望城一中2025屆高三年級收官考試數學試卷望城一中高三數學組2025.5.22本試題卷共4頁，19題，全卷滿分150分.考試用時120分鐘.★祝考試順利★注意事項:親愛的同學們：當你們翻開這份試卷，會發現題目里藏著的不是艱澀的挑戰，而是三年時光凝成的熟悉與從容.它像一場溫暖的復盤，讓你們在提筆時能微笑回望：原來那些曾讓你皺眉的公式定理，早已悄悄長成了前行的階梯.高三是一場與自己的對話，數學符號是這段對話里最理性的注腳.你們在草稿紙上寫下的每一筆，不僅是計算，更是對堅持的注解；在錯題旁訂正的每一個紅字，不僅是修正，更是向未來的宣言.不必為“最后一套試卷”賦予沉重的意義，它更像一盞溫柔的燈，照亮你們已走過的路——那里有深夜臺燈下的倔強，有豁然開朗時的雀躍，也有偶爾迷茫時依然向前的腳印.高考從來不是終點，而是你們用知識、毅力和熱愛為自己鋪就的起點.愿你們帶著數學教會你們的邏輯與冷靜、勇氣與耐心，走向更廣闊的天地.最后，請記住：人生沒有標準答案，但你們為青春寫下的每一步，都算數.輕松作答吧，少年們！——永遠相信你們的老師一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）．A.R B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據集合的交集計算和二次不等式以及指數函數的不等式解法即可求解.【詳解】,,,故選：B.2.若復數滿足，則的虛部為（）A. B.1 C. D.i【答案】B【解析】【分析】先求出，結合虛部的概念可得答案.【詳解】因為，所以，所以的虛部為1.故選：B3.已知夾角為，且，則等于（）A. B. C. D.10【答案】A【解析】【分析】根據向量數量積的運算律即可求解.【詳解】故選：A4.已知角α的終邊經過點(-4,-3)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據角α的終邊經過點(-4,-3)，利用三角函數的定義得到，再利用誘導公式及二倍角公式，商數關系，轉化為求解.【詳解】因為角α的終邊經過點(-4,-3)，所以所以，，故選：A【點睛】本題主要考查三角函數的定義，同角三角函數基本關系式以及誘導公式，二倍角公式，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.5.若橢圓:的上頂點與右頂點的連線垂直于下頂點與右焦點連線，則橢圓的離心率為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據橢圓上下頂點的坐標、焦點坐標求得直線的斜率，利用斜率乘積為列方程，結合求得離心率的值.【詳解】橢圓上頂點坐標為，右頂點的坐標為，故直線的斜率為.橢圓下頂點坐標為，右焦點的坐標為，故直線的斜率為.由于，故，即，由于，所以，即，解得.故選C.【點睛】本小題主要考查橢圓離心率的求法，考查橢圓的幾何性質，考查兩直線兩直線垂直的表示，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于基礎題.6.已知是定義在R上的奇函數，當時，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由奇偶性的性質，代入求解即可.【詳解】因為是定義在上的奇函數，當時，，則.故選：D7.已知直線與平面，則能使的充分條件是（）A.， B.，，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】由線面、面面的平行與垂直的判定與性質依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，垂直于同一平面的兩個平面平行或相交，，，A錯誤；對于B，若，，，則只需平面內互相垂直即可，無法得到，B錯誤；對于C，平行于同一條直線的兩個平面平行或相交，，，C錯誤；對于D，，存在直線，滿足，又，，，，D正確.故選：D.8.(2015新課標全國I理科)《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有A.14斛 B.22斛C.36斛 D.66斛【答案】B【解析】【詳解】試題分析：設圓錐底面半徑為r，則，所以，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為÷1.62≈22，故選B.考點：圓錐的性質與圓錐的體積公式二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.體育教育既能培養學生自覺鍛煉身體的習慣，又能培養學生開拓進取、不畏艱難的堅強性格.某中學高三學生參加體育測試，其中物理類班級女生的成績與歷史類班級女生的成績均服從正態分布，且，，則().A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用正態分布的期望與方差和正態曲線的特點，結合正態分布的性質，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A：由，得，故A正確；對于B：由，得，故B錯誤；對于C：因為，所以，故C正確；對于D：由于隨機變量、均服從正態分布，且對稱軸均為直線，，所以在正態分布曲線上，的峰值較高，正態分布較“瘦高”，隨機變量分布比較集中，所以，故D錯誤.故選：AC.10.函數，的圖像與直線（為常數）的交點可能有（）A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【答案】ABC【解析】【分析】畫出在的圖像，即可根據圖像得出.【詳解】畫出在的圖像如下：則可得當或時，與的交點個數為0；當或時，與的交點個數為1；當時，與的交點個數為2.故選：ABC.11.已知函數，則下列說法正確的是（）A.為奇函數 B.在其定義域上有增有減C.的圖象與直線相切 D.有唯一的零點【答案】ACD【解析】【分析】由奇函數的定義可判斷A選項；對求導，判斷的正負，可判斷B選項；求的點，代入求切線方程可判斷C選項；根據單調性和奇偶性可判斷D選項.