PAGE1猜押05廣東廣州卷中考數學21-23題（解答題）猜押考點1年廣州真題考情分析押題依據難度統計和概率2024年廣東廣州卷第21題2022年考統計圖，2023年考統計量計算，2024年考概率應用，2025年可能考查樣本估計總體或概率樹狀圖。統計與概率題注重實際應用，2024年第21題以人工智能為背景，強調數據分析中三角函數的實際應用2024年廣東廣州卷第22題2024年第22題涉及仰俯角解直角三角形2025年模擬卷第18題可能結合“建筑物高度測量”中一次函數與反比例函數2024年廣東廣州卷第23題2022年考一次函數，2023年考反比例函數，2024年考函數綜合，2025年可能考查函數與幾何的結合。函數應用題注重實際情境，2024年第23題以身高與腳長關系建模，強調數學應用中題型一統計和概率1．（2025·廣東廣州·一模）一袋中裝有形狀大小都相同的四個小球，每個小球上各標有一個數字，分別是，，，，現規定從袋中任意取一個小球，對應的數字作為一個兩位數的個位數，然后將小球放回袋中并攪拌均勻，再任意取一個小球，對應的數字作為這個兩位數的十位數．(1)用列表法或樹狀圖列出所有可能的兩位數；(2)從這些兩位數中任取一個，求其算術平方根大于且小于的概率．【答案】(1)有種等可能的結果，表格見解析；(2)算術平方根大于且小于的概率是．【知識點】根據概率公式計算概率、列表法或樹狀圖法求概率【分析】（1）根據題意列表即可；（2）有表殼可得出所有等可能的結果數以及其算術平方根大于5且小于8的結果數，再利用概率公式可得出答案．【詳解】（1）解：列表如下：共有種等可能的結果，結果如上表；（2）解：由（1）知共有種等可能的結果，其算術平方根大于且小于的結果有：，，，，，，，，共種，其算術平方根大于且小于的概率為．【點睛】本題考查的知識點是列表法或樹狀圖法求概率、根據概率公式計算概率，解題關鍵是熟練掌握列表法或樹狀圖法求概率．2．（2025·廣東廣州·一模）為進一步加強學生體質，某中學推行“陽光體育活動”計劃，要求學生在課后自主完成體育鍛煉并記錄，經過一段時間后，學校隨機抽查了該校30名學生某一天課后體育鍛煉時間（單位：分鐘），如圖是根據抽查結果繪制的統計圖的一部分：根據以上信息解決以下問題：(1)這一天課后體育鍛煉時間為60分鐘的人數為__________人，請補全條形統計圖；(2)這一天課后體育鍛煉時間的眾數是__________；(3)若該校共有600名學生，請估計該校這一天體育鍛煉時間不少于60分鐘的學生人數．【答案】(1)7，條形圖見解析(2)55(3)180人【知識點】由樣本所占百分比估計總體的數量、求條形統計圖的相關數據、畫條形統計圖、求眾數【分析】本題考查條形統計圖，眾數，樣本估計總體．（1）將抽出學生的人數減去其他各時間的人數，即可解答；（2）根據眾數的定義求解即可；（3）將全校學生人數乘以樣本中體育鍛煉時間不少于60分鐘的學生的比例，即可求解．【詳解】（1）解：體育鍛煉時間為60分鐘的人數為（人）；補全條形統計圖為故答案為：7（2）解：由條形圖可知，體育鍛煉時間55分鐘的人數最多，故眾數為55．故答案為：55（3）解：（人）答：估計該校這一天體育鍛煉時間不少于60分鐘的學生由180人．3．（2025·廣東廣州·一模）為響應“非遺進校園”活動，某校開設了四類非遺文化社團：粵劇，粵繡，英歌舞，醒獅，每位同學只能選擇其中一個社團參加．學校隨機調查了部分參與社團的學生的情況，根據調查結果繪制了不完整的統計圖（如圖）：

(1)本次共調查了________名學生，其中參與社團的人數是________人；(2)學校計劃從，，，四個社團中任選兩個社團進行成果展示，請用列表或畫樹狀圖的方法，求同時選中和兩個社團的概率．【答案】(1)50；5(2)【知識點】條形統計圖和扇形統計圖信息關聯、列表法或樹狀圖法求概率【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、條形統計圖、扇形統計圖、概率公式，能夠讀懂統計圖，掌握列表法與樹狀圖法、概率公式是解答本題的關鍵．（1）用條形統計圖中的人數除以扇形統計圖中的百分比可得本次調查的學生人數，用本次調查的學生人數分別減去，，社團的人數可得社團的人數．（2）列表可得出所有等可能的結果數以及同時選中和兩個社團的結果數，再利用概率公式可得出答案．【詳解】（1）解：本次共調查了（名學生，參與社團的人數是（人．故答案為：50；5．（2）列表如下：共有12種等可能的結果，其中同時選中和兩個社團的結果有：，，共2種，同時選中和兩個社團的概率為．4．（2025·廣東中山·一模）校園安全受到全社會的廣泛關注，某中學對部分學生就校園安全知識的了解程度，采用隨機抽樣調查的方式，繪制了如圖兩幅尚不完整的統計圖，請你根據統計圖中所提供的信息解答下列問題．(1)接受問卷調查的學生共有_____人；(2)若該中學共有學生600人，請根據上述調查結果，估計該中學學生中對校園安全知識達到“了解”和“基本了解”程度的總人數為______人；(3)若從對校園安全知識達到“了解”程度的3個女生A，B，C和2個男生M，N中分別隨機抽取1人參加校園安全知識競賽，用樹狀圖或列表法求出恰好抽到女生A的概率．