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文檔簡介

江蘇省南京市九中2023屆高考壓軸卷數(shù)學試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.過拋物線的焦點作直線與拋物線在第一象限交于點A,與準線在第三象限交于點B,過點作準線的垂線,垂足為.若,則()A. B. C. D.2.設(shè)非零向量,,,滿足,,且與的夾角為,則“”是“”的().A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.運行如圖程序,則輸出的S的值為()A.0 B.1 C.2018 D.20174.已知復數(shù),則的虛部是()A. B. C. D.15.已知函數(shù),,若方程恰有三個不相等的實根,則的取值范圍為()A. B.C. D.6.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為,已知,則為()A. B. C.或 D.或7.已知集合,則等于()A. B. C. D.8.若的展開式中的系數(shù)為150,則()A.20 B.15 C.10 D.259.如圖是一個幾何體的三視圖,則這個幾何體的體積為()A. B. C. D.10.已知某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的體積為()A.3 B. C. D.11.國務院發(fā)布《關(guān)于進一步調(diào)整優(yōu)化結(jié)構(gòu)、提高教育經(jīng)費使用效益的意見》中提出,要優(yōu)先落實教育投入.某研究機構(gòu)統(tǒng)計了年至年國家財政性教育經(jīng)費投入情況及其在中的占比數(shù)據(jù),并將其繪制成下表,由下表可知下列敘述錯誤的是()A.隨著文化教育重視程度的不斷提高,國在財政性教育經(jīng)費的支出持續(xù)增長B.年以來,國家財政性教育經(jīng)費的支出占比例持續(xù)年保持在以上C.從年至年,中國的總值最少增加萬億D.從年到年,國家財政性教育經(jīng)費的支出增長最多的年份是年12.已知雙曲線的左、右焦點分別為,過作一條直線與雙曲線右支交于兩點,坐標原點為,若,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)是等比數(shù)列的前項的和,成等差數(shù)列,則的值為_____.14.為激發(fā)學生團結(jié)協(xié)作,敢于拼搏,不言放棄的精神,某校高三5個班進行班級間的拔河比賽.每兩班之間只比賽1場,目前(—)班已賽了4場,(二)班已賽了3場,(三)班已賽了2場,(四)班已賽了1場.則目前(五)班已經(jīng)參加比賽的場次為__________.15.對于任意的正數(shù),不等式恒成立,則的最大值為_____.16.已知以x±2y=0為漸近線的雙曲線經(jīng)過點,則該雙曲線的標準方程為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的長軸長為,離心率(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)分別為橢圓與軸正半軸和軸正半軸的交點,是橢圓上在第一象限的一點,直線與軸交于點,直線與軸交于點,問與面積之差是否為定值?說明理由.18.(12分)已知函數(shù),其中,.(1)當時,求的值;(2)當?shù)淖钚≌芷跒闀r,求在上的值域.19.(12分)已知橢圓:(),與軸負半軸交于,離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線:與橢圓交于,兩點,連接,并延長交直線于,兩點,已知,求證:直線恒過定點,并求出定點坐標.20.(12分)已知正實數(shù)滿足.(1)求的最小值.(2)證明:21.(12分)設(shè)函數(shù),().(1)若曲線在點處的切線方程為,求實數(shù)a、m的值;(2)若對任意恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;(3)關(guān)于x的方程能否有三個不同的實根?證明你的結(jié)論.22.(10分)2019年入冬時節(jié),長春市民為了迎接2022年北京冬奧會,增強身體素質(zhì),積極開展冰上體育鍛煉.現(xiàn)從速滑項目中隨機選出100名參與者,并由專業(yè)的評估機構(gòu)對他們的鍛煉成果進行評估打分(滿分為100分)并且認為評分不低于80分的參與者擅長冰上運動,得到如圖所示的頻率分布直方圖:(1)求的值;(2)將選取的100名參與者的性別與是否擅長冰上運動進行統(tǒng)計,請將下列列聯(lián)表補充完整,并判斷能否在犯錯誤的概率在不超過0.01的前提下認為擅長冰上運動與性別有關(guān)系?擅長不擅長合計男性30女性50合計1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(,其中)