【詳解】解：函數定義域為，且，所以為奇函數，故A正確；，所以為單調遞增函數，故B不正確；當時，，此時，當時，，此時切線方程為：，即，故C正確；由B選項可知，為單調遞增函數，所以最多只有一個零點，又，所以有唯一的零點，故D正確；故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若二項式展開式中的常數項為160，則______．【答案】2【解析】【分析】求出二項展開式的通項，令的指數等于零，再根據題意建立等量關系，即可求出.【詳解】由題二項式展開式的通項公式為：，所以當時的項為常數項，解得.故答案為：2.13.已知圓臺上下底面半徑分別為和，母線與下底面所成角為，則圓臺側面積為________．【答案】【解析】【分析】作圓臺的軸截面，結合條件求圓臺的高和母線長，再結合側面積公式求結論.【詳解】記圓臺的軸截面為等腰梯形，作圓臺的軸截面如下：過點作，垂足，過點作，垂足為，因為圓臺上下底面半徑分別為和，母線與下底面所成角為，所以，，，所以，，，所以圓臺的高為，母線長為2．故圓臺的側面積．故答案為：.14.若函數，在上恰有兩個最大值點和四個零點，則實數ω的取值范圍是______________．【答案】【解析】【分析】先化簡函數式得，再結合三角函數的圖象與性質，利用整體代換計算即可.【詳解】由三角恒等變換可得，時，有，若要滿足題意則需：.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設等差數列的公差為，前項和為，等比數列的公比為.已知，.（1）求的通項公式；（2）當時，記，求數列的前項和.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據等差數列基本量得到方程組，計算出首項和公差，從而得到，，求出兩個通項公式；（2），利用錯位相減法求和，得到答案.小問1詳解】由題意知，解得或，當時，，，故，；當時，，，故，，所以或；【小問2詳解】因為，所以.因為，所以，兩式相減得，故.16.工信部發布的《“十四五”促進中小企業發展規劃》明確提出建立“百十萬千”的中小企業梯度培育體系，引導中小企業走向“專精特新”“小巨人”“隱形冠軍”的發展方向，“專精特新”是指具備專業化、精細化、特色化、新穎化優勢的中小企業．下表是某地各年新增企業數量的有關數據：年份/年20172018201920202021年份代碼（x）12345新增企業數量（y）817292442（1）請根據上表所給數據，求出y關于x的經驗回歸方程，并預測2025年此地新增企業的數量；（2）若在此地進行考察，考察企業中有4個為“專精特新”企業，3個為普通企業，現從這7個企業中隨機抽取3個，用X表示抽取的3個為“專精特新”企業個數，求隨機變量X的分布列與期望．參考公式：經驗回歸方程中，斜率和截距最小二乘估計公式分別為．【答案】（1），69家（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）求出，，根據最小二乘法估計公式求得回歸方程的系數，即可求得答案，將代入回歸直線方程，即可預測2025年此地新增企業的數量；（2）由題意可得的可能取值為0，1，2，3，求出其對應的概率計算求得X的分布列，進而求得期望.【小問1詳解】，，，，所以，，所以．2025年，即當時，由經驗回歸方程可得，所以估計2025年此地新增企業的數量為69家；【小問2詳解】由題意可知，的可能取值為0，1，2，3，因為，，，．所以的分布列為0123所以．17.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分別為PB，PD，PC的中點．（1）求證：QN平面PAD；（2）記平面CMN與底面ABCD的交線為l，試判斷直線l與平面PBD的位置關系，并證明．【答案】（1）證明見解析（2）l平面PBD，證明見解析【解析】【分析】（1）推導出QNAD，由此能證明QN平面PAD；（2）連接BD，則MNBD，從而MN平面ABCD，由線面平行的性質得MNl，從而BDl，由此能證明l平面PBD．【小問1詳解】證明：∵底面ABCD是菱形，N，M，Q分別為PB，PD，PC的中點．∴QNBC，BCAD，∴QNAD，∵QN平面PAD，AD?平面PAD，∴QN平面PAD；【小問2詳解】直線l與平面PBD平行，證明如下：∵M，N分別為PD，PB的中點，∴MNBD，∵BD?平面ABCD，MN平面ABCD，∴MN平面ABCD，∵平面CMN與底面ABCD的交線為l，∴由線面平行的性質得MNl，∵MNBD，∴BDl，∵，且BD?平面PBD，平面PBD，∴l平面PBD．18.已知函數．（1）若曲線在點處的切線平行于軸，求實數的值；（2）求函數的單調區間．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）先求函數的導函數，若曲線在點處的切線平行于軸，只需保證，求實數的值即可；（2）求得有兩個根“和”，再分、和三種情況分析函數的單調性即可.【小問1詳解】由題可得，因為在點處的切線平行于軸，所以，即，解得，經檢驗符合題意．【小問2詳解】因為，令，得或．當時，隨的變化，，的變化情況如下表所示：單調遞增單調遞減單調遞增所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．當時，因為，當且僅當時，，所以在區間上單調遞增．當時，隨的變化，，的變化情況如下表所示：單調遞增單調遞減單調遞增所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．綜上所述，當時，的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；當時，的單調遞增區間為，無單調遞減區間；當時，的單調遞增區間為和，單調遞減區間為．19.已知圓經過點，，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）若圓與直線交于兩點，（ⅰ）求的取值范圍；（ⅱ）若在圓C上存在點，使四邊形為平行四邊形，其中為坐標原點，求值.【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）【解析】【分析】（1）先設圓心坐標，再根據兩點間距離計算求參，即可得出圓的方程；（2）（ⅰ）根據圓心到直線的距離小于半徑得出范圍；（ⅱ）根據平行四邊形結合已知得出菱形，再應用點到直線距離為1得出參數.【小問1詳解】根據圓心在直線上，設圓心.因為圓經過，所以，