【答案】(1)60；(2)200；(3)樹狀圖見解析，恰好抽到女生A的概率為．【知識點】由樣本所占百分比估計總體的數量、條形統計圖和扇形統計圖信息關聯、列表法或樹狀圖法求概率【分析】此題考查了樹狀圖法與列表法以及條形統計圖和扇形統計圖．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．（1）由“了解很少”的人除以所占百分比即可；（2）求得調查結果中“了解”的人數，利用樣本估計總體的方法，即可求得答案；（3）畫出樹狀圖，共有6種等可能的結果，恰好抽到女生A的結果有2種，再由概率公式即可得出結果．【詳解】（1）解：∵“了解很少”的有人，占，∴接受問卷調查的學生共有：（人），故答案為：60；（2）解：調查結果中“了解”的人數為：（人）；估計該中學學生中對校園安全知識達到“了解”和“基本了解”程度的總人數為（人），故答案為：200；（3）解：畫樹狀圖如圖：共有6種等可能的結果，恰好抽到女生A的結果有2種，∴恰好抽到女生A的概率為．5．（2025·廣東廣州·一模）為了解學生對“應用意識”在數學學習中的重視程度，老師組織興趣小組對班級學生進行了問卷調查．學生結合自己的實際情況選擇一類（A：非常重要；B：重要；C：一般；D：不重要；E：無所謂），并根據收集到的數據，繪制了兩幅不完整的統計圖（如圖所示）．請根據圖中信息，回答下列問題：(1)_______；D類所在扇形圓心角的度數為___；(2)學完概率知識后，小明嘗試用紙板設計了一款游戲，小球從入口處掉落后每碰到卡口，可能向左彈跳，也可能向右彈跳，且兩種可能性均相同，小球經過3次彈跳后最終落入標號為的6個卡槽．圖為小球某次掉落情況：小球第1次向左彈跳，第2次向右彈跳，第3次向右彈跳，即“左→右→右”，最后落入卡槽4，請用樹狀圖法求出小球掉落到5號卡槽的概率．【答案】(1)，(2)【知識點】條形統計圖和扇形統計圖信息關聯、列表法或樹狀圖法求概率【分析】本題考查列表法與樹狀圖法求概率、條形統計圖、扇形統計圖，能夠讀懂統計圖，掌握列表法與樹狀圖法、概率公式是解答本題的關鍵．（1）用條形統計圖中B的人數除以扇形統計圖中B的百分比可得調查的人數，用調查的人數乘以扇形統計圖中A的百分比可得m的值，用乘以D的人數所占的百分比，即可得出答案．（2）畫樹狀圖可得出所有等可能的結果數以及小球掉落到5號卡槽的結果數，再利用概率公式可得出答案【詳解】（1）解：由題意得，調查的人數為(人)，，，類所在扇形圓心角的度數為．故答案為：18，．（2）畫樹狀圖如下：共有8種等可能的結果，其中小球掉落到號卡槽的結果有種，小球掉落到號卡槽的概率為．6．（2025·廣東茂名·一模）某校為加強書法教學，了解學生現有的書寫能力，隨機抽取了部分學生進行測試，測試結果分為優秀、良好、及格、不及格四個等級，分別用A，B，C，D表示，并將測試結果繪制成兩幅不完整的統計圖．請根據統計圖中的信息解答以下問題；(1)本次抽取的學生共有人，扇形統計圖中A所對應扇形的圓心角是，并把條形統計圖補充完整；(2)依次將優秀、良好、及格、不及格記為90分、80分、70分、50分，則抽取的這部分學生書寫成績的中位數是分，平均數是分；(3)若該校共有學生2800人，請估計一下，書寫能力等級達到優秀的學生大約有人；(4)A等級的4名學生中有3名女生和1名男生，現在需要從這4人中隨機抽取2人參加電視臺舉辦的“中學生書法比賽”，請用列表或畫樹狀圖的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．【答案】(1)40，，見解析(2)70，66.5(3)280(4)【知識點】由樣本所占百分比估計總體的數量、畫條形統計圖、求扇形統計圖的圓心角、列表法或樹狀圖法求概率【分析】本題考查了扇形圖與條形統計圖的結合、求圓心角，樣本估計總體，畫樹狀圖求概率，求中位數、平均數，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）先運用等級的人數除以占比得出總人數，然后算出A的占比，再與相乘得出其的圓心角，再運算出B等級的人數，最后補全條形圖，即可作答．（2）結合中位數的定義進行作答，再結合平均數的公式列式計算，即可作答．（3）運用樣本估計總體的公式進行列式計算即可作答．（4）先畫樹狀圖，再得出共有12種等可能情況，滿足條件的結果是6種等可能情況，運用概率公式列式計算，即可作答．【詳解】（1）解：依題意，（人），則，則（人），補全條形圖如下：故答案為：40，，（2）解：∵本次調查的總人數為，故中位數為排在第名的平均數，結合（2）的條形圖，，得出第名的書寫能力等級在等級，即這部分學生書寫成績的中位數是70分，依題意，（分）故答案為：70，66.5；（3）解：依題意，（人）．故答案為：280；（4）解：畫樹狀圖為：則共有12種等可能情況，其中被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的有6種情況，∴被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率為．