高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東名校考試聯盟2024-2025學年高二年級下學期期中檢測數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,故選：D.2.的展開式中的常數項為（）A.30 B.45 C.60 D.75【答案】A【解析】展開式的通項公式為，令，，展開式的常數項為.故選：A.3.一袋中有外觀完全相同，標號分別為1，2，3，4，5的五個球，現在分兩次從中有放回地任取一個球,設事件“第一次取得5號球”,事件“第二次取得5號球”，則=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，，所以.故選：B4.已知命題，則為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，所以為“”.故選：A.5.現有6種不同的顏色給圖中的四塊區域涂色，若每個區域涂一種顏色，相鄰區域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（）A.400種 B.460種 C.480種 D.496種【答案】C【解析】當使用4種顏色時，不同的涂法有種方法；當使用3種顏色時，不同的涂法有種方法；所以不同的涂法共有種.故選：C.6.已知變量線性相關，其一組樣本數據，滿足，用最小二乘法得到的經驗回歸方程為.若增加一個數據后，得到修正后的回歸直線的斜率為2.1，則數據的殘差的絕對值為（）A0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【答案】A【解析】由題設，則，增加數據后，，，且回歸直線為，所以，則，所以，有，故殘差的絕對值為.故選：A7.甲、乙兩人玩擲骰子游戲，每局兩人各隨機擲一次骰子，當兩人的點數之差為偶數時.視為平局，當兩人的點數之差為奇數時，誰的骰子點數大該局誰勝．重復上面的步驟，游戲進行到一方比另一方多勝2局或平局4次時停止,記游戲停止時局數為X次,則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】甲乙每次擲股子1次，若兩人的點數都是偶數或都是奇數，則平局，所以平局的概率，若甲勝，則結果有，，，，，，，，，9種，所以甲勝的概率為，同理乙勝的概率也為，局數為4次后停止游戲，若4次全平局，概率為；若平局2次，則最后1次不能是平局，另外2次甲全勝或乙全勝，概率為，若平局0次，則一方3勝1負，且負的1次只能在前2次中，概率為，所以．故選：D.8.今有A、B、C、D、E、F共6本不同的書全部分給4個同學，每個同學至少分到一本，其中A、B必須分給同一個同學的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】將這6本不同的書分成四組，再分配到不同的同學，若書的個數為3,1,1,1，則不同的安排方法種數為：種；若書的個數為2,2,1,1，則不同的安排方法種數為：種，故不同的安排方法共有種．將這6本不同的書分成四組，再分配到不同的同學，A，B分給同一個同學，若書的個數為3,1,1,1，則不同的安排方法種數為：種；若書的個數為2,2,1,1，則不同的安排方法種數為：種，故不同的安排方法共有種．所以所求事件的概率為．故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.設，滿足，則下列結論正確的是（）A.的最大值為 B.的最小值為4C.的最大值為2 D.的最小值為4【答案】BD【解析】由，得：，當且僅當時，等號成立，故A不正確.，當且僅當時，等號成立，故B正確.，即，故C不正確.，當且僅當時，等號成立，故D正確.故選：BD.10.已知隨機變量服從正態分布，且，任取3個隨機變量，記在區間的個數為X，則正確的有（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】對于A，由，得，則，A正確；對于B，由A知，在區間的概率為，因此，B正確；對于C，由B知，，因此，C錯誤；對于D，，D錯誤．故選：AB11.有一組成對樣本數據，，，，設，，由這組數據得到新成對樣本數據，下面就這兩組數據分別先計算樣本相關系數，再根據最小二乘法計算經驗回歸直線，最后計算出殘差平方和，則（）附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．相關系數．A.兩組數據的相關系數相同 B.兩組數據的殘差平方和相同C.兩條經驗回歸直線的斜率相同 D.兩條經驗回歸直線的截距相同【答案】ABC【解析】由于新成對樣本數據，其平均數分別為，同理，這樣根據公式，用樣本數據減去平均數得與新成對數據，用樣本數據減去平均數得與新成對數據，即它們每一個對應數據的差值都是一樣的，這就說明兩條經驗回歸直線的斜率相同，兩組數據的相關系數相同，故A、C正確；由于回歸直線經過樣本數據的樣本點為，而新數據的樣本點為，即樣本數據的回歸直線方程為，而新數據的回歸直線方程為，故兩條經驗回歸直線的截距不相同，故D錯誤；由于樣本數據回歸直線和新數據回歸直線是平行關系，所以實際值與估計值的差的平方和應該是相同的，即兩組數據的殘差平方和相同，故B正確；故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設隨機變量，則的最大值為__________．【答案】1【解析】因為隨機變量，，當且僅當時等號成立，所以的最大值為1.故答案為：1.13.