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

需結(jié)合拋物線第一定義和圖形,得為等腰三角形,設(shè)準線與軸的交點為,過點作,再由三角函數(shù)定義和幾何關(guān)系分別表示轉(zhuǎn)化出,,結(jié)合比值與正切二倍角公式化簡即可【詳解】如圖,設(shè)準線與軸的交點為,過點作.由拋物線定義知,所以,,,,所以.故選:C【點睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì),三角函數(shù)的性質(zhì),數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想,屬于中檔題2.C【解析】

利用數(shù)量積的定義可得,即可判斷出結(jié)論.【詳解】解:,,,解得,,,解得,“”是“”的充分必要條件.故選:C.【點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應用,考查推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.3.D【解析】

依次運行程序框圖給出的程序可得第一次:,不滿足條件;第二次:,不滿足條件;第三次:,不滿足條件;第四次:,不滿足條件;第五次:,不滿足條件;第六次:,滿足條件,退出循環(huán).輸出1.選D.4.C【解析】

化簡復數(shù),分子分母同時乘以,進而求得復數(shù),再求出,由此得到虛部.【詳解】,,所以的虛部為.故選:C【點睛】本小題主要考查復數(shù)的乘法、除法運算,考查共軛復數(shù)的虛部,屬于基礎(chǔ)題.5.B【解析】

由題意可將方程轉(zhuǎn)化為,令,,進而將方程轉(zhuǎn)化為,即或,再利用的單調(diào)性與最值即可得到結(jié)論.【詳解】由題意知方程在上恰有三個不相等的實根,即,①.因為,①式兩邊同除以,得.所以方程有三個不等的正實根.記,,則上述方程轉(zhuǎn)化為.即,所以或.因為,當時,,所以在,上單調(diào)遞增,且時,.當時,,在上單調(diào)遞減,且時,.所以當時,取最大值,當,有一根.所以恰有兩個不相等的實根,所以.故選:B.【點睛】本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想,屬于中檔題.6.D【解析】

由正弦定理可求得,再由角A的范圍可求得角A.【詳解】由正弦定理可知,所以,解得,又,且,所以或。故選:D.【點睛】本題主要考查正弦定理,注意角的范圍,是否有兩解的情況,屬于基礎(chǔ)題.7.C【解析】

先化簡集合A,再與集合B求交集.【詳解】因為,,所以.故選:C【點睛】本題主要考查集合的基本運算以及分式不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.8.C【解析】

通過二項式展開式的通項分析得到,即得解.【詳解】由已知得,故當時,,于是有,則.故選:C【點睛】本題主要考查二項式展開式的通項和系數(shù)問題,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.9.A【解析】

由三視圖還原原幾何體如圖,該幾何體為組合體,上半部分為半球,下半部分為圓柱,半球的半徑為1,圓柱的底面半徑為1,高為1.再由球與圓柱體積公式求解.【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖,該幾何體為組合體,上半部分為半球,下半部分為圓柱,半球的半徑為1,圓柱的底面半徑為1,高為1.則幾何體的體積為.故選:.【點睛】本題主要考查由三視圖求面積、體積,關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.10.B【解析】由三視圖知:幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐,如圖:

直三棱柱的體積為,消去的三棱錐的體積為,

∴幾何體的體積,故選B.點睛:本題考查了由三視圖求幾何體的體積,根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)是解答此類問題的關(guān)鍵;幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐,結(jié)合直觀圖分別求出直三棱柱的體積和消去的三棱錐的體積,相減可得幾何體的體積.11.C【解析】

觀察圖表,判斷四個選項是否正確.【詳解】由表易知、、項均正確,年中國為萬億元,年中國為萬億元,則從年至年,中國的總值大約增加萬億,故C項錯誤.【點睛】本題考查統(tǒng)計圖表,正確認識圖表是解題基礎(chǔ).12.B【解析】

由題可知,,再結(jié)合雙曲線第一定義,可得,對有,即,解得,再對,由勾股定理可得,化簡即可求解【詳解】如圖,因為,所以.因為所以.在中,,即,得,則.在中,由得.故選:B【點睛】本題考查雙曲線的離心率求法,幾何性質(zhì)的應用,屬于中檔題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.2【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比設(shè)為再根據(jù)成等差數(shù)列利用基本量法求解再根據(jù)等比數(shù)列各項間的關(guān)系求解即可.【詳解】解:等比數(shù)列的公比設(shè)為成等差數(shù)列,可得若則顯然不成立,故則,化為解得,則故答案為:.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解以及運用,屬于中檔題.14.2【解析】

