高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省普通高中2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則的子集個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】集合，則，因，所以，對(duì)于集合，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，則，即集合中有3個(gè)元素，則它子集個(gè)數(shù)為個(gè).故選：C2.已知是的必要不充分條件，是的充分不必要條件，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】是的必要條件，是的充分條件，即若則，若則，因此有若則，又是的不充分條件，是的不必要條件，若不一定有成立，若不一定有成立，因此有若不一定有成立，所以是的必要不充分條件，故選：B．3.若函數(shù)，則的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】B【解析】由題可得，解得且，所以的定義域?yàn)椋蔬x：B.4.已知函數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.3 D.6【答案】A【解析】函數(shù)是二次函數(shù)，其中，所以對(duì)稱軸，因?yàn)椋院瘮?shù)對(duì)稱軸為，即，解得，故選：A.5.已知，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對(duì)選項(xiàng)A，取，滿足，不滿足，故A錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)B，取，滿足，不滿足，故B錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)C，因?yàn)椋裕矗蔆正確.對(duì)選項(xiàng)D，取，滿足，不滿足，故D錯(cuò)誤.故選：C6.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A B.C. D.【答案】C【解析】的定義域?yàn)椋撸酁榕己瘮?shù)，∵當(dāng)時(shí)，，∴在0,+∞上單調(diào)遞增，∵，∴，解得或.故選：C.7.已知函數(shù)若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知，有3個(gè)實(shí)數(shù)根，即y=fx和有3個(gè)交點(diǎn)，畫出函數(shù)y=fx若與y=fx有3個(gè)交點(diǎn)，則.故選：C8.《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題，這種方法是數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無(wú)字證明.現(xiàn)有圖形如圖所示，為線段上的點(diǎn)，且，，為的中點(diǎn)，以為直徑作半圓，過(guò)點(diǎn)作的垂線交半圓于，連接，則該圖形可以完成的無(wú)字證明為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，，，而（重合時(shí)取等號(hào)），因此有．故選：D．二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知函數(shù)（，且）的圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.的圖象不經(jīng)過(guò)第四象限【答案】BD【解析】對(duì)于A，由圖象可知函數(shù)單調(diào)遞減，則0<a<1，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)x=0時(shí)，，由圖象可得，解得，故B正確；對(duì)于C，由，則，由是增函數(shù)，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，0<a<1，則函數(shù)是增函數(shù)，當(dāng)x=0時(shí)，，故D正確.故選：BD.10.已知正實(shí)數(shù)，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】對(duì)于A，利用基本不等式可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B，可知，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將代入，可得，根據(jù)基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤.故選：AB11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋遥簦瑒t（）A. B.C.函數(shù)是奇函數(shù) D.函數(shù)是增函數(shù)【答案】ACD【解析】令，，則，因，所以，令，，得，即，，所以，故A正確；令，，所以，為奇函數(shù)，故C正確；由，令，得，故B錯(cuò)誤；上式中令為，得，為增函數(shù)，故D正確.故選：ACD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知命題“，使”為真命題，則實(shí)數(shù)的最小值為______.【答案】或【解析】依題意可得,解得,故的最小值為.故答案為：13.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，且，得，所以.故答案為：14.已知關(guān)于x的不等式，若，則該不等式的解集是______，若該不等式對(duì)任意的均成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】①.，②..【解析】當(dāng)時(shí)，不等式可化為，所以，所以或，所以不等式的解集是，由已知對(duì)任意的，不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，不等式，可化為，所以，其中，所以，所以，所以不等式對(duì)任意的均成立時(shí)，的取值范圍是.故答案為：，.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.已知全集，集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求，；（2）若集合，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由時(shí)，，則，或，.（2）由，，解得，則，由，則，可得，解得.16.設(shè)函數(shù).（1）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式.解：（1）當(dāng)時(shí)，，成立；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以，解得；綜上的取值范圍為；（2）因?yàn)椋瑒t，整理可得，當(dāng)時(shí)，原不等式為，解得；當(dāng)時(shí)，方程的兩根為，當(dāng)，即時(shí)，的解為；當(dāng)，即時(shí)，解得或；當(dāng)，即時(shí)，解得或；綜上，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為或；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為或x>1.17.展銷會(huì)上，在消費(fèi)品展區(qū)，某企業(yè)帶來(lái)了一款新型節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品參展，并決定大量投放市場(chǎng).已知該產(chǎn)品年固定研發(fā)成本為80萬(wàn)元，每生產(chǎn)一臺(tái)需另投入60萬(wàn)元.設(shè)該企業(yè)一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品萬(wàn)臺(tái)且全部售完，每萬(wàn)臺(tái)的銷售收入（單位：萬(wàn)元）（1）寫出年利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（單位：萬(wàn)臺(tái)）的函數(shù)解析式；（利潤(rùn)銷售收入成本）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)臺(tái)時(shí)，該企業(yè)獲得的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).解：（1），.（2）當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.綜上所述，當(dāng)時(shí)，的最大值為.18.已知函數(shù)是偶函數(shù).（1）求；（2）判斷在上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；（3）若，，求的取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋矗矗唬?），設(shè)，，因?yàn)椋裕?dāng)，即時(shí)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，即，，在單調(diào)遞增；（3）若，，由（2）可知，不管，還是，函數(shù)都單調(diào)，所以的最大值必在端點(diǎn)處取得，則且，即，且，解得：.19.若函數(shù)與滿足：對(duì)任意的，總存在唯一的，使成立，則稱是在區(qū)間上的“階伴隨函數(shù)”；當(dāng)時(shí)，則稱為區(qū)間上的“階自伴函數(shù)”.（1）判斷是否為區(qū)間上的“2階自伴函數(shù)”？并說(shuō)明理由；（2）若為區(qū)間上的“9階自伴函數(shù)”，求的值；（3）若是在區(qū)間上的“2階伴隨函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）是區(qū)間上的“2階自伴函數(shù)”對(duì)任意的，，則，首先中唯一的，其次時(shí)，，，因此，不一定有，例如取，由，解得，所以不是區(qū)間上的“2階自伴函數(shù)”；（2）由已知，對(duì)任意，，，，所以且，即，解得．（3）方法一：由題意，，，，則，所以，設(shè)，則，于是，，，，所以對(duì)，恒成立，或恒成立，恒成立，則，解得，恒成立，則，解得，綜上，的取值范圍是．方法二：，令，則，則，所以.因?yàn)槭窃趨^(qū)間上的"2階伴隨函數(shù)"，所以對(duì)任意的，總存在唯一的，使得成立，所以，即在上的值域必定包含區(qū)間，且的值域在對(duì)應(yīng)的自變量