初中初中2025年廣東省深圳市中考數學專題復習《方程與不等式》部分重難點專項練習一、單選題1．（2023·廣東深圳·模擬預測）關于一元二次方程根的情況，下列說法中正確的是（

）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根C．沒有實數根 D．無法確定2．（2022·廣東深圳·中考真題）一元一次不等式組的解集為（

）A． B．C． D．3．（2025·廣東深圳·一模）若是一元二次方程的解，則的值為（）A． B．0 C．1 D．24．（2024·廣東深圳·模擬預測）不等式組的解集在數軸上表示正確的是（）A． B．C． D．5．（2023·廣東深圳·中考真題）某運輸公司運輸一批貨物，已知大貨車比小貨車每輛多運輸5噸貨物，且大貨車運輸75噸貨物所用車輛數與小貨車運輸50噸貨物所用車輛數相同，設有大貨車每輛運輸x噸，則所列方程正確的是（

）A． B． C． D．6．（2023·廣東深圳·模擬預測）若關于的不等式組有解，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．（2022·廣東深圳·中考真題）張三經營了一家草場，草場里面種植上等草和下等草．他賣五捆上等草的根數減去11根，就等于七捆下等草的根數；賣七捆上等草的根數減去25根，就等于五捆下等草的根數．設上等草一捆為根，下等草一捆為根，則下列方程正確的是（

）A． B． C． D．8．（2023·廣東深圳·模擬預測）已知不等式組無解，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．（2024·廣東深圳·模擬預測）2023年3月底，國道深圳寶安段(下稱“107國道”)正式啟動先行段的市政化改造，它縱貫寶安區，沿線是廣深科技創新走廊的核心地段，千余家國家高新技術企業密布其間，被視為“鵬城一翼”“灣區動軸”．它全長為31.4千米，這條94歲的國道路面需整改，為了盡量減少施工對城市交通所造成的影響，實際施工時，每天的工效比原計劃增加，結果提前5天完成這一任務，設原計劃每天整改千米，則下列方程正確的是（

）A． B．C． D．10．（2024·廣東深圳·模擬預測）古代拱橋的建筑形狀類似于拋物線，某拱橋的形狀可以看作是一個二次函數，若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，那么a的取值范圍是（

）A． B． C． D．且二、填空題11．（2024·廣東深圳·中考真題）已知一元二次方程的一個根為1，則．12．（2022·廣東深圳·中考真題）已知一元二次方程有兩個相等的實數根，則的值為．13．（2025·廣東深圳·一模）當時，代數式與的值相等．14．（2025·廣東深圳·一模）關于的一元二次方程有兩個不相等實數根，則的值可能是．（只需寫出一個即可）15．（2024·廣東深圳·三模）已知關于x的方程有實數根，則a的取值范圍是16．（2024·廣東深圳·三模）對于字母m、n，定義新運算，若方程的解為a、b，則的值為．17．（2024·廣東深圳·模擬預測）若，是方程的兩個根，則的值為．18．（2024·廣東深圳·模擬預測）某商場將進貨價為55元的某種服裝以75元售出，平均每天可售30件，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，調查發現：每件降價1元，則每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件應降價元．19．（2024·廣東深圳·模擬預測）若一元二次方程有兩個不相等的實數根，則滿足條件的正整數m的值為．（只需要填一個）20．（2024·廣東深圳·三模）如圖1，“幻方”源于我國古代夏禹時期的“洛書”．把“洛書”用今天的數學符號翻譯出來，就是一個三階幻方、三階幻方中，要求每行、每列及對角線上的三個數的和都相等，小明在如圖2的格子中填入了代數式，若它們能滿足三階幻方要求，則．三、解答題21．（2025·廣東深圳·一模）（1）解方程：（2）解方程：．（3）計算：．22．（2023·廣東深圳·中考真題）某商場在世博會上購置A，B兩種玩具，其中B玩具的單價比A玩具的單價貴25元，且購置2個B玩具與1個A玩具共花費200元．