高級中學名校試卷PAGEPAGE1內蒙古名校聯盟2024-2025學年高一上學期期中聯考數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.命題“，”的否定為（）A.， B.， C.， D.，【答案】C【解析】“，”的否定為，.故選：C2.集合的子集個數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，則集合的子集個數為.故選：B.3.若，則（）A. B.C. D.的大小關系無法確定【答案】B【解析】因為，所以.故選：B4.已知函數若，則（）A.2 B.或2 C.0或2 D.或0或2【答案】B【解析】若，則，解得；若，則，解得或（舍去）．綜上所述，或.故選：B.5.已知函數，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】方法一：由，得.方法二：令，則，所以，即.故選：A.6.若關于的不等式恒成立，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意得，解得.因此，實數的取值范圍是.故選：B7.若函數的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對A：由圖可知，為偶函數，若，其定義域為，為奇函數，故錯誤；對B：由圖可知，，若，，故B錯誤；對C：由圖可知，時，的圖象不是射線；若，當時，的圖象是一條射線，故C錯誤；對D：若，定義域，，其為偶函數；又，滿足圖象特點，故D正確；故選：D.8.已知函數，若對任意，恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】不妨假設，由，得，則在上單調遞減，所以，解得.所以實數的取值范圍是.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列各組函數中，兩個函數為同一函數的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】A選項，的定義域和對應法則均一致，A正確；B選項，的定義域為的定義域為R，兩函數的定義域不同，不是同一函數，B錯誤；C選項，，故兩函數的定義域和對應法則均一致，C正確；D選項，的對應法則不一致，D錯誤.故選：AC10.定義集合A與的運算：且．已知集合，，，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】因為，，，所以，，，.故選：AD．11.已知關于的不等式的解集為，則（）A.B.C.關于的不等式的解集為D.若，則的最大值為1【答案】BCD【解析】因為關于的不等式的解集為，所以整理得則，故選項A錯誤,選項B正確；，解得，故選項C正確；，解得或，則或，故選項D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數的定義域為__________.【答案】【解析】由題意得，解得，所以函數的定義域為，故答案為：13.已知，則的最小值為______.【答案】或【解析】因為，所以，當且僅當，即，又因為，所以當，時，取得最小值.故答案為：.14.已知是定義在上的偶函數，且在上單調遞減，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】由，得，因為是定義在上的偶函數，所以，又因為在上單調遞減，所以，即，整理得，解得或，所以不等式的解集為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知全集，集合.（1）求；（2）若，求.解：（1）由題意得，則，所以.（2）由題意得，因為，所以.由，得且，所以，解得（舍去）.16.如圖，某花圃基地計劃用柵欄圍成兩間背面靠墻的相同的矩形花室．（1）若柵欄的總長為120米，求每間花室面積的最大值；（2）若要求每間花室的面積為150平方米，求所需柵欄總長的最小值．解：（1）設每間花室與墻體垂直的圍墻的邊長為米，與墻體平行的圍墻的邊長為米．因為柵欄的總長為120米，所以，其中，，則.每間花室的面積.因為，當且僅當，時，等號成立，所以每間花室面積的最大值為600平方米．（2）因為每間花室的面積為150平方米，所以，則．柵欄的總長，當且僅當，時，等號成立，故柵欄總長的最小值為60米．17.已知函數滿足.（1）求的解析式；（2）若是奇函數，求的值.解：（1）因為①，所以②.①+2×②得:，則.（2）由（1）可知，.因為是奇函數，所以，即對于定義域內的任意值恒成立，故需使，解得.18.已知函數.（1）若恒成立，求的最大值；（2）若在上單調，求的取值范圍；（3）求在上的最小值為，求.解：（1）由題意得恒成立，則，解得，所以a的最大值為.（2）由題意得圖象的對稱軸為直線，所以在上單調遞減，在上單調遞增.因為在上單調，所以或，解得或，即a的取值范圍為.（3）當，即時，在上單調遞減，，解得，舍去；當，即時，在上單調遞增，，解得，符合題意；當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，，解得或0（，舍去）.故或5.19.定義：為函數在上的平均變化率．（1）若函數在上的平均變化率為3，證明：．（2）設，a，，且．①證明：．②求的取值范圍．參考公式：．（1）證明：因為