3.1函數(shù)的概念3.1.1函數(shù)的定義

定義在某個變化過程中有兩個變量x、y，如果對于x在某確定的實數(shù)集合D內(nèi)的每一個確定的值，按照某種對應(yīng)法則f，y都有唯一確定的實數(shù)與它對應(yīng)，那么稱y是x的函數(shù).記作y=f(x)，x∈D.

其中x叫做自變量，自變量的取值范圍叫做函數(shù)的定義域.與x值相對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)f(x)在x處的函數(shù)值，當(dāng)x取遍D中所有值時，函數(shù)值y所組成的集合叫做函數(shù)的值域.

2.1.2函數(shù)定義域的確定函數(shù)定義域的確定函數(shù)定義域是確定函數(shù)的重要因素，只有在定義域內(nèi)研究函數(shù)才有意義.函數(shù)定義域的確定一般分兩種情況：

1.根據(jù)實際問題的實際意義確定函數(shù)的定義域2.根據(jù)函數(shù)解析式確定函數(shù)的定義域

當(dāng)函數(shù)只給出解析式，且對自變量取值沒有特別的限制時，那么它的定義域指的是使這個解析式有意義的實數(shù)的集合.因此（1）當(dāng)函數(shù)解析式是整式時，它的定義域可以是一切實數(shù).

（2）當(dāng)函數(shù)解析式是分式時，它的定義域是使分母不等于零的實數(shù).

（3）當(dāng)函數(shù)解析式是偶次根式時，它的定義域是滿足偶次根式中被開方式大于或等于零的實數(shù).

（4）若解析式中既含有分式又含有偶次根式，則它的定義域應(yīng)當(dāng)取使各部分都有意義的數(shù)集的交集.3.1.3函數(shù)關(guān)系中的兩個要素從函數(shù)的概念中可以知道，函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則構(gòu)成了函數(shù)的兩大要素.當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都相同時，這兩個函數(shù)就是相同的函數(shù)，否則這兩個函數(shù)就不相同.※函數(shù)是否相同與兩個變量用何種字母表示無關(guān).如：y=x2與s=t2，它們的定義域和對應(yīng)法則都相同，所以它們是兩個相同的函數(shù).3.1.4函數(shù)的表示法

1.解析法把兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系用含有這兩個變量和各種數(shù)學(xué)運算符號的等式來表示，這種表示的方法叫做解析法.

用解析法表示一個函數(shù)也并非都只用一個數(shù)學(xué)解析式.有時需要分段地用幾個數(shù)學(xué)解析式來表示.

定義在自變量的不同取值范圍內(nèi)，用不同的解析式來表示的函數(shù)，叫做分段函數(shù).

分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)定義域的并集.2.列表法把自變量的一系列的值和對應(yīng)函數(shù)的值列成一個表格來表示兩個函數(shù)關(guān)系的方法叫做列表法.

列表法表示函數(shù)關(guān)系的特點是：自變量和對應(yīng)的函數(shù)值一目了然，便于查找.但它列出的自變量與對應(yīng)的函數(shù)值數(shù)量有限，不夠全面，也不便于函數(shù)運算和研究.3.圖象法用平面直角坐標系中一些點、直線或曲線來表示兩個變量函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法.

用圖象法表示函數(shù)的特點是：直觀形象，能清晰地顯示函數(shù)的一些性質(zhì).但查找函數(shù)值時顯得不夠精確，也不便于對函數(shù)進行運算和研究.3.2函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性3.2.1函數(shù)的奇偶性定義如果函數(shù)y=f(x)的定義域是關(guān)于原點對稱的數(shù)集D，且對D中的任意實數(shù)x都有：f(-x)=f(x)，那么這個函數(shù)叫做偶函數(shù).定義如果函數(shù)y=f(x)的定義域是關(guān)于原點對稱的數(shù)集D，且對D中的任意實數(shù)x都有：f(-x)=-f(x)，那么這個函數(shù)叫做奇函數(shù).2.2.2函數(shù)的單調(diào)性定義對于函數(shù)f(x)在定義域D的某個區(qū)間(a，b)內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，如果當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，即f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)是增函數(shù).區(qū)間(a，b)叫做函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；如果當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減，即f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)是減函數(shù).區(qū)間(a，b)叫做函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.3.3函數(shù)知識的實際應(yīng)用舉例

例1

自動注液器以每秒10立方厘米的速度向長18厘米、寬10厘米、高12厘米無蓋的長方體容器中注液求：（1）液面高度y（厘米）關(guān)于注入時間x（秒）的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)注入3分鐘時，容器中液面的高度；（3）為了在移動中防止溶液溢出，規(guī)定距容器口1厘米時停止注液，問操作時應(yīng)設(shè)定連續(xù)注液的時間為多少秒？181210

因為0≤x/18≤12，所以0≤x≤216.

函數(shù)表達式為y=x/18（0≤x≤216）.

（2）當(dāng)x=3分鐘=180秒時，y=10(厘米)；此時液面高度為10厘米.

（3）因為y=12-1=11（厘米），所以x/18=11，x=198(秒).應(yīng)設(shè)定連續(xù)注液時間為198秒.

解：（1）x秒鐘