絕密★啟用前2024年中考押題預測卷【常州卷】數學（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一．選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）1．計算x5÷x2的結果是（）A．x10 B．x7 C．x3 D．x2【分析】根據同底數冪的除法法則：底數不變，指數相減，可得答案．【解答】解：原式＝x5﹣2＝x3，故選：C．【點評】本題考查了同底數冪的除法，熟記法則并根據法則計算是解題關鍵．2．分式QUOTE|??|?4???4的值為0，則x的值是（）A．0 B．﹣4 C．4 D．﹣4或4【分析】根據分母不為零分子為零的條件進行解題即可．【解答】解：∵分式QUOTE|??|?4???4的值為0，∴|x|﹣4＝0且x﹣4≠0，解得x＝﹣4．故選：B．【點評】本題考查分式的值為零的條件，掌握分母不為零分子為零的條件是解題的關鍵．3．如圖是一個由8個相同的正方體組成的立體圖形，它的主視圖是（）A． B． C． D．【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都應表現在主視圖中，看得見的用實線，看不見的用虛線，虛實重合用實線．【解答】解：從正面看，底層是三個小正方形，上層的左邊是一個小正方形．故選：A．【點評】本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖．4．已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個根，則a2b+ab2的值是（）A．﹣1 B．﹣5 C．﹣6 D．6【分析】根據根與系數的關系，可得出ab和a+b的值，再代入即可．【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個根，∴ab＝﹣3，a+b＝2，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣3×2＝﹣6，故選：C．【點評】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．5．2023年9月23日，第19屆亞運會在杭州開幕，開幕式現場直播及相關報道在多媒體平臺的總播放量約為503000000次，其中數據“503000000”用科學記數法表示為（）A．50.3×107 B．5.03×108 C．50.3×108 D．5.03×109【分析】根據科學記數法的表示方法求解即可．【解答】解：503000000＝5.03×108．故選：B．【點評】本題主要考查科學記數法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．解題關鍵是正確確定a的值以及n的值．6．若點（﹣m，3）與點（﹣5，n）關于y軸對稱，則（）A．m＝﹣5，n＝3 B．m＝5，n＝3 C．m＝﹣5，n＝﹣3 D．m＝﹣3，n＝5【分析】根據關于y軸對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數，縱坐標不變．即點P（x，y）關于y軸的對稱點P′的坐標是（﹣x，y），進而得出答案．【解答】解：∵點（﹣m，3）與點（﹣5，n）關于y軸對稱，∴m＝﹣5，n＝3，故選：A．【點評】此題主要考查了關于y軸對稱點的性質，正確記憶關于坐標軸對稱點的性質是解題關鍵．7．小明按照以下步驟畫線段AB的三等分點：畫法圖形（1）以A為端點畫一條射線；（2）用圓規在射線上依次截取3條等長線段AC、CD、DE，連接BE；（3）過點C、D分別畫BE的平行線，交線段AB于點M、N．M、N就是線段AB的三等分點．這一畫圖過程體現的數學依據是（）A．兩直線平行，同位角相等 B．兩條平行線之間的距離處處相等 C．在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行 D．兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例【分析】根據平行線分線段成比例定理解答即可．【解答】解：∵CM∥DN∥BE，∴AC：CD：DE＝AM：MN：NB，∵AC＝CD＝DE，∴AM＝MN＝NB，∴這一畫圖過程體現的數學依據是兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例，故選：D．【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，尺規作圖，掌握平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．