專題11反比例函數的應用知識點一反比例函數與一次函數的交點問題（1）求反比例函數與一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．（2）判斷正比例函數y=k1x和反比例函數在同一直角坐標系中的交點個數可總結為：①當k1與k2同號時，正比例函數y=k1x和反比例函數在同一直角坐標系中有2個交點；②當k1與k2異號時，正比例函數y=k1x和反比例函數在同一直角坐標系中有0個交點．【典例1】（2023秋?興慶區期末）如圖，正比例函數y1＝k1x的圖象與反比例函數y2＝的圖象相交于A，B兩點，其中點B的橫坐標為﹣2，當y1＜y2時，x的取值范圍是（）A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2【變式訓練】1．（2023秋?懷化期末）如圖，直線y＝k1x+b與雙曲線y＝交于A、B兩點，其橫坐標分別為1和5，則不等式k1x+b＜的解集是（）A．﹣5＜x＜﹣1或x＞0 B．0＜x＜1或x＞5 C．1＜x＜5 D．﹣5＜x＜﹣12．（2023秋?新余期末）如圖，反比例函數的圖象與直線AB交于點A，B，AB與x軸交于點C，BD⊥y軸于點D，連接CD，則S△BDC的值為（）A．6 B．8 C．10 D．123．（2023秋?撫州期末）已知直線y＝ax（a≠0）與雙曲線y＝（k≠0）的一個交點的坐標為（2，﹣6），則它們的另一個交點的坐標是．4．（2023秋?新都區期末）如圖，已知正比例函數y1＝2x（x＞0）的圖象與反比例函數的圖象相交于A點，當函數值y1＞y2時，x的取值范圍是．5．（2023秋?虞城縣期末）如圖，直線y＝x+4與y軸交于點A，與反比例函數的圖象交于點C，過點C作CB⊥x軸于點B，AO＝4BO，則k的值為．6．（2023秋?潢川縣期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB：y＝x+m與反比例函數的圖象交于A、B兩點，與x軸相交于點C，已知點A，B的坐標分別為（3，1）和（﹣1，n）．（1）求一次函數和反比例函數的解析式；（2）請直接寫出不等式的解集；（3）點P為反比例函數y＝圖象上的任意一點，若S△POC＝3S△AOC，求點P的坐標．7．（2023秋?吳橋縣期末）如圖，一次函數y＝kx+b（k≠0）與反比例函數的圖象相交于A、B兩點，過點B作BC⊥x軸，垂足為C，連接AC，已知點A的坐標是（2，3），BC＝2．（1）求反比例函數與一次函數的表達式；（2）根據圖象，直接寫出不等式的解集；（3）點P為反比例函數在第一象限內的圖象上一點，若S△POC＝2S△ABC，求點P的坐標．知識點二反比例函數的實際應用（1）利用反比例函數解決實際問題

①能把實際的問題轉化為數學問題，建立反比例函數的數學模型．②注意在自變量和函數值的取值上的實際意義．③問題中出現的不等關系轉化成相等的關系來解，然后在作答中說明．（2）跨學科的反比例函數應用題