(1)求A，B玩具的單價；(2)若該商場要求購置B玩具的數量是A玩具數量的2倍，且購置玩具的總額不高于20000元，則該商場最多可以購置多少個A玩具？23．（2024·廣東深圳·模擬預測）根據所給的素材，探索完成任務．【素材】小何到早餐店買早點，“阿姨，我買8個肉包和5個菜包．”阿姨說：“一共17元．”付款后，小何說：“阿姨，少買2個菜包，換3個肉包吧．”阿姨說：“可以，但還需補交元錢．”任務一：請從他們的對話中求出肉包和菜包的單價；任務二：如果小何一共有元，需要買20個包子，他最多可以買幾個肉包呢？24．（2022·廣東深圳·中考真題）某學校打算購買甲乙兩種不同類型的筆記本．已知甲種類型的筆記本的單價比乙種類型的要便宜1元，且用110元購買的甲種類型的數量與用120元購買的乙種類型的數量一樣．(1)求甲乙兩種類型筆記本的單價．(2)該學校打算購買甲乙兩種類型筆記本共100件，且購買的乙的數量不超過甲的3倍，則購買的最低費用是多少?25．（2025·廣東深圳·一模）第九屆亞洲冬季運動會于2025年2月在中國舉辦，亞冬會吉祥物一經開售，就深受大家的喜愛，某商店以每件45元的價格購進某款亞冬會吉祥物，以每件68元的價格出售．經統計，2024年12月份的銷售量為256件，2025年1月份的銷售量為400件．從2025年1月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經試驗，發現該款吉祥物每降價1元，月銷售量就會增加20件，設降價降了元，請完成下列問題：(1)降價元后的月銷售量為___________件：（用含的式子表示）(2)當該款吉祥物降價多少元時，月銷售利潤達8400元？26．（2025·廣東深圳·一模）（1）解方程：（2）茗茗同學在解關于x的方程時，過程如下：第一步：，，，第二步：第三步：當（即）時，；當時方程無解你認為茗茗同學的解方程過程忽視的問題是________________．你認為在上述解題過程中應該增加的一個步驟是______________．27．（2025·廣東深圳·一模）根據以下素材，探索完成任務．學校如何購買保潔物品問題背景自《義務教育勞動課程標準（2022年版）》的發布，勞動課正式成為中小學的一門獨立課程．勞動教育是學生設計能力、問題解決能力、合作能力、實踐能力以及社會責任感提升的重要手段．素材1為了保障勞動教育的有序進行，某學校需要增加保潔物品的庫存量，計劃用不超過480元的總費用購買掃把簸箕套裝與毛巾兩種物品．考慮兩種物品的易損情況，要求毛巾的數量是掃把簸箕套裝數量的3倍，掃把簸箕套裝不少于50套．素材2商店物品價格情況：買3條毛巾和2套掃把簸箕套裝共需18元，買4條毛巾和3套掃把簸箕套裝共需26元．素材3商店提供以下兩種優惠方案：方案1：兩種商品按原價的8折出售；方案2：兩種商品總額不超過400元的按原價付費，超過400元的部分打6折．問題解決任務1確定物品單價請運用所學知識，求出毛巾和掃把簸箕套裝的單價．任務2探究購買方案如果學校只按商店提供的其中一種優惠方案來購買，學校該購進毛巾和掃把簸箕套裝數量分別是多少？28．（2024·廣東深圳·模擬預測）為改善城市人居環境，某區域原來每天需要處理生活垃圾920噸，剛好被12個A型和10個B型預處置點位進行初篩、壓縮等處理．已知一個A型點位比一個B型點位每天多處理7噸生活垃圾．(1)求每個B型點位每天處理生活垃圾的噸數；(2)由于垃圾分類要求提高，在每個點位每天將少處理8噸生活垃圾，同時由于市民環保意識增強，該區域每天需要處理的生活垃圾比原來少10噸．若該區域計劃增設A型、B型點位共5個，試問至少需要增設幾個A型點位才能當日處理完所有生活垃圾？29．（2024·廣東深圳·模擬預測）清明節到來之際，小明家的經銷店準備銷售黑芝麻味和蛋黃肉松味兩種不同口味的青團．據了解，購進500個黑芝麻味青團和200個蛋黃肉松味青團共需1700元，已知一個蛋黃肉松味青團的進價比一個黑芝麻味青團的進價多2元．(1)求每個黑芝麻味青團和每個蛋黃肉松味青團的進價分別為多少元？(2)若每個蛋黃肉松味青團的售價為5元，每個黑芝麻味青團的售價為2元．小明父親打算購進蛋黃肉松味青團和黑芝麻味青團共1000個，全部售完后利潤不低于1600元，求至少購進多少個蛋黃肉松味青團？30．（2024·廣東深圳·中考真題）背景【繽紛618，優惠送大家】今年618各大電商平臺促銷火熱，線下購物中心也亮出大招，年中大促進入“白熱化”．