高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省名校聯盟2025屆高三下學期5月份聯合考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數z滿足，則（）A.3 B. C.1 D.5【答案】A【解析】由，所以．故選：A．2.已知集合，則的子集個數為（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】根據題意，聯立方程組，可得，所以，解得，即集合，所以集合的子集個數為2個．故選：C．3.已知向量滿足，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，所以，又，所以，則，故．故選:D．4.已知O為坐標原點，雙曲線的右焦點為F，點M在C上，且M在x軸上的射影為F，若，則C的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不妨設M在第一象限，則，則，即，所以．即，所以．則雙曲線C的漸近線方程為，故選：B．5.在正四棱柱中，分別是的中點，則直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解法一：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，可得，則，所以.解法二：設，則，如圖所示，取的中點P，連接，在正方形中，可得，在三角形中，因為是的中點，可得，所以（或其補角）是異面直線與所成角，在直角中，可得，在直角中，可得，在直角中，可得,在中，由余弦定理得．故選:D．6.已知定義在R上的函數滿足為奇函數，且的圖象關于直線對稱，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】由為奇函數，得，所以圖象的對稱中心為，令由的圖象關于直線對稱，得，由得，所以，則的一個周期為4，則則．故選：B.7.甲、乙兩人玩擲骰子游戲，規則如下：每人各擲骰子兩次，以兩次骰子的點數之和作為投擲者的得分，若得分不同，得分多的一方獲勝，若得分相同視為平局，則甲獲勝的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】擲骰子一共4次，基本事件共種情況，其中，得兩分平局兩人拋出的都是；共有1種；得三分平均兩人均有兩種情況，兩人共種，以此類推，甲、乙平局一共有種情況，其余甲、乙獲勝機會均等，各575種情況，所以甲獲勝的概率為．故選：B8.設，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設，則，所以在上單調遞減，又，則，即則，即．設，則在上單調遞增，又．所以，即，所以有，則，即，綜上，．故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知直線與x軸、y軸交于兩點，點P為圓上的動點，則（）A.直線與圓C相離 B.的面積為12C.當最小時， D.點P到直線距離的最大值為【答案】AC【解析】由圓，可得圓心為，半徑為，對于A中，圓心坐標到直線的距離為，所以直線與圓相離，所以A正確；對于B中，由點C到直線的距離為，則的面積，所以B項錯誤；對于C中，如圖所示，當最小時，直線與圓相切，此時，所以C正確；對于D中，由點P到直線距離的最大值為，所以D錯誤．故選：AC.10.已知函數，若，且在上有且僅有三個極值點，則（）A. B.C.的圖象關于直線對稱 D.在上單調遞增【答案】BC【解析】因為函數，由，得或，所以或，設，則又由有且僅有三個極值點，則，可得，所以，所以A項錯誤，B項正確；由函數的對稱軸方程為，當時，可得是函數的一條對稱軸，所以C項正確；令，解得，當時，可得，所以是函數一個增區間，所以D項錯誤．故選：BC．11.已知，則下列結論正確的是（）A.若，則B.若，則的最大值為C.若，則的最小值為1D.若，則的最大值為【答案】BCD【解析】由題意得，A項錯誤；，所以（當且僅當時取等號），B項正確；，當且僅當時取等號，C項正確；，又因，所以，設，則，當且僅當，即時取等號，所以的最大值為，D項正確．故選:BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知具有線性相關的變量，設其樣本點為，經驗回歸方程為，若，則_______．【答案】9【解析】由，可得，所以回歸直線過樣本中心點為，將其代入，可得.故答案為：.13.在中，內角所對的邊分別為，且，則面積的最大值為_______．