7．（2025·廣東江門·一模）感知數學魅力，探索數學未來，某校為籌備數學文化節活動，計劃開設A魔方、B數學華容道、C益智鎖扣、D迷疊杯，共四類活動項目．為了解學生報名情況，現隨機抽取了九年級部分學生進行調查，并根據統計結果繪制了如下兩幅不完整的統計圖．(1)補全條形統計圖；(2)在扇形統計圖中，m的值為__________；(3)學生小何和小林各自從以上四類活動項目中任選一類參加活動，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求他們選擇相同項目的概率．【答案】(1)圖見解析(2)40(3)【知識點】條形統計圖和扇形統計圖信息關聯、列表法或樹狀圖法求概率【分析】本題考查條形圖和扇形圖的綜合應用，列表法求概率，從統計圖中有效的獲取信息，是解題的關鍵：（1）利用項目的人數除以所占的比例求出總人數，進而求出類人數，補全條形圖即可；（2）用項目的人數除以總人數，求出的值即可；（3）列出表格，利用概率公式進行計算即可．【詳解】（1）解：（人），（人）；補全條形圖如圖：（2）；∴；故答案為：40；（3）由題意，列表如下：，，，，，，，，，，，，，，，，共16種等可能得結果，其中他們選擇相同項目的情況有4種，∴．8．（2025·廣東深圳·一模）百度推出了“文心一言”AI聊天機器人（以下簡稱甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天機器人（以下簡稱乙款）．有關人員開展了對甲，乙兩款聊天機器人的使用滿意度評分測驗，并分別隨機抽取20份評分數據，對數據進行整理、描述和分析（評分分數用x表示，分為四個等級：A：，B：，C：，D：），下面給出了部分信息：甲款評分數據中“滿意”的數據：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．乙款評分數據中C組包含的所有數據：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款評分統計表：設備平均數中位數眾數甲8685.5b乙86a87根據以上信息，解答下列問題：(1)上述圖表中______，______，______．(2)在此次測驗中，有280人對甲款進行評分、300人對乙款進行評分．請通過計算，估計其中對甲、乙兩款聊天機器人非常滿意的用戶總人數．(3)DeepSeek（簡稱丙款）推出后引發廣泛討論．現有甲、乙、丙三款聊天機器人，小明和小紅各自隨機選擇其中一款進行體驗測評．請用列表法或樹狀圖法，求兩人都選擇同款聊天機器人的概率．【答案】(1)，，(2)(3)【知識點】由樣本所占百分比估計總體的數量、求中位數、求眾數、列表法或樹狀圖法求概率【分析】本題考查了扇形統計圖、中位數、眾數以及樣本估計總體等知識，正確理解中位數、眾數的意義，熟練掌握中位數、眾數的計算方法是解題的關鍵；（1）根據中位數的定義可得的值，根據眾數的定義可得的值，用1分別減去其他三個等級所占百分比可得的值；（2）由A、B兩款的非常滿意的人數之和即可得出答案；（3）用列表法或樹狀圖法求解即可．【詳解】（1）解：根據乙款扇形統計圖可得，A組B組共有人，第十個和第十一個評分分別為86、87，所以中位數．根據眾數的定義可得，，．（2）解：甲款評分數據中“非常滿意”的人數占比，對甲、乙兩款聊天機器人非常滿意的用戶總人數．（3）解：列表如下：小紅小明甲乙丙甲甲、甲甲、乙甲、丙乙乙、甲乙、乙乙、丙丙丙、甲丙、乙丙、丙兩人都選擇同款聊天機器人的概率．9．（2025·廣東深圳·二模）2025年全國兩會期間，“體重管理”被納入國家健康戰略．國家衛生健康委員會宣布持續推進為期三年的“體重管理年”行動．為了幫助學生更好地管理體重，深圳某初中學校開展了一項體重管理計劃，隨機抽取了100名學生進行體重指數（）調查．的計算公式為：，根據世界衛生組織的標準，分類如下：范圍分類體重過輕體重正常超重肥胖調查結果如表所示：分類人數體重過輕10體重正常50超重30肥胖10(1)小明身高為，指數為20，則小明的體重為______；(2)以下是部分統計圖表，請根據表格數據補齊空缺部分．(3)根據以上圖表，請你給出一條合理的建議．(4)學校計劃從體重正常的2個男生和2個女生中，抽取2名學生介紹體重管理經驗，求抽取出來的學生恰好是一男一女的概率．【答案】(1)51.2(2)見解析(3)建議中學生加強體育鍛煉，控制體重(4)【知識點】由扇形統計圖求某項的百分比、頻數分布直方圖、列表法或樹狀圖法求概率【分析】本題主要考查了扇形統計圖，頻數分布直方圖，樹狀圖法或列表法求解概率，正確讀懂統計圖是解題的關鍵．（1）根據計算公式求解即可；（2）先求出超重的人數占比，再補全統計圖即可；（3）從控制體重的方面闡述即可；（4）先列表得到所有等可能性的結果數，再找到抽取出來的學生恰好是一男一女的結果數，最后根據概率計算公式求解即可．