8．如圖1，掛在彈簧測力計上的長方體鐵塊浸沒在水中，提著彈簧測力計使鐵塊勻速上移，直至鐵塊浮出水面停留在空中（不計空氣阻力），則以下物理量：鐵塊受到的浮力、彈簧測力計讀數，容器底部受到的液體壓強、水面高度，其中兩個量與時間t之間的關系大致可以用圖2、圖3中的圖象來描述，那么對圖2、圖3的解讀正確的是（）A．圖2表示彈簧測力計的讀數和時間的函數圖象 B．圖2表示容器底部受到的液體壓強和時間的函數圖象 C．圖2表示水面高度和時間的函數圖象 D．圖3表示鐵塊受到的浮力和時間的函數圖象【分析】鐵塊露出水面以前，F拉+F浮＝G，浮力不變，當鐵塊慢慢露出水面開始，浮力減小，當鐵塊完全露出水面后，浮力為0；彈簧測力計讀數為：開始一段的鐵塊在空氣中的重量保持不變，當鐵塊進入水中的過程中，重量逐漸減小，直到全部進入水中，重量保持不變．【解答】解：鐵塊露出水面以前，F拉+F浮＝G，浮力不變，當鐵塊慢慢露出水面開始，浮力減小，當鐵塊完全露出水面后，浮力為0；彈簧測力計讀數為：鐵塊露出水面以前，F拉+F?。紾，浮力不變，故此過程中彈簧的度數不變，當鐵塊慢慢露出水面開始，浮力減小，則拉力增加，當鐵塊完全露出水面后，拉力等于重力，故圖2表示彈簧測力計的讀數和時間的函數圖象．故選：A．【點評】本題考查函數圖象，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合和分類討論的數學思想解答．第Ⅱ卷二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）9．QUOTE116116的算術平方根是QUOTE1212．【分析】先計算QUOTE116116的值，再根據算術平方根的概念解答即可．【解答】解：QUOTE116=141∴QUOTE1414的算術平方根是：QUOTE14=1214故答案為：QUOTE1212．【點評】此題考查的是算術平方根，一般地，如果一個正數x的平方等于a，即x2＝a，那么這個正數x叫做a的算術平方根．10．因式分解：2ab2﹣4ab+2a＝2a（b﹣1）2．【分析】提公因式后利用完全平方公式計算即可．【解答】解：原式＝2a（b2﹣2b+1）＝2a（b﹣1）2，故答案為：2a（b﹣1）2．【點評】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．11．﹣12024×（π﹣3.14）0﹣（QUOTE）﹣2＝﹣10．【分析】先化簡各式，然后再進行計算即可解答．【解答】解：﹣12024×（π﹣3.14）0﹣（QUOTE）﹣2＝﹣1×1﹣9＝﹣1﹣9＝﹣10，故答案為：﹣10．【點評】本題考查了實數的運算，零指數冪，負整數指數冪，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．12．在對物體做功一定的情況下，力F（N）與此物體在力的方向上移動的距離s（m）成反比例函數關系，其圖象如圖所示，點P（4，3）在圖象上，則當力達到10N時，物體在力的方向上移動的距離是1.2m．【分析】利用點P的坐標求出FQUOTE=12??=12s，當F＝10時，即FQUOTE=12??==12s【解答】解：設函數的表達式FQUOTE=????=ks將點P的坐標代入上式得：3QUOTE=??4=k4，解得k則反比例函數表達式為FQUOTE=12??=12s當F＝10時，即FQUOTE=12??==12解得s＝1.2（m），故答案為：1.2．【點評】本題考查反比例函數系數k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點分別向兩條坐標軸作垂線，與坐標軸圍成的矩形面積就等于|k|．本知識點是中考的重要考點，同學們應高度關注．13．如圖，將一個圓錐展開后，其側面是一個圓心角為108°，半徑為12cm的扇形，則該圓錐的底面圓的半徑為3.6cm．【分析】根據弧長公式求出扇形弧長，根據圓的面積公式計算，得到答案．【解答】解：∵扇形的圓心角為108°，半徑為12cm，∴扇形弧長QUOTE7.2π（cm），∴圓錐的底面周長為7.2πcm，∴圓錐的底面半徑QUOTE3.6（cm），故答案為：3.6．【點評】本題考查的是圓錐的計算，掌握圓錐的底面圓周長是扇形的弧長是解題的關鍵．14．如圖，在4×4的正方形方格中，陰影部分是涂黑7個小正方形所形成的圖案，再將剩下的9個白色小正方形任選1個涂黑，則能使得到的新圖案成為一個軸對稱圖形的概率為QUOTE1313．【分析】根據軸對稱圖形的概念：把一個圖形沿著某條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合及正方形的對稱軸是兩條對角線所在的直線和兩組對邊的垂直平分線，得出結果．