深圳各大購物中心早在5月就開始推出618活動，進入6月更是持續加碼，如圖，某商場為迎接即將到來的618優惠節，采購了若干輛購物車．素材如圖為某商場疊放的購物車，右圖為購物車疊放在一起的示意圖，若一輛購物車車身長，每增加一輛購物車，車身增加．問題解決任務1若某商場采購了n輛購物車，求車身總長L與購物車輛數n的表達式；任務2若該商場用直立電梯從一樓運輸該批購物車到二樓，已知該商場的直立電梯長為，且一次可以運輸兩列購物車，求直立電梯一次性最多可以運輸多少輛購物車？任務3若該商場扶手電梯一次性可以運輸24輛購物車，若要運輸100輛購物車，且最多只能使用電梯5次，求：共有多少種運輸方案？參考答案題號12345678910答案ADDCBDCDBC1．A【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數根，若，則方程有兩個相等的實數根，若，則方程沒有實數根．利用一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：∵∴，，，∴，∴方程有兩個不相等的實數根．故選：A．2．D【分析】解出不等式組的解集，再把不等式的解集在數軸表示出來即可求解．【詳解】解：不等式，移項得：，∴不等式組的解集為：，故選：D．【點睛】本題考查了求不等式組的解集并在數軸上表示解集，根據不等式的解集，利用找不等式組的解集的規律的出解集是解題的關鍵．3．D【分析】把代入，轉化為m的方程求解即可．本題考查了一元二次方程的定義，方程根的定義即使方程左右兩邊相等的未知數的值，轉化求解是解題的關鍵．【詳解】解：∵是一元二次方程的解，∴，解得，故選：D．4．C【分析】分別解兩個不等式，然后求它們的公共部分即可得到原不等式組的解集，再在數軸上表示出來即可求解．本題考查的是解一元一次不等式組，熟知同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到的原則是解答此題的關鍵．【詳解】解：，由①得；由②得；故不等式組的解集為，在數軸上表示出來為：．故選：C．5．B【分析】根據“大貨車運輸75噸貨物所用車輛數與小貨車運輸50噸貨物所用車輛數相同”即可列出方程．【詳解】解：設有大貨車每輛運輸x噸，則小貨車每輛運輸噸，則．故選B【點睛】本題考查分式方程的應用，理解題意準確找到等量關系是解題的關鍵．6．D【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到，即可確定的取值范圍．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，關于的不等式組有解，，故選：D．【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．7．C【分析】設上等草一捆為根，下等草一捆為根，根據“賣五捆上等草的根數減去11根，就等于七捆下等草的根數；賣七捆上等草的根數減去25根，就等于五捆下等草的根數．”列出方程組，即可求解．【詳解】解：設上等草一捆為根，下等草一捆為根，根據題意得：．故選：C【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用，明確題意，準確得到等量關系是解題的關鍵．8．D【分析】根據不等式組無解，得到大大小小無解，進而確定出a的范圍即可．【詳解】解：不等式組無解，，解得：，故選：D．【點睛】此題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握不等式組取解集的方法是解本題的關鍵．9．B【分析】本題考查由實際問題列分式方程，設原計劃每天整改千米，得到實際施工時每天整改千米，由等量關系結果提前5天完成這一任務，即可列出分式方程，讀懂題意，準確找到等量關系列方程是解決問題的關鍵．【詳解】解：設原計劃每天整改千米，實際施工時每天整改千米，則，故選：B．10．C【分析】此題考查了一元二次方程判別式的知識．由兩個不相等的實數根，即可得判別式，繼而可求得a的范圍．【詳解】由題意得：且解得：且故選：C．11．【分析】本題考查了一元二次方程解的定義，根據一元二次方程的解的定義，將代入原方程，列出關于的方程，然后解方程即可．【詳解】解：關于的一元二次方程的一個根為，滿足一元二次方程，，解得，．