【詳解】（1）解：，∴小明的體重為；（2）解：超重的人數占比為，補全統計圖如下：（3）解：建議中學生加強體育鍛煉，控制體重；（4）列表：男1男2女1女2男1——（男1，男2）（男1，女1）（男1，女2）男2（男2，男1）——（男2，女1）（男2，女2）女1（女1，男1）（女1，男2）——（女1，女2）女2（女2，男1）（女2，男2）（女2，女1）——有表格可知，共有12種等可能情況，其中恰好為一男一女的有8種；∴（抽取出來的學生恰好是一男一女）．10．（2025·廣東深圳·一模）在實驗教育集團“學習總理精神，擔當時代責任”主題演講比賽中，A、B兩所學校各有10名學生進入決賽，現對他們的成績（滿分100分）進行整理分析，得到如圖表信息：平均數眾數中位數A學校85.580nB學校85.5m86根據以上信息，回答下列問題：(1)填空：________，________；(2)A、B兩所學校決賽成績的方差分別記為、，請判斷_______（填“”“”或“”）；(3)本次比賽的前4名分別來自A、B兩所學校，該區決定從這4位學生（A校3位，B校1位）中隨機選取2位學生參加市級競賽，求選中的兩位學生恰好在同一學校的概率．【答案】(1)85；87(2)(3)【知識點】求中位數、求眾數、求方差、列表法或樹狀圖法求概率【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、中位數、眾數、方差，熟練掌握列表法與樹狀圖法、中位數、眾數、方差的定義是解答本題的關鍵．（1）根據眾數和中位數的定義可得答案．（2）根據方差的定義可得答案．（3）列表可得出所有等可能的結果數以及選中的兩位學生恰好在同一學校的結果數，再利用概率公式可得出答案．【詳解】（1）解：（1）由折線統計圖可得，，將學校的10名學生的成績按照從小到大的順序排列，排在第5名和第6名的成績為86分，88分，．故答案為：85；87．（2）由折線統計圖可知，校學生成績的波動幅度明顯大于校學生成績的波動幅度，故答案為：．（3）將A校3位學生分別記為甲，乙，丙，將B校1位學生記為丁，列表如下：甲乙丙丁甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）丁（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）共有12種等可能的結果，其中選中的兩位學生恰好在同一學校的結果有：（甲，乙），（甲，丙），（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙），共6種，選中的兩位學生恰好在同一學校的概率為．故答案為：．題型二三角函數的實際應用11．（2025·廣東廣州·一模）如圖1所示是一種簡易手機支架，由底座、支撐板和托架組成，將手機放置在托架上，圖2是其簡易結構圖．現測量托架長長，支撐板長，可繞點轉動，可繞點轉動．(1)若水平視線與的夾角，，求的度數；(2)當，時，求點到底座的距離．（結果精確到0.1，參考：）【答案】(1)(2)【知識點】根據平行線的性質求角的度數、利用平行線間距離解決問題、含30度角的直角三角形、其他問題（解直角三角形的應用）【分析】本題考查了解直角三角形的應用，矩形的判定與性質，平行線的性質，三角形內角和定理等知識．解題的關鍵在于確定線段之間的數量關系．（1）過作，根據平行線的性質可求得，即可求的度數；（2）過點作，過點作于，交于，作于，由，求得，由，求得，在中．根據進而可求．【詳解】（1）解：過作，，，，，，；（2）解：過點作，過點作于，交于，作于，，，在中，，，，，，，，在中．，，．答：點到底座的距離為．12．（2025·廣東廣州·一模）如圖1所示是廣東醒獅，它是國家級非物質文化遺產之一，其中高樁醒獅更是由現代藝術演出轉變而來的體育競技．如圖2，三根梅花樁AM，BP，CN垂直于地面放置，醒獅少年從點A跳躍到點B，隨后縱身躍至點C，已知．（參考數據：，，，）(1)直接寫出的度數；(2)求醒獅少年從點B縱身躍至點C的路徑的長度；（結果保留一位小數）(3)醒獅少年在某次演出時需要從點A直接騰躍至點C進行“采青”，求線段的長度．【答案】(1)(2)(3)【知識點】根據平行線的性質求角的度數、用勾股定理解三角形、根據矩形的性質與判定求線段長、其他問題（解直角三角形的應用）【分析】本題主要考查平行線的性質，解直角三角形，勾股定理，（1）延長至H，根據平行線的性質得，即可求解．（2）過點B作于點Q，連接，根據題意得到四邊形是矩形，得出，得到，再根據解直角三角形計算即可；（3）過點B作直線，分別交于點E，F，過點A作直線，交于點D，連接，根據題意得到四邊形，四邊形，四邊形，四邊形均是矩形，根據矩形的性質得到，再利用解直角三角形得到，最后用勾股定理計算即可．【詳解】（1）解：如圖：延長至H，