【解答】解：如圖所示：符合題意的圖形有3種．∴能使得到的新圖案成為一個軸對稱圖形的概率為QUOTE1313．故答案為：QUOTE1313．【點評】此題主要考查了利用軸對稱設計圖案，此題要首先找到大正方形的對稱軸，然后根據對稱軸，進一步確定可以涂黑的正方形是解題關鍵．15．如圖所示，∠AOB是放置在正方形網格中的一個角，則tan∠AOB的值是1．【分析】連接AB，設正方形網格中的小正方形邊長為1，由勾股定理得QUOTE????=10AB=10，QUOTE????=10OA=10，QUOTE????=25OB=25，再利用勾股定理得逆定理可證△OAB為直角三角形，然后根據正切函數的定義可得出答案．【解答】解：連接AB，如圖所示：設正方形網格中的小正方形邊長為1，由勾股定理得：QUOTE????=12+32=10AB=12+32=10，QUOTE????=12+∵QUOTE????2+????2=(10)2+(10)2=20∴AB2+OA2＝OB2，∴△OAB為直角三角形，即∠OAB＝90°，∴QUOTE．【點評】此題主要考查了正切函數的定義，解答此題的關鍵熟練掌握正切函數的定義，難點是是根據網格的特征，利用勾股定理及其逆定理證明△OAB為直角三角形．16．如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點D是⊙O上一點，∠CDB＝55°，則∠ABC＝35°．【分析】根據圓周角定理和三角形的內角和定理即可得到結論．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝∠D＝55°，∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝35°，故答案為：35．【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心：熟練掌握三角形的外心的定義與性質．也考查了圓周角定理．17．如圖，一根細線上端固定，下端系一個小重物，讓這個小重物來回自由擺動，來回擺動一次所用的時間t（單位：s）與細線長度1（單位：m）之間滿足關系QUOTE．當細線的長度為0.4m時，小重物來回擺動一次所用的時間是1.3s（結果保留小數點后一位）．【分析】直接把l＝0.4m代入關系式QUOTE即可求出t的值．【解答】解：把l＝0.4m代入關系式QUOTE得，∴t＝2πQUOTE0.410=0.410=答：小重物來回擺動一次所用的時間大約是1.3s．故答案為：1.3．【點評】此題考查的是二次根式的應用，熟練掌握算術平方根的定義是解題關鍵．18．如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，點D為△ABC所在平面內一點，∠BDC＝90°，以AC、CD為邊作平行四邊形ACDE，則CE的最小值為QUOTE10?210?2【分析】延長AE交BD于點F，根據平行四邊形的性質可得AE∥CD，可得∠AFB＝∠BDC＝90°，可以證明△AFB≌△DFE，可得∠AEB＝135°，點E的運動軌跡為圓的運動軌跡，假設點E所在圓的圓心為M，連接MB，MA，MC，MC與圓M交于點E′，根據圓外的點到圓上的點的距離最值可得，CE′即為CE的最小值，利用勾股定理可得CM的值，進而可得CE的最小值．【解答】解：如圖，延長AE交BD于點F，連接BE，∵四邊形ACDE是平行四邊形，∴AE∥CD，AC＝ED，∠EAC＝∠CDE，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∠BDC＝90°，∴ED＝AB＝AC＝2，∠BAF+∠CAE＝90°，∠CDE+∠EDF＝90°，∠AFB＝∠CDB＝∠DFE＝90°，∴BCQUOTE=2=2AB＝2QUOTE22，∴∠BAF＝∠EDF，在△AFB和△DFE中，QUOTE，∴△AFB≌△DFE（AAS），∴BF＝EF，∴∠BEF＝45°，∴∠AEB＝135°，∴點E的運動軌跡為圓的運動軌跡，假設點E所在圓的圓心為M，連接MB，MA，MC，MC與圓M交于點E′，則根據圓外的點到圓上的點的距離最值可得：CE′即為CE的最小值，如圖，∴∠AMB＝90°，∵AM＝BM，AB＝2，∴∠MBA＝45°，BMQUOTE=22=22ABQUOTE=2=2，∴∠MBC＝90°，∴在Rt△MBC中，MCQUOTE=????2+????2∴CE′＝CM﹣ME′QUOTE=10?2=10即CE的最小值為QUOTE10?210?2故答案為：QUOTE10?210?2【點評】本題考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、勾股定理、最短路徑問題、等腰直角三角形的性質，解決本題的關鍵是綜合運用以上知識．