為.22．(1)見解析(2)（1）證明：，，又，，，；（2）解：連接，交于，為的直徑，，在中，，，，，，，，在中，，，為的切線，，，，，，，，，．23．2.9米解：延長FE交CB的延長線于M，過A作AG⊥FM于G，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，∴AB＝BC?tan75°＝0.60×3.732＝2.22，∴GM＝AB＝2.22，在Rt△AGF中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝，∴sin60°＝＝，∴FG＝2.125，∴DM＝FG+GM﹣DF≈2.9米．答：籃筐D到地面的距離是2.9米．

24．(1)(2)若，該產品產量為時，獲得的利潤最大，最大利潤是元(3)元（1）解：設線段所表示的與之間的函數關系式為，根據題意，得：，解得：，與之間的函數關系式為；（2）解：若，設與之間的函數關系式為，根據題意，得：，解得：，這個函數的表達式為：，設產量為時，獲得的利潤為元，根據題意，得：，當時，取得最大值，最大值為，答：若，該產品產量為時，獲得的利潤最大，最大利潤是元；（3）解：設，由題意得：，解得：，這個函數的表達式為：，，，，，，即該拋物線對稱軸在軸左側，當時，隨的增大而增大，當時，的值最大，元．時，該產品產量為時，獲得的利潤最大，最大利潤為元．故答案為：元．25．（1）；（2）或4；（3）4．解：（1）將點代入得：，二次函數的對稱軸為，，解得，則此二次函數的表達式為；（2），即，，則此二次函數的對稱軸為，由題意，分以下三種情況：①當，即時，在內，隨的增大而減小，則當時，取得最小值，因此有，解得或（不符題設，舍去）；②當，即時，在內，隨的增大而減小；在內，隨的增大而增大，則當時，取得最小值，因此有，解得或（均不符題設，舍去）；③當，即時，在內，隨的增大而增大，則當時，取得最小值，因此有，解得或（不符題設，舍去），綜上，的值為或4；（3）由（1）可知，，由得：，即，令，在內，隨的增大而增大，要使得當時，總有，則只需當時，即可，因此有，解得，則實數的最小值為4．26．（1）；；；（2）；（3）或或．解：（1）∵，且；∴；∴即：；又∵；∴