由題意可得：，∴，∴，故答案為：；（2）解：如圖，過點B作于點Q，連接．依題意，，四邊形是矩形，即（3）解：如圖，過點B作直線，分別交于點E，F，過點A作直線，交于點D，連接．由題意得，∴四邊形，四邊形，四邊形，四邊形均是矩形，，．，，，，，，在中，，．即“采青”路徑AC的長度約為．13．（2025·江西·模擬預測）踢正步是解放軍戰士的一門必修課．圖1是一名解放軍戰士踢正步的場景，圖2是它的示意圖，已知，這名解放軍戰士的身高為，他到軍帽的長為長的，為他的右臂（不含手掌），、分別為他的左腿和右腿，．（參考數據：，，結果保留到）(1)若點到的垂直距離為，，求他的腿的長度；(2)若（1）中條件不變，手臂的長度為，點到點的豎直距離為，，求軍帽的長度．【答案】(1)解放軍戰士的腿的長度為約為(2)【知識點】其他問題（解直角三角形的應用）【分析】本題考查了解直角三角形的應用；（1）如圖，過點作于點，根據，即可求解；（2）如圖，過點作于點，先求得，進而求得，根據軍帽的長為長的，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，過點作于點，，解放軍戰士的腿的長度為.（2）解：如圖，過點作于點，，，，又，，．14．（2024·廣東廣州·三模）廣州市民昵稱“小蠻腰”的廣州塔，是目前中國最高的塔，它主要由塔身主體與天線桅桿兩部分組成廣州某中學數學興趣小組幾位同學，在五一假期，利用測角儀測量“小蠻腰”的“身高”，他們在離塔底水平距離450米的地點，測得塔身主體的頂端C的仰角為，天線桅桿的頂端的仰角為．

(1)根據題意，畫出幾何示意圖（塔身及天線與地面垂直）(2)求天線桅桿的高度．（參考數據：）【答案】(1)見詳解(2)150米【知識點】仰角俯角問題(解直角三角形的應用)【分析】本題主要考查了解直角三角形的應用，正確理解題意是解題關鍵．（1）根據題意，畫出幾何示意圖即可；（2）利用三角函數，分別解得、的值，然后根據求解即可．【詳解】（1）解：根據題意，畫出幾何示意圖如下；

（2）根據題意，米，，，∴米，米，∴米．答：天線桅桿的高度為150米．15．（2024·廣東佛山·二模）綜合與實踐素材一：某款遮陽棚（圖1），圖2、圖3是它的側面示意圖，點為墻壁上的固定點，搖臂繞點旋轉過程中長度保持不變，遮陽棚可自由伸縮，棚面始終保持平整．米．

素材二：該地區某天不同時刻太陽光線與地面的夾角的正切值：時刻（時）12131415角的正切值52.51.251【問題解決】(1)如圖2，當時，這天12時在點位置擺放的綠蘿剛好不被陽光照射到，求綠蘿擺放位置與墻壁的距離；(2)如圖3，旋轉搖臂，使得點離墻壁距離為1.2米，為使綠蘿在這天12時時都不被陽光照射到，則綠蘿擺放位置與墻壁的最遠距離是多少？【答案】(1)(2)【知識點】根據矩形的性質與判定求線段長、其他問題（解直角三角形的應用）【分析】本題考查了矩形的判定與性質、解直角三角形的應用，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．（1）過作于，則四邊形是正方形，得出，解直角三角形得出，再由計算即可得解；（2）過作于，過作于，則四邊形為矩形，得出，求出，解直角三角形得出，再由計算即可得解．【詳解】（1）解：如圖1，過作于，

，則，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，在中，，即，，，答：綠蘿擺放位置與墻壁的距離為．（2）解：過作于，過作于，

，則，四邊形為矩形，，，，由表格可知，在12時時，角的正切值逐漸減小，即逐漸較小，當14時，點最靠近墻角，此時DE的長度就是綠蘿擺放位置與墻壁的最大距離，在中，，即，，，答：綠蘿擺放位置與墻壁的最大距離為．16．（2024·廣東韶關·二模）【操作探究】在數學綜合與實踐活動課上，老師組織同學們開展以“測量小樹的高度”為主題的探究活動．【學生】查閱學校資料得知樹前的教學樓高度為12米，如圖1，某一時刻測得小樹、教學樓在同一時刻陽光下的投影長分別是米，米．（1）請根據同學的數據求小樹的高度；【學生】借助皮尺和測角儀，如圖2，已知測角儀離地面的高度米，在處測得小樹頂部的仰角，測角儀到樹的水平距離米．（2）請根據同學的數據求小樹的高度（結果保留整數，，）．【答案】（1）大樹高是4米；（2）米【知識點】相似三角形實際應用、仰角俯角問題(解直角三角形的應用)【分析】此題考查了相似三角形的性質和解直角三角形應用，解此題的關鍵是利用相似三角形的性質，相似三角形的對應邊成比例求解，解題時還要注意認識圖形．（1）根據題意可得，根據相似三角形的性質即可求解；（2）在中，根據解直角三角形即可求解；【詳解】（1）解：根據題意可知，，，，

，即大樹高是4米．（2）如圖，在中，∵，∴米．17．（2025·廣東清遠·二模）某學校因增設了籃球場，現購進一些籃球架．如圖是某款籃球架，圖是其示意圖，已知立柱垂直地面，支架與交于點，支架交于點，支架平行地面，籃筐與支架在同一直線上，，，．