三．解答題（共10小題，滿分84分）19．（6分）先化簡，再求值：（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣1），其中x＝﹣1．【分析】先算乘法，再合并同類項，最后代入求出即可．【解答】解：（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣1）＝x2﹣4x+4﹣（x2﹣x+2x﹣2）＝x2﹣4x+4﹣x2﹣x+2＝﹣5x+6；當x＝﹣1時，原式＝5+6＝11．【點評】本題考查了整式的混合運算和求值的應用，主要考查學生運用法則進行計算和化簡的能力，難度適中．20．（8分）解不等式組：QUOTE，并把解集在數軸上表示出來．【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．【解答】解：由4x﹣2（x﹣1）＜4得：x＜1，由QUOTE得：x≥﹣3，則不等式組的解集為﹣3≤x＜1，將解集表示在數軸上如下：【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．21．（8分）為落實“雙減”政策，優化作業管理，某中學從全體學生中隨機抽取部分學生，調查他們每天完成書面作業的時間t（單位：分鐘）．按照完成時間分成五組：A組“t＜45”，B組“45＜t＜60”，C組“60＜t＜75”，D組“75＜t＜90”，E組“t＞90”．將收集的數據整理后，繪制成如下兩幅不完整的統計圖．根據以上信息，解答下列問題：（1）這次調查的樣本容量是100；（2）在扇形統計圖中，B組的圓心角是72度，請補全條形統計圖；（3）本次調查數據的中位數落在C組內；（4）若該校有1800名學生，請你估計該校每天完成書面作業不超過90分鐘的學生人數．【分析】（1）根據C組的人數和所占的百分比，可以計算出本次調查的人數，然后即可計算出D組的人數，從而可以將條形統計圖補充完整；（2）根據統計圖中的數據，可以計算出B組的圓心角的度數，（3）根據統計圖中的數據可以計算出中位數落在哪一組；（4）根據題意和統計圖中的數據，可以計算出該校每天完成書面作業不超過90分鐘的學生人數．【解答】解：（1）這次調查的樣本容量是：25÷25%＝100，D組的人數為：100﹣10﹣20﹣25﹣5＝40，故答案為：100；（2）在扇形統計圖中，B組的圓心角是：360°QUOTE?20100=?20補全的條形統計圖如圖所示：故答案為：72；（3）∵本次調查了100個數據，第50個數據和51個數據都在C組，∴中位數落在C組；故答案為：C；（4）1800QUOTE?100?5100=?100?5答：估計該校每天完成書面作業不超過90分鐘的學生有1710人．【點評】本題考查條形統計圖、扇形統計圖、用樣本估計總體、中位數，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．22．（8分）一只不透明的袋子中裝有4個小球，分別標有編號1，2，3，4，這些小球除編號外都相同．（1）攪勻后從中任意摸出1個球，這個球的編號是2的概率為QUOTE1414．（2）攪勻后從中任意摸出1個球，記錄球的編號后放回、攪勻，再從中任意摸出1個球．求第2次摸到的小球編號比第1次摸到的小球編號大2的概率是多少？（用畫樹狀圖或列表的方法說明）【分析】（1）直接利用概率公式求出即可；（2）用列表法或樹狀圖法列舉出所有等可能的結果，從中找出第2次摸到的小球編號比第1次摸到的小球編號大1的結果，然后利用等可能事件的概率公式求出即可．【解答】解：（1）∵一共有4個編號的小球，編號為2的有一個，∴P（任意摸出1個球，這個球的編號是2）QUOTE=14=14（2）畫樹狀圖如下：一共有16個等可能的結果，其中第2次摸到的小球編號比第1次摸到的小球編號大2的情況出現了2次，∴P（第2次摸到的小球編號比第1次摸到的小球編號大2）QUOTE=216=18【點評】本題考查概率公式，列表法和樹狀圖法求等可能事件的概率，掌握列表法和樹狀圖法求等可能事件的概率的方法是解題的關鍵．23．（8分）如圖1，在矩形ABCD中，點O在對角線AC上，以OA的長為半徑的圓O與AD，AC分別交于點E，F，且∠ACB＝∠DCE．（1）求證：△CAB∽△CED；（2）判斷直線CE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；（3）如圖2，若點E落在線段AC的垂直平分線上，CD＝2，求⊙O的半徑．