RBF網絡直接廣義預測控制：算法、收斂性與應用洞察一、引言1.1研究背景與意義在現代工業生產與科學研究領域，控制系統的高效性和穩定性至關重要。隨著科技的飛速發展，各類系統的復雜度不斷增加，傳統的控制方法在面對這些復雜系統時逐漸暴露出局限性。復雜系統往往具有非線性、時變性、不確定性以及多變量耦合等特性，例如化工生產過程中的化學反應系統，其反應速率、物質濃度等參數會隨著時間和環境條件的變化而改變，且各變量之間相互影響；又如航空航天領域的飛行器控制系統，在飛行過程中，飛行器會受到氣流、重力等多種因素的干擾，其動力學模型呈現出高度的非線性和不確定性。這些復雜特性使得傳統控制方法難以實現精確的控制，無法滿足實際應用的需求。廣義預測控制（GeneralizedPredictiveControl，GPC）作為一種先進的控制算法，因其能夠有效地克服系統滯后、可應用于開環不穩定非最小相位系統等優點，在工業界得到了廣泛關注。GPC通過建立系統的預測模型，利用過去和當前的信息預測系統未來的輸出，并根據預測結果優化控制輸入，從而實現對系統的有效控制。在實際應用中，GPC需要在線遞推求解Diophantine方程及矩陣求逆等，這導致其計算量很大，限制了它在實時性要求高的快速系統中的應用。徑向基函數（RadialBasisFunction，RBF）網絡是一種性能優良的前饋型神經網絡，具有強大的非線性映射能力，能夠以任意精度逼近任意的非線性函數。它可以自動進行特征映射，無需復雜的多層前饋網絡訓練過程，優化算法往往簡單有效。RBF網絡的這些特性為解決廣義預測控制中的計算量問題提供了新的途徑。將RBF網絡與廣義預測控制相結合，提出RBF網絡直接廣義預測控制方法，利用RBF網絡來逼近控制增量表達式，直接設計出廣義預測控制器，能夠避免傳統廣義預測控制中復雜的Diophantine方程計算和矩陣求逆過程，降低計算量，提高控制算法的實時性和有效性。對RBF網絡直接廣義預測控制及其收斂性進行深入研究具有重要的理論意義和實際應用價值。在理論方面，深入探討RBF網絡直接廣義預測控制的原理、算法結構以及收斂性條件，有助于完善預測控制理論體系，為其他相關控制算法的研究提供理論基礎和借鑒。通過研究RBF網絡在廣義預測控制中的作用機制，能夠進一步揭示神經網絡與預測控制相結合的內在規律，拓展神經網絡在控制領域的應用理論。在實際應用中，該研究成果可以為工業生產、航空航天、智能交通等眾多領域的復雜系統控制提供更有效的解決方案。在工業生產中，能夠提高生產過程的自動化水平和產品質量，降低生產成本；在航空航天領域，有助于提升飛行器的飛行性能和安全性；在智能交通系統中，可以優化交通流量控制，提高交通效率，減少交通擁堵。1.2國內外研究現狀隨著工業自動化程度的不斷提高，復雜系統的控制需求日益增長，RBF網絡直接廣義預測控制作為一種結合了神經網絡和預測控制優勢的新型控制方法，受到了國內外學者的廣泛關注。在國外，早在20世紀90年代，研究人員就開始探索神經網絡在預測控制中的應用。一些學者率先嘗試將RBF網絡用于系統建模，利用其強大的非線性映射能力來逼近復雜系統的動態特性。通過大量的仿真和實驗研究，證實了RBF網絡在處理非線性問題上的有效性，為后續與廣義預測控制的結合奠定了基礎。此后，部分學者將RBF網絡引入廣義預測控制中，提出了基于RBF網絡的廣義預測控制算法。他們通過改進RBF網絡的結構和參數學習算法，提高了控制器的性能和適應性。有研究采用在線學習的RBF網絡，實時調整控制器的參數，以適應系統的時變特性，在化工過程控制的仿真實驗中取得了較好的控制效果，有效提高了產品質量和生產效率。在機器人控制領域，利用RBF網絡直接廣義預測控制方法，能夠使機器人在復雜環境下更準確地跟蹤目標軌跡，提高了機器人的運動精度和靈活性。國內對RBF網絡直接廣義預測控制的研究起步相對較晚，但發展迅速。近年來，眾多高校和科研機構投入了大量的研究力量。一些學者針對國內工業生產中常見的非線性、時變系統，提出了具有針對性的RBF網絡直接廣義預測控制策略。在電力系統中，通過該控制方法對發電機組的輸出進行控制，有效提高了電力系統的穩定性和電能質量，降低了能源消耗。