(1)求的度數．(2)某運動員準備給籃筐掛上籃網，如果他站在凳子上，最高可以把籃網掛到離地面處，那么他能掛上籃網嗎？請通過計算說明理由．（參考數據：）【答案】(1)；(2)該運動員能掛上籃網，理由見解析．【知識點】兩直線平行內錯角相等、直角三角形的兩個銳角互余、其他問題（解直角三角形的應用）【分析】本題主要考查了直角三角形的性質、平行線的性質、銳角三角函數，解決本題的關鍵是作輔助線構造直角三角形，利用直角三角形的性質求出的長度，再根據的長度判斷能否掛上籃網．根據可知，根據直角三角形兩銳角互余可得；延長交于點，根據對頂角相等可知，利用銳角三角函數可求出，從而可得，所以該運動員能掛上籃網．【詳解】（1）解：，，，；（2）解：該運動員能掛上籃網，理由如下：如圖，延長交于點，，，，又，在中，，，該運動員能掛上籃網．18．（2025·廣東韶關·一模）太陽能熱水器作為一種高效利用太陽能的設備，是綠色能源的重要組成部分．它通過將太陽能轉化為熱能，減少了對傳統化石燃料的依賴，從而降低了碳排放，對環境保護具有重要意義．1圖是太陽能熱水器安裝示意圖，2圖是安裝熱水器的側面示意圖．已知屋面的傾斜角為，長為的真空管與水平線的夾角為，安裝熱水器的鐵架豎直管的長度為．(1)求真空管上端到水平線的距離；(2)求安裝熱水器的鐵架水平橫管的長度．（參考數據：，，，，，，結果精確到0.1m）【答案】(1)真空管上端到水平線的距離約為米(2)安裝熱水器的鐵架水平橫管的長度約為米【知識點】其他問題（解直角三角形的應用）【分析】本題考查解直角三角形的應用，（1）過作于，根據正弦的定義計算，得到答案；（2）根據余弦的定義求出，再根據正切的定義求出，計算即可；熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．【詳解】（1）解：過作于，根據題意，得：，，在中，，∴（米）．答：真空管上端到水平線的距離約為米；（2）解：在中，，∵，，，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，在中，，∴，∴（米）．答：安裝熱水器的鐵架水平橫管的長度約為米．19．（2025·廣東·二模）廣州地鐵經過多年的發展，地鐵出入口更加人性化和便民化．如圖1是某地鐵出入口，有步梯和電梯兩種由地下層通往地面層的出入方式．其截面如圖2所示，是由地下直通地面的電梯，，，，，是步梯，，，的傾角相同，，與地面平行．已知電梯全長30米，傾角為，米．(1)求地面層與地下層的垂直高度；(2)求步梯的傾角的正切值和步梯通道的全長．參考數據：，，．【答案】(1)18米(2)1，米【知識點】根據平行線判定與性質證明、利用平行四邊形的判定與性質求解、其他問題（解直角三角形的應用）【分析】（1）根據，代入解答即可；（2）延長交于點M，延長交于點N，利用平行四邊形的判定和性質，解直角三角形，解答即可．【詳解】（1）解：根據題意，得（米），答：地面層與地下層的垂直高度約為18米．（2）解：延長交于點M，延長交于點N，∵，，的傾角相同，，與地面平行．∴，∴，∵，∴四邊形，四邊形都是平行四邊形，∴，∵電梯全長30米，傾角為，米．∴（米），（米），（米），∴（米），∴，∴，∴，∴（米），∴步梯通道的全長為（米）．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質，解直角三角形，特殊角的三角函數值，傾角相同的意義，熟練掌握判定和性質，解直角三角形是解題的關鍵．20．（2025·廣東云浮·一模）綜合與實踐主題：日月貝的設計與數學思考【文化背景】坐落于珠海市香洲區的日月貝，不僅是一座具有藝術價值的建筑，也是來珠海市旅游的必去之地，為游客提供了豐富的體驗和享受．日月貝的設計靈感源自名畫《維納斯的誕生》，由一大一小兩組“貝殼”的形體組成，白天呈現半通透效果，夜晚則像貝殼一樣閃閃發光．【素材一】如圖和圖所示，日貝和月貝外形都可近似處理成與地面相交的圓弧．已知月貝高為米，日貝高為米，和分別是兩貝的直徑，兩圓心到地面的距離均約為各自半徑的．【問題一】（1）求和的長度（結果取整數）．【素材二】如圖，為了體現錯落的藝術感，日貝和月貝各自斜向形成一定的夾角．小隊成員在進行地面勘測時，發現了其中隱藏的幾何模型．將其轉化為以下數學問題．【問題二】（2）如圖，在等腰直角中，，．在（1）的條件下，計算的長度（結果取整數）．（參考數據，，，，）【答案】（1）米，米；（2）米【知識點】用勾股定理解三角形、利用垂徑定理求解其他問題、其他問題（解直角三角形的應用）【分析】過點作，垂足為點，連接，設月貝半徑為，根據月貝的高度是米，可得：，解方程求出月貝的半徑，根據勾股定理可求米，設日貝的半徑是米，根據日貝的高度是米，可得：，可求米，利用勾股定理可求米；設，根據等腰直角三角形斜邊與直角邊之間的關系可得：，解方程求出米，過點作，利用銳角三角函數可得：，從而可求米，根據垂徑定理可知米．【詳解】解：如下圖所示，過點作，垂足為點，連接，設月貝半徑為，月貝高米，且，，解得：米，在中米，米，設日貝的半徑是米，日貝的高度是米，，解得：米，米，答：的長度為米，

的長度為米；解：設，在等腰中，米，米，，解得：米，過點作，，，解得：米，米，答：的長度為米．