【分析】（1）證明∠B＝∠D＝90°，結合∠ACB＝∠DCE，可得結論；（2）連接OE，證明∠DAC＝∠AEO，∠ACB＝∠DAC，∠AEO＝∠ACB＝∠DCE，由∠DCE+∠DEC＝90°，可得∠AEO+∠DEC＝90°，∠OEC＝180°﹣90°＝90°，即OE⊥EC，從而可得結論；（3）證明AE＝CE，可得∠DAC＝∠ECA，∠DAC＝∠ECA＝∠DCE．求出∠DAC＝∠DCE＝30°，QUOTE????=??????????30?=233DE=CDtan30?=233，QUOTE，AC＝4，QUOTE，證△EAO∽△CAE，再利用相似三角形的性質可得答案．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B＝∠D＝90°，∵∠ACB＝∠DCE，∴△CAB∽△CED．（2）解：直線CE與⊙O相切，證明如下：連接OE，∵OA＝OE，∴∠DAC＝∠AEO，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，∵∠ACB＝∠DCE，∴∠DAC＝∠DCE，∴∠AEO＝∠ACB＝∠DCE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∴∠DCE+∠DEC＝90°，∴∠AEO+∠DEC＝90°，∴∠OEC＝180°﹣90°＝90°，即OE⊥EC，∵OE為半徑，∴直線CE與⊙O相切；（3）∵點E落在線段AC的垂直平分線上，∴AE＝CE，∴∠DAC＝∠ECA，由（1）得∠DAC＝∠DCE，∴∠DAC＝∠ECA＝∠DCE．在Rt△ACD中，∠DAC+∠ECA+∠DCE＝90°，∴∠DAC＝∠DCE＝30°，∴QUOTE????=??????????30?=233DE=CDtan30?=233，QUOTE，AC＝4，∴QUOTE，∵OA＝OE，∴∠DAC＝∠AE0＝30°，∴∠AEO＝∠ACE，又∵∠EAO＝∠CAE，∴△EAO∽△CAE，∴QUOTE????????=????????AE∴QUOTE434=????43解得QUOTE????=43OA=43【點評】本題考查的是圓的綜合應用，主要考查矩形的性質，線段的垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，相似三角形的判定與性質，圓的切線的判定，銳角三角函數的應用，熟練的利用以上知識解題是關鍵．24．（8分）湖筆是我國非物質文化遺產，尤其以善璉湖筆最為出名．某傳統手工藝品網店準備在“6.18”網購節期間實施一系列優惠活動回饋新老客戶，該店針對一款原價30元/支的湖筆推出了兩種優惠方案：方案一、每支按8折銷售；方案二、當購買數量超過40支但不超過60支時，每多購買1支單價減少0.5元，當購買數量超過60支時，每支單價為20元．（1）購買數量為50支時，求方案二湖筆的單價；（2）王老師準備在該網店購買x支湖筆贈與學生留念（已知x＞40）．①根據題意填寫表：（請用含x的代數式表示）方案購買數量（支）購買單價（元）總金額（元）方案一x2424x方案二40＜x≤60（50﹣0.5x）（50﹣0.5x）xx＞602020x②王老師發現選擇方案二比選擇方案一可節省174元，求王老師購買湖筆所付的總金額．【分析】（1）利用單價＝30﹣0.5×超過40支的數量，即可求出結論；（2）①利用單價＝30﹣0.5×超過40支的數量，即可用含x的代數式表示出購買單價，再利用總金額＝購買單價×購買數量，即可用含x的代數式表示出總金額；②分40＜x≤60及x＞60兩種情況考慮，由選擇方案二比選擇方案一可節省174元，即可得出關于x的一元二次方程或一元一次方程，解之即可得出x的值，再將其符合題意的值代入（50﹣0.5x）x中即可求出結論．【解答】解：（1）30﹣0.5×（50﹣40）＝30﹣0.5×10＝30﹣5＝25（元）．答：購買數量為50支時，方案二湖筆的單價為25元．（2）①依題意得：當40＜x≤60時，湖筆的單價為30﹣0.5（x﹣40）＝（50﹣0.5x）元，總金額為（50﹣0.5x）x元．故答案為：（50﹣0.5x）；（50﹣0.5x）x．②當40＜x≤60時，24x﹣（50﹣0.5x）x＝174，整理得：x2﹣52x﹣348＝0，解得：x1＝58，x2＝﹣6（不符合題意，舍去），∴（50﹣0.5x）x＝（50﹣0.5×58）×58＝1218；當x＞60時，24x﹣20x＝174，解得：x＝43.5（不符合題意，舍去）．答：王老師購買湖筆所付的總金額為1218元．【點評】本題考查了一元二次方程的應用、一元一次方程的應用、列代數式以及有理數的混合運算，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．25．（8分）如圖，已知反比例函數QUOTE??=????y=kx的圖象與一次函數y＝ax+b的圖象交于點A（1，4），B（﹣4，n（1）求n，a與b的值；（2）若QUOTE，請直接寫出x的取值范圍；（3）求△OAB的面積．