在智能交通系統中，運用RBF網絡直接廣義預測控制來優化交通信號配時，顯著緩解了交通擁堵狀況，提高了道路通行能力。還有學者在理論研究方面取得了重要進展，深入分析了RBF網絡直接廣義預測控制的穩定性和收斂性，為該方法的實際應用提供了堅實的理論保障。通過嚴格的數學推導，得出了控制器收斂的充分條件，為算法的設計和參數調整提供了明確的指導。當前研究雖然取得了豐碩的成果，但仍存在一些不足之處。在模型的準確性和適應性方面，盡管RBF網絡具有很強的非線性逼近能力，但對于一些高度復雜、具有強不確定性的系統，其模型的精度仍有待提高。在實際應用中，系統的運行環境往往復雜多變，存在各種干擾和不確定性因素，如何使RBF網絡更好地適應這些變化，提高模型的魯棒性，是亟待解決的問題。在計算效率方面，雖然RBF網絡直接廣義預測控制在一定程度上降低了計算量，但在處理大規模系統或實時性要求極高的場景時，計算速度仍然難以滿足要求。此外，在控制器的設計和參數優化方面，目前缺乏統一的、系統的方法，大多依賴于經驗和試錯，這增加了控制器設計的難度和成本。1.3研究內容與方法1.3.1研究內容本文圍繞RBF網絡直接廣義預測控制及其收斂性展開深入研究，具體內容如下：RBF網絡直接廣義預測控制算法設計：詳細闡述RBF網絡直接廣義預測控制的基本原理，深入分析其控制結構和算法流程。研究如何利用RBF網絡強大的非線性映射能力來逼近控制增量表達式，直接設計出廣義預測控制器。通過對RBF網絡的結構優化和參數調整，提高控制器對復雜系統的控制性能。確定RBF網絡的隱層節點數量、中心位置、寬度參數以及網絡權值的調整策略，以實現對控制增量的準確逼近。RBF網絡直接廣義預測控制的穩定性分析：基于李雅普諾夫穩定性理論，對RBF網絡直接廣義預測控制系統的穩定性進行嚴格分析。推導系統穩定的充分條件，明確控制器參數與系統穩定性之間的關系。通過理論分析和仿真驗證，研究不同參數設置對系統穩定性的影響，為控制器的設計和參數優化提供理論依據。RBF網絡直接廣義預測控制的收斂性研究：深入探討RBF網絡直接廣義預測控制算法的收斂性，分析收斂速度和收斂條件。運用數學方法推導算法的收斂性證明，研究在不同條件下算法的收斂性能。通過仿真實驗，驗證理論分析結果，探究如何提高算法的收斂速度，減少計算時間，提高控制算法的實時性。仿真實驗與結果分析：搭建典型非線性系統的仿真模型，將RBF網絡直接廣義預測控制方法與傳統廣義預測控制方法以及其他先進控制方法進行對比研究。在仿真實驗中，設置不同的工況和干擾條件，全面評估各種控制方法的控制性能，包括跟蹤精度、抗干擾能力、響應速度等指標。對仿真結果進行詳細分析，總結RBF網絡直接廣義預測控制方法的優勢和不足，提出進一步改進的方向。1.3.2研究方法本文綜合運用理論分析、仿真實驗等研究方法，深入開展RBF網絡直接廣義預測控制及其收斂性的研究：理論分析方法：通過數學推導和證明，深入研究RBF網絡直接廣義預測控制的算法原理、穩定性和收斂性。運用系統建模理論，建立被控系統的數學模型；借助李雅普諾夫穩定性理論、矩陣分析等數學工具，推導系統穩定和算法收斂的條件，為控制器的設計和分析提供堅實的理論基礎。在穩定性分析中，根據李雅普諾夫函數的定義，構造合適的李雅普諾夫函數，通過對其導數的分析來判斷系統的穩定性。仿真實驗方法：利用MATLAB等仿真軟件，搭建RBF網絡直接廣義預測控制系統的仿真平臺。在仿真實驗中，模擬實際系統的運行環境和工況，設置各種干擾和不確定性因素，對控制算法的性能進行全面測試和驗證。通過對比不同控制方法的仿真結果，直觀地評估RBF網絡直接廣義預測控制方法的優勢和效果，為理論研究提供有力的支持。針對一個典型的非線性化工過程系統，在MATLAB中建立其仿真模型，分別采用RBF網絡直接廣義預測控制和傳統廣義預測控制進行仿真實驗，對比分析兩種方法在不同工況下的控制性能。二、相關理論基礎2.1RBF網絡理論2.1.1RBF網絡結構RBF網絡是一種前饋型神經網絡，其結構通常由輸入層、隱含層和輸出層組成。輸入層的作用是接收外部輸入信號，并將這些信號傳遞到隱含層。輸入層中的神經元數量與輸入變量的個數相等，每個神經元對應一個輸入變量，它們僅僅起到信號傳輸的作用，對輸入信號不進行任何變換。