【點睛】本題主要考查了勾股定理、垂徑定理、等腰直角三角形的性質、三角函數的應用，解決本題的關鍵是作輔助線構造直角三角形，解直角三角形求線段的長度．題型三一次函數與反比例函數21．（2025·廣東廣州·一模）如圖，直線與反比例函數的圖象交于點，與軸交于點．(1)求的值和反比例函數的解析式；(2)點是直線上的一點，過點作平行于軸的直線交反比例函數的圖象于點，連接，，求的面積．【答案】(1)1；(2)4或14【知識點】反比例函數與幾何綜合、求反比例函數解析式、相似三角形的判定與性質綜合、一次函數與反比例函數的交點問題【分析】本題考查一次函數與反比例函數交點問題，反比例函數與幾何綜合，三角形相似的判定與性質：（1）先求出m的值，利用待定系數法即可求解；（2）過點作軸于點，過點作軸于點，證明，分點在線段上，點在線段的延長線上，兩種情況討論即可．【詳解】（1）解：∵直線經過點∴∴∴∵反比例函數經過∴∴反比例函數的解析式為；（2）解：過點作軸于點，過點作軸于點，令，解得：，∴，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，即，①點在線段上，∵，∴，∴，∵，∴，∴與重合，如圖，∴點N在軸上，即點N為與軸交點重合，將代入，則，∴，在反比例函數中，當時，，∴，∴，②點在線段的延長線上，同理得：，，∴，在反比例函數中，當時，，∴，，綜上所述，或14．22．（2025·廣東廣州·一模）某款三明治機制作三明治的工作原理如下：①預熱階段：開機1分鐘空燒預熱至，機器溫度與時間成一次函數關系；②操作階段：操作3分鐘后機器溫度均衡升至最高溫度后保持恒溫狀態；③斷電階段：操作完成后進行斷電降溫，機器溫度與時間成反比例關系．如下圖所示為某次制作三明治時機器溫度與時間的函數圖象，請結合圖象回答下列問題：(1)預熱階段機器溫度上升的平均速度是_________，開機3分鐘時，溫度為____；(2)當時，求機器溫度與時間的函數關系式；(3)求三明治機工作溫度在以上持續時間．【答案】(1)60、140(2)(3)12分鐘【知識點】其他問題(一次函數的實際應用)、實際問題與反比例函數【分析】本題考查一次函數與反比例函數的實際應用，從圖象獲取信息，正確的求出函數解析式是解題的關鍵：（1）根據圖象，列出算式進行計算即可；（2）分和兩種情況，待定系數法求出解析式即可；（3）求出反比例函數的解析式，將為，依次代入及中，求出對應的的值，作差即可．【詳解】（1）解：，；故答案為：60、140；（2）由圖象可知：當時，；當時，設函數解析式為：，把，代入得：，解得：，∴；綜上：；（3）當時，設將代入得：當機器溫度為，依次代入及中，分別解得、；答：三明治機工作溫度在以上持續12分鐘．23．（2025·廣東汕頭·一模）如圖1，直線：與反比例函數的圖象在第一、三象限交于點A，B，與x軸、y軸分別交于點C，D，過點A作軸于點E，F為x軸上一點，直線與直線關于直線對稱．(1)若，，點A的橫坐標為3，求反比例函數的解析式．(2)在（1）的條件下，設拋物線的頂點為點Q，在平面直角坐標系中是否存在點Q，使最大？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．(3)如圖2，過點F作軸交于點G，過點A作于點P，連接．若k為定值，求證：的面積為定值．【答案】(1)(2)存在，(3)見解析【知識點】把y=ax2+bx+c化成頂點式、反比例函數與幾何綜合、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定與性質綜合【分析】（1）先求出，，得出，證明．得出，根據，點A的橫坐標為3，求出，得出，即可得出答案；（2）由（1）得，，，，求出拋物線的頂點Q的坐標為，得出點Q是直線上一點．證明，作點D關于直線的對稱點，連接并延長，交直線于點Q，連接，此時最大，求出點的坐標為，待定系數法求出直線的解析式為．聯立，求出點Q的坐標為．（3）求出，，得出，，證明四邊形是矩形，得出．根據，得出，即，設，則，根據點A在反比例函數的圖象上，得出，根據即可證明結論．【詳解】（1）解：當時，直線的解析式為，把代入得，把代入得，解得：，∴，，∴，∵軸，∴，又，∴．∴，∵，點A的橫坐標為3，∴，∴，將代入，得，解得：，∴反比例函數的解析式為．（2）解：存在點Q，使最大．由（1）得，，，，∵直線與直線關于直線對稱，∴，∵，∴拋物線的頂點Q的坐標為，∴點Q是直線上一點．把代入得：，解得：，∴在直線，把代入得：，∴，∴，，，∴，∴為直角三角形，，∴，作點D關于直線的對稱點，連接并延長，交直線于點Q，連接，如圖所示：根據軸對稱可知，，∴，∴此時最大，∵直線，∴點在直線上，且，∴根據中點坐標可知：點的坐標為，設直線的解析式為，將，代入，得，解得，∴直線的解析式為．聯立，解得，∴點Q的坐標為．（3）證明：把代入得：，把代入得：，解得：，∴，，∴，，∵軸，，軸，∴四邊形是矩形，又直線與直線關于直線對稱，∴．根據解析（1）可知：，∴，∴，設，則，∴，∵點A在反比例函數的圖象上，∴，∴．即若k為定值，則的面積為定值．【點睛】本題主要考查了反比例函數的性質，二次函數的性質，一次函數的綜合應用，相似三角形的判定和性質，軸對稱的性質，勾股定理的逆定理，兩點間距離公式，中點坐標公式，解題的關鍵是數形結合，熟練掌握相關的性質．24．（2025·廣東廣州·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點，點的橫坐標為，反比例函數的圖像經過點．(1)求的值；(2)過點作的平行線交反比例函數的圖象于點，求點的坐標．