【分析】（1）把A點（1，4）分別代入反比例函數yQUOTE=????=kx，求出k值，再把點B的坐標代入反比例函數解析式求出n的值，然后利用待定系數法即可確定a、b（2）根據A、B的坐標結合圖象即可得出答案．（3）求出直線AB與x軸的交點C的坐標，分別求出△ACO和△BOC的面積，然后相加即可．【解答】解：（1）把A點（1，4）分別代入反比例函數yQUOTE=????=kx得k＝1×4＝4，∴反比例函數為yQUOTE=4??=4x∵點B（﹣4，n）也在反比例函數yQUOTE=4??=4x∴nQUOTE=4?4=?=4∴B（﹣4，﹣1），∵一次函數y＝ax+b的圖象過點A（1，4），B（﹣4，﹣1），∴QUOTE??+??=4?4??+??=?1a+b=4?4a+b=?1，解得a＝1，b＝3；（2）根據圖象可知：QUOTE的x的取值范圍為﹣4＜x＜0或x＞1．（3）如圖，設直線y＝x+3與x軸的交點為C，當y＝0時，x＝﹣3，∴C（﹣3，0），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOCQUOTE3×4QUOTE．【點評】本題是一次函數和反比例函數的交點問題，考查了待定系數法求函數的解析式，反比例函數圖象上點的坐標特征，三角形的面積，函數與不等式的關系，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目，用了數形結合思想．26．（10分）在△ABC中，P是BC邊上的一動點，連接AP．（1）如圖1，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠BAP＝15°，且PCQUOTE=3+=3+1．求：△ABP（2）如圖2，若∠BAC＝90°，AB＝AC，AP為邊作等腰Rt△APE，連接BE，F是BE的中點，連接AF，猜想PE，PB，AF之間有何數量關系？并證明你的結論．（3）如圖3，作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，若∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝9﹣3QUOTE33，當DE最小時，請直接寫出DE的最小值．【分析】（1）過A作AD⊥BC于D，由等腰直角三角形的性質∠B＝∠C＝45°，ADQUOTE=12=12BC＝BD＝CD，再由含30°角的直角三角形的性質得AP＝2PD，則ADQUOTE=3=3PD，設PD＝x，則ADQUOTE=3=3x，則CD＝ADQUOTE=3=3x，然后由PD+CD＝PC，PCQUOTE=3+=3+1，求出x＝1，即可解決問題；（2）連接CE幷延長，交BA的延長線于D，證△CAE≌△BAP（SAS），得EC＝PB，∠ACE＝∠ABP＝45°，則∠PCE＝90°，再由勾股定理得PC2+EC2＝PE2，則PC2+PB2＝PE2，然后由三角形中位線定理得DE＝2AF，證△PAC≌EAD（ASA），得PC＝DE，即可得出結論；（3）證A、E、P、D四點共圓，且AP為直徑，當AP⊥BC時，線段DE的值最小，再證△ADE∽△ACB，得QUOTE????????=????????ADAC=DEBC，設AE＝2x，則PE＝CE＝2x，AP＝2QUOTE22x，取AP的中點O，連接OD，則ODQUOTE=12=12AP＝OA＝OPQUOTE=2=2x，過D作DM⊥AP于M，則DMQUOTE=22=22x，然后求出AMQUOTE=2=2xQUOTE+62+62x，AD＝（QUOTE3+3+1）【解答】解：（1）過A作AD⊥BC于D，如圖1所示：則∠ADP＝90°，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，ADQUOTE=12=12BC＝BD＝CD∵∠BAP＝15°，∴∠APD＝∠B+∠BAP＝45°+15°＝60°，∴∠PAD＝90°﹣60°＝30°，∴AP＝2PD，∴ADQUOTE=????2?????2=設PD＝x，則ADQUOTE=3=3x，∴CD＝ADQUOTE=3=3x，∵PD+CD＝PC，PCQUOTE=3+=3+∴xQUOTE+3+3xQUOTE=3+=3+1，解得：x＝1，∴BD＝CD＝ADQUOTE=3=3，∴BP＝BD﹣PDQUOTE=3?=3?