為了調查A，B兩個地區的觀眾是否喜歡娛樂節目M，某電視臺隨機調查了A，B兩個地區的2x名觀眾，已知從A，B兩個地區隨機調查的人數相同，A地區喜歡娛樂節目M的人數占A地區參與調查的總人數的，B地區喜歡娛樂節目M的人數占B地區參與調查的總人數的，若根據獨立性檢驗認為喜歡娛樂節目M和地區有關，且此推斷犯錯誤的概率超過0.01但不超過0.05，則所有x構成的集合為__________．附表：，其中．0.0500.0103.8416.635【答案】【解析】列聯表為：喜歡不喜歡合計A地區B地區合計，由認為喜歡娛樂節目M和地區有關，且此推斷犯錯誤的概率超過0.01但不超過0.05，得，則，解得，又是5的倍數，則可以取的值為，所以x構成的集合為.故答案為：14.a，b，c都為正整數，，隨機變量，則______.【答案】3.8【解析】，且，將7個小球排成一列形成6個間隙，用2塊隔板將7個小球分成3部分，每部分小球數即為,,的取值，因此,,的取值共有種情況，的所有可能取值為3,4,5，當時，,,的取值有兩種情況：①,,中有一個是3，余下兩個都為2，則有種情況，②,,中有二個是3，余下一個為1，則有種情況，則；當時，即,,中有一個是4，余下兩個分別為1,2，則有種情況，；當時，即,,中有一個是5，余下兩個都是1，則有種情況，；所以．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.下圖為某學校20個公用電話日使用次數的頻率分布直方圖，如圖所示，其中各組區間為，，，，．（1）根據頻率分布直方圖，求a的值，并求日使用次數在內的公用電話個數；（2）從這20個公用電話中任取2個，設這2個公用電話中日使用次數在內的有X個，求X的分布列和期望．解：（1）由頻率分布直方圖，得，所以；日使用次數在內的頻率為，所以日使用次數在內的公用電話個數為.（2）的所有可能取值為0，1，2，，所以的分布列為：012數學期望.16.某地區有20000名學生參加數學聯賽（滿分為100分），隨機抽取100名學生的成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．（1）根據頻率分布直方圖，求樣本平均數的估計值；（同一組數據用該區間的中點值作代表）（2）根據頻率分布直方圖，求樣本的分位數（四舍五入精確到整數）；（3）若所有學生的成績X近似服從正態分布，其中為樣本平均數的估計值，．試估計成績不低于90分的學生人數．附：若隨機變量X服從正態分布，則，，．解：（1）由頻率分布直方圖，得樣本平均數的估計值：，所以樣本平均數的估計值為62.（2）由頻率分布直方圖知，前3組的頻率和為，第4組的頻率為0.24，所以樣本的分位數為.（3）由（1）知，樣本平均數的估計值，則，因此,所以成績不低于90分的學生人數約為.17.某景區經過提質改造后統計連續5天進入該景區參觀的人數（單位：千人）如下：日期3月5日3月6日3月7日3月8日3月9日第x天12345參觀人數y2.22.63.15.26.9（1）建立關于的回歸直線方程，預測第10天進入該景區參觀的人數；（2）該景區只開放東門，西門供游客出入，游客從東門，西門進入該景區的概率分別為、，且出景區與進入景區選擇相同的門的概率為，出景區與進入景區選擇不同的門的概率為.假設游客從東門，西門出入景區互不影響，求甲，乙兩名游客都從西門出景區的概率.附：參考數據：.參考公式：回歸直線方程，其中，.解：（1）依題意，，而，則，，因此，當時，，所以關于回歸直線方程為，第10天進入該景區參觀的人數約為千人.（2）記“甲從西門進入景區”為事件，“甲從西門出景區”為事件，“乙從西門出景區”為事件，，，由全概率公式得，同理，所以甲，乙兩名游客都從西門出景區的概率.18.有個編號分別是的不透明的罐子里裝有除顏色外完全相同的糖果.第1個罐子中裝有3顆紅色糖果和2顆綠色糖果，其余罐子中都裝有2顆紅色糖果和2顆綠色糖果.現先從第1個罐子中隨機取出一顆糖果放入第2個罐子，再從第2個罐子中隨機取出一顆糖果放入第3個罐子，依此類推，直至從第個罐子中隨機取出一顆糖果.設事件表示從第個罐子中取出紅色糖果，記事件發生的概率為.（1）求的值；（2）求的值，并證明：當時，；（3）求（用含的式子表達）.解：（1）在第一個罐子中共有糖果顆，其中紅色糖果有3顆，根據古典概型概率公式，（2）由（1）知，，所以，當時，由全概率公式，得所以,即；（3）記，由（2）知遞推關系式，變形為，又，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，所以，則,即.19.某廠有甲、乙兩條生產線生產同種保溫杯，保溫杯按質量分為一級品和二級品，為了比較兩條生產線生產的保溫杯的質量，在甲生產線生產的保溫杯中抽取800個樣本，一級品有600個，其余均為二級品．在乙生產線生產的保溫杯中抽取2000個樣本，一級品有1600個，其余均為二級品．（1）根據統計數據，完成下列表格，依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為甲生產線的一級品率與乙生產線的一級品率有差異？一級品二級品合計甲生產線乙生產線合計（2）現從甲生產線生產的保溫杯中按一級品和二級品中，按比例用分層隨機抽樣法抽取8個保溫杯，再從這8個保溫杯中隨機抽取3個保溫杯，記抽取的3個保溫杯中一級品的個數為，求的分布列和數學期望．（3）用樣本頻率估計總體概率，現從乙生產線所有保溫杯中隨機抽取100個保溫杯，記其中一級品的保溫杯個數為，求使事件“”的概率最大時r的值．附：，其中．0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.879解：（1）依題意，列聯表如下：一級品二級品合計甲生產線600200800乙生產線16004002000合計22006002800零假設：甲生產線的一級品率與乙生產線的一級品率無差異，根據列聯