【答案】【解析】由利用正弦定理得，因為，所以，所以，的面積，所以，當且僅當時等號成立，．故答案為：．14.在平面直角坐標系中，設點（其中表示中較大的數）為兩點的“切比雪夫距離”．若為函數上的動點，則兩點的“切比雪夫距離”的最小值為_______．【答案】【解析】，在同一平面直角坐標系畫出函數，的圖象，如圖所示：令，則，當時，，當時，，當時，，所以的最小值為．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數列的前n項積為，且．（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前n項和．解：（1）當時，當時，成立，綜上可得．（2）解法一：，，，，．解法二：，設，所以即，所以，所以的前n項和．16.如圖，在四棱臺中，底面為正方形，為的中點，．（1）求證：；（2）在棱上是否存在一點，使得直線與平面所成角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．（1）證明：連接，因為，所以．因為是的中點，所以，因為，平面，所以平面，所以，因為，所以．（2）解：因為，所以，所以，又由（1）知，且平面，所以平面，因為為四棱臺，底面為正方形，四棱臺的上下底面對應邊平行且比例相同，所以四邊形為正方形，上下面平行所以平面，.因為點是的中點，，所以.所以且，所以四邊形為平行四邊形所以.又平面，所以平面．以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設，則，．設平面的法向量為，則令．設直線與平面所成角為，則，化簡得，即，所以．17.某農業興趣小組為比較長效肥和緩釋肥這兩種肥料作用，進行了一個季度的對比試驗，長效肥、緩釋肥、未施肥三種處理下的同一種植物分別對應第組．分別從第組各隨機抽取20株并測出株高，得到的60個樣本數據分組整理如下表所示：株高（單位：厘米）第1組（長效肥）21062第2組（緩釋肥）3881第3組（未施肥）8561（1）從第一組20株植物中隨機抽取2株，求至少有一株株高在內的概率；（2）為了進一步研究，從這三組植物中各隨機抽取1株，記這3株植物中恰有X株的株高在內，求X的分布列和數學期望（假設植物的生長情況相互獨立，用頻率估計概率）；（3）已知這三組植物的平均株高分別為，株高的方差分別為，求樣本的平均數和方差．解：（1）設事件“從第一組20株植物中隨機抽取2株，至少有一株株高在”，則．（2）X的可能取值為，則，，，，的分布列為0123．（3）樣本平均數為，所以樣本的方差為，又，類似的，，成立，所以.所以樣本的平均數為9.3，方差為6.83.18.已知函數．（1）當時，求的零點；（2）若恒成立，求實數k的取值范圍；（3）證明：．（1）解：的定義域為，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，，則的零點為1．（2）解：恒成立，即．設，則，當時，，所以在上單調遞減，當時，所以上單調遞增，所以，即．則實數的取值范圍為（3）證明：由（2）可知，當時，有成立，當且僅當時等號成立，取，則，所以，即．由，即，當且僅當時等號成立，取，得，所以，即．綜上，19.已知橢圓分別為橢圓的右頂點和上頂點，過橢圓上的一點M（異于點）且斜率為2的直線與直線交于點，直線與橢圓的另一個交點為N．（1）求橢圓的方程；（2）若M在第一象限，求四邊形面積的最大值；（3）證明：直線經過定點．（1）求解：由已知可得，所以橢圓的方程為．（2）解法一：因為，，所以，即，因為，即關于直線對稱，所以四邊形的面積，即，且為M到直線的距離，因為，所以的最大值即為點M到直線的距離的最大值．直線的方程為，設，則M到直線的距離為，，因為，所以，所以，所以當時，．解法二：因為，所以，即，因為，即關于直線對稱，所以四邊形的面積，即，且為M到直線的距離，因為，所以的最大值即為點M到直線的距離的最大值．直線的方程為，若點M到直線的距離最大，即過點M作橢圓C的切線與直線平行時距離最大，設該切線方程為，聯立，，因為點M在第一象限內，所以（正值舍去），所以點M到直線的距離的最大值為，，當時，．（3）證明：解法一：設直線的方程為，點關于直線對稱，則又，且，所以，，即．聯立，所以所以，化簡得，即，則或．若，則點M與點A重合，不符合題意（舍）；若，則直線過定點．解法二：因為且，不妨取點M在第一象限，所以為的平分線，所以，設直線的斜率分別為，因為，所以，即，所以，即．經檢驗，點M在第二、三、四象限或，上式也成立．聯立整理得，因為且，所以，所以，同理可得，由已知可得直線斜率存在，設直線的方程為，因為在直線上，所以，所以，同理可得，所以是關