∴S△ABPQUOTE=12=12BP×ADQUOTE（QUOTE3?3?1）QUOTE；（2）PE2＝PB2+4AF2，證明如下：連接CE幷延長，交BA的延長線于D，如圖2所示：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠BAP+∠CAP＝90°，∠ABC＝∠ACB＝45°，∵△APE是等腰直角三角形，∴∠PAE＝90°，AP＝AE，∴∠CAE+∠CAP＝90°，∴∠CAE＝∠BAP，∴△CAE≌△BAP（SAS），∴EC＝PB，∠ACE＝∠ABP＝45°，∴∠PCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，∴PC2+EC2＝PE2，∴PC2+PB2＝PE2，∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＝90°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AC＝AD，∵AB＝AC，∴AB＝AD，又∵F是BE的中點，∴AF是△BDE的中位線，∴DE＝2AF，∵∠PAE＝∠CAD＝90°，∴∠PAE﹣∠CAE＝∠CAD﹣∠CAE，即∠PAC＝∠EAD，又∵∠ACP＝∠ADE＝45°，∴△PAC≌EAD（ASA），∴PC＝DE，∴PC＝2AF，∴（2AF）2+PB2＝PE2，∴PE2＝PB2+4AF2；（3）∵PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，∴∠ADP＝∠AEP＝90°，∴∠ADP+∠AEP＝180°，∴A、E、P、D四點共圓，且AP為直徑，∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣75°﹣45°＝60°是定值，∴直徑AP最小時，∠DAE所對的弦最小，∴當AP⊥BC時，線段DE的值最小，在Rt△PEC中，∠C＝45°，∴△PEC是等腰直角三角形，∠APE＝45°，∴△APE是等腰直角三角形，∴∠PAE＝45°，AE＝PE，∴∠PDE＝∠PAE＝45°，∴∠ADE＝45°，∴∠ADE＝∠C＝45°，∵∠EAD＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB，∴QUOTE????????=????????AD設AE＝2x，則PE＝CE＝2x，AP＝2QUOTE22x，∴AC＝4x，如圖3，取AP的中點O，連接EO，則ODQUOTE=12=12AP＝OA＝OPQUOTE=2=2x，∵∠DAP＝∠BAC﹣∠PAE＝60°﹣45°＝15°，∴∠DOP＝2∠DAO＝30°，過D作DM⊥AP于M，則DMQUOTE=12=12ODQUOTE=22=22∵cos∠DOP＝cos30°QUOTE=????????=32∴OMQUOTE=32=32ODQUOTE=62=62∴AMQUOTE=2=2xQUOTE+62+62x，由勾股定理得：ADQUOTE=????2+????2=(2??+62??)2+(∴QUOTE(3+1)??4??=????9?3解得：DEQUOTE=332=3則線段DE的最小值為QUOTE332332【點評】本題是三角形綜合題目，考查了等腰直角三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質、四點共圓、圓周角定理、含30°角的直角三角形的性質、勾股定理、銳角三角函數定義、三角形面積以及垂線段最短等知識，本題綜合性強，有一定難度，正確作出輔助線，證明三角形全等和三角形相似是解題的關鍵，屬于中考?？碱}型．27．（10分）如圖，已知拋物線的解析式為yQUOTEx2QUOTEx+3，拋物線與x軸交于點A和點B，與y軸交點于點C．（1）請分別求出點A、B、C的坐標和拋物線的對稱軸；（2）連接AC、BC，將△ABC繞點B順時針旋轉90°，點A、C的對應點分別為M、N，求點M、N的坐標；（3）若點P為該拋物線上一動點，在（2）的條件下，請求出使|NP﹣BP|最大時點P的坐標，并請直接寫出|NP﹣BP|的最大值．【分析】（1）提取二次項系數后分解因式，可以得出拋物線與x軸交點，令x＝0代入可以得到與y軸的交點，把解析式配方后可得對稱軸；（2）根據題意作出幾何圖形，通過旋轉性質以及通過AAS求證△OBC≌△QNB即可分別求出M、N的坐標；（3）分析題意可得出，當P，N，B在同一直線上時，|NP﹣BP|的值最大，聯立直線BN解析式以及拋物線解析式即可求出P的坐標．【解答】解：（1）∵yQUOTEx2QUOTEx+3QUOTE（x+4）（x﹣1）QUOTE（xQUOTE+32+32）2QUOTE+7516+7516，∴A（﹣4，0），B（1，0），C（0，3），對稱軸為直線xQUOTE；（2）如圖所示：過N作NQ⊥x軸于點Q，由旋轉性質得MB⊥x軸，∠CBN＝90°，BM＝AB＝5，BN＝BC，∴M（1，5），∠OBC+∠QBN＝90°，∵∠OBC+∠BCO＝90°，∴∠BCO＝∠QBN，又∵∠BOC＝∠NQB＝90°，BN＝BC，∴△OBC≌△QNB（AAS），∴BQ＝OC＝3，NQ＝OB＝1，∴OQ＝1+3＝4，∴N（4，1）；（3）設直線NB的解析式為y＝kx+b．