要熟練掌握物理或化學學科中的一些具有反比例函數關系的公式．同時體會數學中的轉化思想．

（3）反比例函數中的圖表信息題

正確的認識圖象，找到關鍵的點，運用好數形結合的思想．【典例2】（2023秋?開封期末）如圖①，實驗課上，小明同學設計了一個探究杠桿平衡條件的實驗：在天平的固定托盤A中放置一些大小不等的立方體，在活動托盤B中放置一定質量的砝碼，使得天平平衡．改變活動托盤B與點O的距離x（cm），觀察活動托盤B中砝碼的質量y（g）的變化情況．實驗數據記錄如表：x（cm）1015202530y（g）3020151210（1）把表中x，y的各組對應值作為點的坐標，如（10，30），（15，20）…在圖②的坐標系中描出相應的點，并用平滑的曲線順次連接這些點；（2）觀察所畫的圖象，猜測y與x之間的函數關系，求出函數關系式；（3）當砝碼的質量為16g時，活動托盤B與點O的距離是多少？【變式訓練】1．（2023?泰興市二模）在溫度不變的條件下，通過一次又一次地對汽缸頂部的活塞加壓，測出每一次加壓后缸內氣體的體積和氣體對汽缸壁所產生的壓強，如下表：則可以反映y與x之間的關系的式子是（）體積x（mL）10080604020壓強y（kPa）6075100150300A．y＝3000x B．y＝6000x C．y＝ D．y＝2．（2023秋?長沙縣期末）古希臘著名的科學家阿基米德發現了杠桿平衡，后來人們把它歸納為“杠桿原理”，即“阻力×阻力臂＝動力×動力臂”．小明同學用撬棍撬動一塊大石頭，已知阻力和阻力臂分別是1200N和0.5m，則動力F（單位：N）關于動力臂l（單位：m）的函數表達式正確的是（）A．F＝ B．F＝ C．F＝ D．F＝3．（2023春?淮陰區期末）已知矩形的長為x，寬為y，面積為9，則y與x之間的函數關系用圖象表示大致是（）A．B． C．D．4．（2023春?蓬萊區期末）如圖所示，小亮設計了一個探究杠桿平衡條件的實驗：在一根勻質的木桿中點O左側固定位置B處懸掛重物A，右側用一個彈簧測力計向下拉，改變彈簧測力計與支點O的距離x（cm），觀察彈簧測力計的示數y（N）的變化情況．實驗數據記錄如下表：x（cm）……1015202530……y（N）……453022.51815……下列說法不正確的是（）A．彈簧測力計的示數y（N）與支點O的距離x（cm）之間關系的圖象如圖 B．y與x的函數關系式為 C．當彈簧測力計的示數為12.5N時，彈簧測力計與O點的距離是37.5 D．隨著彈簧測力計與O點的距離不斷增大，彈簧測力計上的示數不斷減小5．（2023秋?清原縣期末）在溫度不變的條件下，通過一次又一次地對汽缸頂部的活塞加壓，加壓后氣體對汽缸壁所產生的壓強p（kPa）與汽缸內氣體的體積V（mL）成反比例，p關于V的函數圖象如圖所示．若壓強由75kPa加壓到100kPa，則氣體體積壓縮了（）A．10mL B．15mL C．20mL D．25mL6．（2023秋?丹東期末）某校組織活動，一小組需在室外搭建臨時木屋，木板對地面的壓強p（Pa）是木板面積S（m2）的反比例函數，其圖象如圖所示，當木板壓強不超過500Pa時，木板的面積應為（）A．不大于1.6m2B．不小于1.6m2C．不大于 D．不小于7．（2023秋?玉環市期末）你吃過拉面嗎？實際上在做拉面的過程中就滲透著數學知識：一定體積的面團做成拉面，面條的總長度y（m）是面條的粗細（橫截面積）x（mm2）的反比例函數，其圖象如圖所示．（1）求當面條粗1.6mm2時，面條的總長度是多少米？（2）若面條的總長度要求不大于50m，那面條的粗細有什么限制？8．（2022秋?安新縣期末）心理學家研究發現，一般情況下，一節課40分鐘中，學生的注意力隨教師講課的變化而變化．開始上課時，學生的注意力逐步增強，中間有一段時間學生的注意力保持較為理想的穩定狀態，隨后學生的注意力開始分散．經過實驗分析可知，學生的注意力指標數y隨時間x（分鐘）的變化規律如圖所示（其中AB、BC分別為線段，CD為雙曲線的一部分）：（1）開始上課后第五分鐘時與第三十分鐘時相比較，何時學生的注意力更集中？（2）一道數學競賽題，需要講19分鐘，為了效果較好，要求學生的注意力指標數最低達到36，那么經過適當安排，老師能否在學生注意力達到所需的狀態下講解完這道題目？知識點三反比例函數綜合問題【典例3】（2023秋?鄭州期末）如圖，一次函數y＝x+1與反比例函數的圖象在第一象限的交點A橫坐標為1，直線l⊥x軸于點N（a，0），且與一次函數和反比例函數的圖象分別交于點B和點C，且點B在點C上方．（1）求反比例函數的表達式；（2）若四邊形ODBC是平行四邊形，求a的值．【變式訓練】1．（2023秋?駐馬店期末）如圖，點A在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，AB⊥y軸于點B，且OB＝2AB＝4．（1）求反比例函數的解析式；（2）點C在這個反比例函數圖象上，連接AC并延長交x軸于點D，且∠ADO＝45°．求點C的坐標．2．（2023秋?晉中期末）綜合與探究如圖，一次函數y＝﹣x+1與反比例函數的圖象交于點A（﹣1，m），與y軸交于點B．（1）求這個反比例函數的表達式；（2）點P是x軸上的一個動點，連接AP，BP，當線段AP與BP之和最小時，求點P的坐標；（3）過點B作直線l∥x軸，交反比例函數的圖象于點C，若點M是直線AB上的一個動點，點N是平面直角系內的一個動點，試判斷是否存在這樣的點N，使得以點B，C，M，N為頂點的四邊形是菱形．