根據(jù)比賽場次,分析,畫出圖象,計算結(jié)果.【詳解】畫圖所示,可知目前(五)班已經(jīng)賽了2場.故答案為:2【點睛】本題考查推理,計數(shù)原理的圖形表示,意在考查數(shù)形結(jié)合分析問題的能力,屬于基礎(chǔ)題型.15.【解析】

根據(jù)均為正數(shù),等價于恒成立,令,轉(zhuǎn)化為恒成立,利用基本不等式求解最值.【詳解】由題均為正數(shù),不等式恒成立,等價于恒成立,令則,當且僅當即時取得等號,故的最大值為.故答案為:【點睛】此題考查不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍,關(guān)鍵在于合理進行等價變形,此題可以構(gòu)造二次函數(shù)求解,也可利用基本不等式求解.16.【解析】

設(shè)雙曲線方程為,代入點,計算得到答案.【詳解】雙曲線漸近線為,則設(shè)雙曲線方程為:,代入點,則.故雙曲線方程為:.故答案為:.【點睛】本題考查了根據(jù)漸近線求雙曲線,設(shè)雙曲線方程為是解題的關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)是定值,詳見解析【解析】

(1)根據(jù)長軸長為,離心率,則有求解.(2)設(shè),則,直線,令得,,則,直線,令,得,則,再根據(jù)求解.【詳解】(1)依題意得,解得,則橢圓的方程.(2)設(shè),則,直線,令得,,則,直線,令,得,則,.【點睛】本題主要考查橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系,還考查了平面幾何知識和運算求解的能力,屬于中檔題.18.(1)(2)【解析】

(1)根據(jù),得到函數(shù),然后,直接求解的值;(2)首先,化簡函數(shù),然后,結(jié)合周期公式,得到,再結(jié)合,及正弦函數(shù)的性質(zhì)解答即可.【詳解】(1)因為,所以(2)因為即因為,所以所以因為所以所以當時,.當時,(最大值)當時,在是增函數(shù),在是減函數(shù).的值域是.【點睛】本題主要考查了簡單角的三角函數(shù)值的求解方法,兩角和與差的正弦、余弦公式,三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識,考查了運算求解能力,屬于中檔題.19.(1)(2)證明見解析;定點坐標為【解析】

(1)由條件直接算出即可(2)由得,,,由可得,同理,然后由推出即可【詳解】(1)由題有,.∴,∴.∴橢圓方程為.(2)由得,.又∴,同理又∴∴∴∴∴∴,此時滿足∴∴直線恒過定點【點睛】涉及橢圓的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時,一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體帶入”等解法.20.(1);(2)見解析【解析】

(1)利用乘“1”法,結(jié)合基本不等式求得結(jié)果.(2)直接利用基本不等式及乘“1”法,證明即可.【詳解】(1)因為,所以因為,所以(當且僅當,即時等號成立),所以(2)證明:因為,所以故(當且僅當時,等號成立)【點睛】本題考查了基本不等式的應用,考查了乘“1”法的技巧,考查了推理論證能力,屬于中檔題.21.(1),;(2);(3)不能,證明見解析【解析】

(1)求出,結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求解;(2)構(gòu)造,則原題等價于對任意恒成立,即時,,利用導數(shù)求最值即可,值得注意的是,可以通過代特殊值,由求出的范圍,再研究該范圍下單調(diào)性;(3)構(gòu)造并進行求導,研究單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)零點存在性定理證明即可.【詳解】(1),,曲線在點處的切線方程為,,解得.(2)記,整理得,由題知,對任意恒成立,對任意恒成立,即時,,,解得,當時,對任意,,,,,即在單調(diào)遞增,此時,實數(shù)的取值范圍為.(3)關(guān)于的方程不可能有三個不同的實根,以下給出證明:記,,則關(guān)于的方程有三個不同的實根,等價于函數(shù)有三個零點,,當時,,記,則,在單調(diào)遞增,,即,,在單調(diào)遞增,至多有一個零點;當時,記,則,在單調(diào)遞增,即在單調(diào)遞增,至多有一個零點,則至多有兩個單調(diào)區(qū)間,至多有兩個零點.因此,不可能有三個零點.關(guān)于的方程不可能有三個不同的實根.【點睛】本題考查了導數(shù)幾何意義的應用、利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)的零點存在性定理,考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想,屬于難題.22.(1)(2)填表見解析;不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提

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