∵B（1，0）、N（4，1）在直線NB上，∴QUOTE??+??=04??+??=1k+b=04k+b=1，解得：QUOTE??=13??=?13∴直線NB的解析式為：yQUOTE=13=13xQUOTE，當點P，N，B在同一直線上時|NP﹣BP|＝NBQUOTE=32+12=當點P，N，B不在同一條直線上時|NP﹣BP|＜NB，∴當P，N，B在同一直線上時，|NP﹣BP|的值最大，即點P為直線NB與拋物線的交點．解方程組：QUOTE??=13???13??=?解得：QUOTE??1=1??1=0x1=1y1=0或QUOTE∴當P的坐標為（1，0）或（QUOTE，QUOTE）時，|NP﹣BP|的值最大，此時最大值為QUOTE1010．【點評】本題屬于二次函數綜合題，考查待定系數法，旋轉性質，全等三角形的判定與性質等知識，本題的關鍵是數形相結合，以及正確討論出當P，N，B在同一直線上時，|NP﹣BP|的值最大是解題的關鍵．28．（10分）（1）發現：如圖1，正方形ABCD中，點E在CD邊上，將△ADE沿AE對折得到△AFE，延長EF交BC邊于點G，連接AG．證明：BG+DE＝EG．（2）探究：如圖2，矩形ABCD中AD＞AB，O是對角線的交點，過O任作一直線分別交BC、AD于點M、N，四邊形AMNE是由四邊形CMND沿MN翻折得到的，連接CN，若△CDN的面積與△CMN的面積比為1：3，求QUOTE????????MNDN的值．（3）拓展：如圖3，在菱形ABCD中，AB＝6，E為CD邊上的三等分點，∠D＝60°．將△ADE沿AE翻折得到△AFE，直線EF交BC于點P，求PC的長．【分析】（1）由正方形的性質得∠D＝∠B＝90°，AD＝AB，再由翻折的性質得AD＝AF，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°，則AB＝AF，∠B＝∠AFG，然后證Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），得BG＝GF，即可得出結論；（2）由翻折的性質得到AM＝CM，AE＝CD，∠E＝∠D，∠AMN＝∠CMN，證△ANE≌△CND（AAS），得AN＝CN，再由矩形的性質得∠ANM＝∠CMN，證得AM＝AN＝CM＝CN，根據已知條件和三角形的面積公式得到DN：CM＝1：3，設DN＝k，則CN＝CM＝3k，過N作NG⊥MC于點G，則CG＝DN＝k，MG＝2k，求出NG＝2QUOTE22k，MN＝2QUOTE33k，即可得出答案；（3）①當DEQUOTE=13=13DC＝2時，延長FE交AD于點Q，過點Q作QH⊥CD于點H，過點E作EM⊥AQ于點M，作EN⊥AF于點N，過點A作AR⊥FQ于點R，設DQ＝x，QE＝y，則AQ＝6﹣x，再證△CPE∽△DQE，推出CP＝2DQ＝2x，由翻折的性質得EF＝DE＝2，AF＝AD＝6，∠QAE＝∠FAE，然后由面積法證得QUOTE????????=????????AQAF=QEEF，得出y＝2QUOTEx，求出HE＝2QUOTEx，HQQUOTE=32=32x，由勾股定理得（2QUOTEx）2+（QUOTE3232x）2＝y2，解出x的值，即可得出答案；②當CEQUOTE=13=13DC＝2時，延長FE交AD于點Q′，過點Q′作Q′H′⊥CD于點H′，則DE＝4，設DQ′＝x′，Q′E＝y′，則AQ′＝6+x′，同理求出CPQUOTE=12=12DQ′QUOTE=12=12x′，QUOTE????'????=??'??????AQ'AF=Q'EEF，得出y′＝4QUOTE+23+23x′，再求出H′E＝4QUOTE+12+12x′，H′Q′QUOTE=32=32x′，由勾股定理得（QUOTE3232x′）2+（4QUOTE+12+12x′）2＝y′2，解出【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝AB，由翻折的性質得：AD＝AF，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°，∴AB＝AF，∠AFG＝∠AFE＝90°，∴∠B＝∠AFG＝90°，在Rt△ABG和Rt△AFG中，QUOTE????=????????=????AB=AFAG=AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴BG＝GF，∴BG+DE＝GF+EF＝EG；（2）解：由翻折的性質得，AM＝CM，AE＝CD，∠E＝∠D，∠AMN＝∠CMN