故答案為：．12．9【分析】根據根的判別式的意義得到△，然后解關于的方程即可．【詳解】解：根據題意得△，解得．故答案為：9．【點睛】本題考查了根的判別式，解題的關鍵是掌握一元二次方程的根與△有如下關系：當△時，方程有兩個不相等的實數根；當△時，方程有兩個相等的實數根；當△時，方程無實數根．13．/【分析】本題主要考查了用因式分解法解一元二次方程，根據題意得：，然后把方程化簡，并求出方程的解即可．【詳解】解：由題意，得，∴，∴，∴，∴．故答案為：．14．0【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與有如下關系：①，方程有兩個不相等的實數根，②，方程有兩個相等的實數根，③，方程沒有實數根．由題意可得，計算即可得解．【詳解】解：∵關于的一元二次方程有兩個不相等實數根，∴，解得：，∴的值可能是，故答案為：．15．【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式的應用，一元一次方程的根，分兩種情況討論即可得到答案．【詳解】解：當，則；由關于x的方程有實數根，∴，即得，∴，∴a的取值范圍為且．當時為一元一次方程，方程有一根．綜上所知a的取值范圍為．故答案為：．16．6【分析】本題考查一元二次方程的根與系數關系．判斷出，，再根據新定義計算即可．【詳解】解：方程的解為、，，，∴．故答案為：6．17．【分析】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系，熟記公式，是解題關鍵．先求出，，再整體代入即可求值．【詳解】解：∵，是方程的兩個根，∴，，∴，故答案為：．18．10【分析】本題考查了一元二次方程的應用．設每件降價元則每件的盈利為元，每天可出售件，由總利潤每件的盈利日銷量，進而列出方程，求出結果要結合盡快減少庫存，即可得解．【詳解】解：設每件降價元，則每件的銷售利潤為元，每天可售出件，根據題意得：，解得：，．要盡快減少庫存，．故每件應降價10元．故答案為：10．19．1（答案不唯一）【分析】本題考查了一元二次方程根的情況，解一元一次不等式，熟練掌握知識點是解題的關鍵．由方程兩個不相等的實數根，得到，再求不等式的解集即可．【詳解】解：由題意得，，解得：，則滿足條件的正整數m的值有：6，5，4，3，2，1，填寫一個即可，故答案為：1（答案不唯一）．20．【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．根據每行、每列及對角線上的三個數的和都相等.列出二元一次方程組，解方程組即可．【詳解】由題意得：，解得：，故答案為：21．（1），；（2）；（3）【分析】本題考查的是直接開平方法解一元二次方程以及實數的運算，熟練掌握以上知識點是解決此題關鍵．（1）兩邊直接開平方可得，再把此方程分成兩個一元一次方程，解一元一次方程即可；（2）首先把方程去括號、移項、合并同類項可得，繼而得到，再兩邊直接開平方即可．（3）先計算負整數次冪、零指數冪、特殊三角函數、絕對值的運算，再進行加減運算即可．【詳解】解：（1）兩邊直接開平方得：，則，，解得：，；（2），整理得：，即，兩邊直接開平方得：．（3）解：原式．22．(1)A、B玩具的單價分別為50元、75元；(2)最多購置100個A玩具．【分析】（1）設A玩具的單價為x元每個，則B玩具的單價為元每個；根據“購置2個B玩具與1個A玩具共花費200元”列出方程即可求解；（2）設A玩具購置y個，則B玩具購置個，根據“購置玩具的總額不高于20000元”列出不等式即可得出答案．【詳解】（1）解：設A玩具的單價為x元，則B玩具的單價為元；由題意得：；解得：，則B玩具單價為（元）；答：A、B玩具的單價分別為50元、75元；（2）設A玩具購置y個，則B玩具購置個，由題意可得：，解得：，∴最多購置100個A玩具．【點睛】本題考查一元一次方程和一元一次不等式的應用，屬于中考常規考題，解題的關鍵在于讀懂題目，找準題目中的等量關系或不等關系．23．任務一：肉包的單價是元，菜包的單價是1元；任務二：小何最多可以買10個肉包【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實際應用，一元一次不等式的實際應用：任務一：設肉包的單價是x元，菜包的單價是y元，根據題意可知8個肉包和5個菜包共17元，11個肉包和3個菜包共元，據此列出方程組求解即可；任務二：設可以買m個肉包，則可以買個菜包，根據20個包子的價格不超過元列出不等式求解即可．【詳解】解：任務一：設肉包的單價是x元，菜包的單價是y元，由題意得：，

