第七章

隨機變量及其分布§7.1條件概率與全概率公式§7.2離散型隨機變量及其分布列§7.3離散型隨機變量的數字特征§7.4二項分布與超幾何分布§7.5正態分布1.隨機變量與離散型隨機變量【引例1】從100個電子元件（至少含3個次品）中隨機抽取三個進行檢驗，變量X表示三個元件中的次品數。討論變量X的可能性。

如果用0表示“元件為合格品”，1表示“元件為次品”，則樣本空間可以用下圖表示。第一次抽取合格品次品第二次抽取合格品次品合格品次品合格品次品合格品次品合格品次品合格品次品第三次抽取111110101100011010001000對于上面變量的可能性，你有什么發現？各樣本點與變量X的值的對應關系如圖所示。【引例2】拋擲一枚硬幣直到出現正面為止，變量Y表示需要的拋擲次數，討論Y的可能性。Y=1，拋擲結果：正Y=2，拋擲結果：反，正Y=3，拋擲結果：反，反，正Y=4，拋擲結果：反，反，反，正……如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，各樣本點與變量Y的值的對應關系如圖所示。在上面兩個隨機試驗中，每個樣本點都有唯一的一個實數與之對應。變量X，Y有如下共同點：（1）取值依賴于樣本點；（2）所有可能取值是明確的。

一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有唯一的實數X(ω)與之對應，我們稱X為隨機變量。

隨機變量的引入，使我們能用隨機變量來描述各種隨機現象，并能利用數學分析的方法對隨機試驗的結果進行深入廣泛的研究和討論。

不難發現，隨機變量的定義與函數的定義類似，這里的樣本點ω相當于函數定義中的自變量，而樣本空間Ω相當于函數的定義域，不同之處在于Ω不一定是數集。隨機變量的取值X(ω)隨著試驗結果ω的變化而變化，這使我們可以比較方便地表示一些隨機事件。Ωω1ω2ω3

隨機變量的取值隨試驗的結果而定，在試驗之前不能預知它取什么值，且它的取值有一定的概率。這些性質顯示了隨機變量與普通函數有著本質的差異。

可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量，我們稱為離散型隨機變量。通常用大寫英文字母表示隨機變量，例如X，Y，Z；用小寫英文字母表示隨機變量的取值，例如x，y，z。

例如，引例1中隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，共有4個值；引例2中隨機變量Y的可能取值為1，2，3，…，有無限個取值，但可以一一列舉出來。

現實生活中，離散型隨機變量的例子有很多。例如，某射擊運動員射擊一次可能命中的環數X，它的可能取值為0，1，2，…，10；某網頁在24h內被瀏覽的次數Y，它的可能取值為0，1，2，…；等等。

要掌握一個離散型隨機變量X的統計規律，必須且只需知道X的所有可能取值以及取每一個可能值的概率。所以我們要引入分布列的概念。2.離散型隨機變量的分布列【引例1（2）】從100個電子元件（至少含3個次品）中隨機抽取三個進行檢驗，變量X表示三個元件中的次品數。表示變量X各分布的概率。

一般地，設離散型隨機變量X的可能取值為1，2，…，，我們稱X取每一個值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列。

離散型隨機變量的分布列直觀地表示了隨機變量X取各個值的概率的規律。X取各個值各占些概率，這些概率合起來是1?？梢韵胂蟪桑焊怕?以一定的規律分布在各個可能值上。這就是上表稱為分布律的緣故。（1）分布列的表示法：圖形法（左圖）、列表法（右圖）。（2）分布列的性質：1°非負性：pi>0，i=1，2，…，n;2°正則性：p1+p2+……+pn=1

利用分布列和概率的性質，可以計算由離散型隨機變量表示的事件的概率。例：擲一枚質地均勻的骰子，X表示擲出的點數則事件“擲出m點”可以表示為{X=m}(m=1，2，3，4，5，6)，由擲出各種點數的等可能性，可得可列出下表表示隨機變量X的分布列：由概率的加法公式，得事件“擲出的點數不大于2”的概率為類似地，事件“擲出偶數點”的概率為【例1】一批產品中次品率為5%，隨機抽取1件，定義求X的分布列。解：根據X的定義，{X=1}=“抽到次品”，{X=0}=“抽到正品”，則P(X=0)=0.95，P(X=1)=0.05X01P0.950.05對于只有兩個可能結果的隨機試驗，我們稱X服從兩點分布或0-1分布。X01P1-pp【例2】某學校高二年級有200名學生，他們的體育綜合測試成績分5個等級，每個等級對應的分數和人數如下表所示。從這200名學生中任意選取1人，求所選同學分數X的分布列，以及P(X≥4)。等級不及格及格中等良優秀分數12345人數2050604030解：由題意知，X是一個離散型隨機變量，其可能取值為1，2，3，4，5，且{X=1}=“不及格”，{X=2}=“及格”，{X=3}=“中等”，{X=4}=“良”，{X=5}=“優”。【例3