【答案】(1)(2)【知識點】求反比例函數解析式、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、利用菱形的性質求線段長、一次函數與反比例函數的交點問題【分析】（1）作于D，通過菱形的性質和勾股定理求出點的坐標和的值，再證明，由全等三角形的性質得出，，即可得出點C的坐標，再利用待定系數法即可求出m的值．（2）利用直線的解析式和的條件求出的解析式，再求一次函數與反比例函數的交點即可．【詳解】（1）解：作于D，∵，∴，∵四邊形為菱形，∴，，，，∵點A的橫坐標為，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴．∵反比例函數的圖像經過點，∴，解得：（2）解：設直線解析式為，．∵，，則，解得：，∴直線的解析式為∵，∴直線為，聯立直線的解析式與反比例函數，，解得：或（舍去）∴點D的坐標為．【點睛】本題主要利用菱形的性質、勾股定理、全等三角形的判定和性質、以及反比例函數和一次函數的解析式求其交點，利用數形結合的思想求解．25．（2025·四川綿陽·二模）如圖，在平面直角坐標系中，點、在反比例函數的圖象上．(1)如圖，若直線的解析式為，點，求點的坐標；(2)如圖，以為邊作矩形，點、的坐標分別是、，求的值．【答案】(1)(2)【知識點】反比例函數與幾何綜合、求反比例函數解析式、相似三角形的判定與性質綜合、一次函數與反比例函數的交點問題【分析】（1）將點代入即可求出，得，，聯立，求解即可；（2）如圖，過點作軸于點，過點作軸于點，設，根據矩形的性質及平移的性質得，，，，，，證明，得，即，推出①，再根據函數圖象上點的坐標特征得，推出②，聯立方程①、②求解即可．【詳解】（1）解：∵點在反比例函數的圖象上和直線：上，∴，∴，∴，此時反比例函數的解析式為，聯立，解得：，，∴，即點的坐標為；（2）如圖，過點作軸于點，過點作軸于點，設，∴，，，∵四邊形是矩形，、，∴，，，∴線段向左平移個單位，再向上平移個單位得到，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴①，又∵、在反比例函數的圖象上，∴，∴②，聯立方程①、②，得：，解得：，∴，即的值為．【點睛】本題是反比例函數與幾何的綜合題，考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，求反比例函數的解析式，矩形的性質，平移的性質，相似三角形的判定和性質，二元一次方程組的應用等知識點，利用方程的思想解決問題、通過作輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．26．（2025·四川成都·一模）如圖，在平面直角坐標系中，直線：與反比例函數的圖象分別交于點和點．

(1)求直線的表達式；(2)如圖2，直線經過點與反比例函數的圖象交于點，與軸交于點，點將線段分成，兩條線段，且，連接，求的面積；(3)在（2）的條件下，坐標軸上是否存在點，使是以為斜邊的直角三角形，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)或或或【知識點】求直線圍成的圖形面積、反比例函數與幾何綜合、90度的圓周角所對的弦是直徑、一次函數與反比例函數的交點問題【分析】（1）先求出的值，再利用待定系數法即可求解；（2）聯立方程組得求出點B的坐標，過點C作軸于點M，過點B作軸于點N，利用平行線成比例求出，再求出，求出直線的函數表達式，得到點B，點G的坐標，即可求解；（3）取的中點M，以點M為圓心，為半徑作交坐標軸于點E，連接，，分點E在y軸上，設點E的坐標為，點E在x軸上，設點E的坐標為，兩種情況討論即可．【詳解】（1）解：將代入，，即，將代入，，直線的表達式為；（2）解：直線與反比例函數交于點A，B，聯立方程組得解得，，過點C作軸于點M，過點B作軸于點N，

，，，在中，當時，，，設直線的函數表達式為，直線的函數表達式為，直線與x軸交于點D，，直線與x軸交于點G，，，；（3）解：如圖，取的中點M，以點M為圓心，為半徑作交坐標軸于點E，連接，，

為的直徑，，是的中點，，當點E在y軸上時，設點E的坐標為，，，，，當點E在x軸上時，設點E的坐標為，，，，，綜上所述，點E的坐標為或或或．【點睛】本題考查了一次函數與反比例的綜合題，待定系數法求函數的解析式，直角三角形的性質，平行線成比例，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．27．（2025·江西·模擬預測）如圖1，點是反比例函數圖象上任意一點，過點作軸的垂線，垂足為，已知的面積為．(1)求的值．(2)若過點的直線與軸交于點，如圖2．①求證：．②與的平方差是不是定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)①證明見解析；②是定值，【知識點】反比例函數與幾何綜合、根據圖形面積求比例系數（解析式）、一次函數與反比例函數的其他綜合應用【分析】本題考查了反比例函數系數的幾