解得：，答：肉包的單價是元，菜包的單價是1元；任務二：設可以買m個肉包，則可以買個菜包，由題意得：，解得：，∵m為整數，∴m最大取10答：小何最多可以買10個肉包．24．(1)甲類型的筆記本單價為11元，乙類型的筆記本單價為12元(2)最低費用為1101元【分析】（1）設甲類型的筆記本單價為x元，則乙類型的筆記本為元．列出方程即可解答；（2）設甲類型筆記本購買了a件，最低費用為w，列出w關于a的函數，利用一次函數的增減性進行解答即可．【詳解】（1）設甲類型的筆記本單價為x元，則乙類型的筆記本為元．由題意得：解得：經檢驗是原方程的解，且符合題意．∴乙類型的筆記本單價為：（元）．答：甲類型的筆記本單價為11元，乙類型的筆記本單價為12元．（2）設甲類型筆記本購買了a件，最低費用為w，則乙類型筆記本購買了件．由題意得：．∴．．∵，∴當a越大時w越小．∴當時，w最小，最小值為（元）．答：最低費用為1101元．【點睛】此題考查了分式方程的應用，以及一次函數的應用，掌握分式方程的應用，以及一次函數的應用是解題的關鍵．25．(1)(2)當該款吉祥物降價8元時，月銷售利潤達8400元【分析】本題主要考查了列代數式，一元二次方程的應用．（1）該款吉祥物每降價1元，月銷售量就會增加20件，設降價降了元，則降價元后的月銷售量為件．（2）設降價降了元，則每件的利潤為元，月銷售量為件，根據月銷售利潤為8400元列方程求解即可．【詳解】（1）解：降價元后的月銷售量為件故答案為：（2）解：設降價降了元，則每件的利潤為元，月銷售量為件，根據題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去），答：當該款吉祥物降價8元時，月銷售利潤達8400元．26．（1），；（2）沒有考慮的情況；當時，【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握公式法是解題的關鍵．（1）根據解一元二次方程-公式法直接求解即可；（2）根據一元二次方程的定義，公式法的條件即可求出答案．【詳解】解：（1）這里，，，；（2）茗茗同學的解方程過程忽視的問題是沒有考慮的情況；在上述解題過程中應該增加的一個步驟是當時，方程，解得：；故答案為：沒有考慮的情況；當時，．27．任務1：毛巾單價為2元，掃把簸箕套裝的單價為6元；任務2：學校購買掃把簸箕套裝50套，毛巾150條【分析】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用，理解題意，正確列出方程組與不等式是解此題的關鍵．任務1：設毛巾的單價為元，掃把簸箕套裝單價為元．根據題意列出二元一次方程組，解方程組即可得解；任務2：設學校購買掃把簸箕套裝套，則購買毛巾條，根據題意列出一元一次不等式，計算即可得解．【詳解】任務1：解：設毛巾的單價為元，掃把簸箕套裝單價為元．根據題意得：解得答：毛巾單價為2元，掃把簸箕套裝的單價為6元．任務2：設學校購買掃把簸箕套裝套，則購買毛巾條，∴購買掃把簸箕套裝和毛巾的費用為（元）方案一：，解得，由題意得，∴，∴方案二：，解得，∴方案二不符題意，舍去．答：學校購買掃把簸箕套裝50套，毛巾150條．28．(1)38噸(2)3個【分析】本題主要考查了一元一次方程的實際應用，一元一次不等式的實際應用：（1）設每個B型點位每天處理生活垃圾噸，則每個A型點位每天處理生活垃圾噸，根據一共要處理920噸垃圾列出方程求解即可；（2）設需要增設個A型點位才能當日處理完所有生活垃圾，則提高后，每個A型點位每天處理生活垃圾（噸），個B型點位每天處理生活垃圾（噸），再根據一共處理的垃圾要不少于噸列出不等式求解即可．【詳解】（1）解：設每個B型點位每天處理生活垃圾噸，則每個A型點位每天處理生活垃圾噸，根據題意，得，解得．答：每個B型點位每天處理生活垃圾38噸．（2）解：設需要增設個A型點位才能當日處理完所有生活垃圾，由（1）可知垃圾分類要求提高前，每個A型點位每天處理生活垃圾45噸，則垃圾分類要求提高后，每個A型點位每天處理生活垃圾（噸）