隱含層是RBF網絡的核心部分，其神經元數量視具體問題的復雜程度而定。隱含層中神經元的變換函數采用徑向基函數，這是一種對中心點徑向對稱且衰減的非負線性函數。最常用的徑向基函數是高斯函數，其表達式為：\phi_i(x)=e^{-\frac{\|x-c_i\|^2}{2\sigma_i^2}}其中，x是輸入向量，c_i是第i個隱含層神經元的中心，\sigma_i是第i個隱含層神經元的寬度參數，\|x-c_i\|表示輸入向量x與中心c_i之間的歐幾里得距離。徑向基函數具有局部響應特性，當輸入向量x靠近中心c_i時，函數值較大；隨著x與c_i距離的增大，函數值迅速衰減趨近于0。這種局部響應特性使得RBF網絡能夠對輸入空間的局部區域進行有效的逼近和學習。輸出層負責對隱含層的輸出進行線性組合，以產生最終的網絡輸出。輸出層神經元的數量與輸出變量的個數相等，其輸出表達式為：y_j=\sum_{i=1}^{n}w_{ji}\phi_i(x)+b_j其中，y_j是第j個輸出層神經元的輸出，w_{ji}是連接第i個隱含層神經元和第j個輸出層神經元的權重，b_j是第j個輸出層神經元的偏置，n是隱含層神經元的數量。通過調整這些權重和偏置，RBF網絡可以實現對各種復雜函數的逼近和映射。2.1.2RBF網絡的函數逼近理論RBF網絡具有強大的函數逼近能力，能夠以任意精度逼近任意連續函數。這一特性基于以下原理：根據泛函分析中的Stone-Weierstrass定理，在一個緊致空間上，任何連續函數都可以用多項式函數一致逼近。RBF網絡通過將輸入空間映射到一個高維的特征空間，在這個高維空間中，使用徑向基函數的線性組合來近似表示目標函數。由于徑向基函數的局部響應特性，RBF網絡可以在不同的局部區域對函數進行靈活的逼近，從而實現對復雜函數的精確擬合。具體來說，RBF網絡通過調整隱含層神經元的中心位置、寬度參數以及輸出層的權重和偏置，來優化網絡的逼近性能。當隱含層神經元的數量足夠多時，RBF網絡可以在輸入空間的各個區域對目標函數進行有效的采樣和逼近。通過合理選擇徑向基函數的參數，RBF網絡能夠適應不同函數的形狀和變化趨勢，實現對各種非線性函數的高精度逼近。與其他神經網絡（如BP神經網絡）相比，RBF網絡的逼近能力具有一些獨特的優勢。RBF網絡的訓練過程相對簡單，收斂速度快，能夠避免陷入局部極小值的問題。這是因為RBF網絡的輸出層權重可以通過線性最小二乘法等方法直接求解，而不需要像BP神經網絡那樣通過復雜的反向傳播算法進行迭代調整。RBF網絡的局部逼近特性使得它對局部數據的變化更加敏感，能夠更好地捕捉函數的局部特征，在處理具有局部特性的函數時表現出更好的性能。2.2廣義預測控制算法原理2.2.1多步輸出預測及Diophantine方程的遞推解廣義預測控制的核心在于對系統未來多步輸出進行準確預測，這依賴于系統的數學模型以及相關方程的求解。考慮一個線性離散時間系統，其輸出可以表示為過去輸入和輸出的線性組合，再加上一個噪聲項。為了實現多步輸出預測，需要建立預測模型，該模型基于系統的脈沖響應或傳遞函數。在廣義預測控制中，通常采用受控自回歸積分滑動平均（CARIMA）模型來描述系統，其一般形式為：A(q^{-1})y(k)=B(q^{-1})u(k-1)+C(q^{-1})\xi(k)/\Delta其中，y(k)是系統在k時刻的輸出，u(k)是系統在k時刻的輸入，\xi(k)是均值為0的白噪聲序列，q^{-1}是后移算子，滿足q^{-1}y(k)=y(k-1)，\Delta=1-q^{-1}是差分算子，A(q^{-1})、B(q^{-1})和C(q^{-1})是關于q^{-1}的多項式，分別表示為：A(q^{-1})=1+a_1q^{-1}+\cdots+a_nq^{-n}B(q^{-1})=b_0+b_1q^{-1}+\cdots+b_mq^{-m}C(q^{-1})=1+c_1q^{-1}+\cdots+c_nq^{-n}為了得到未來j步的輸出預測值\hat{y}(k+j|k)（表示基于k時刻及之前的信息對k+j時刻輸出的預測），需要求解Diophantine方程。Diophantine方程的形式為：1=E_j(q^{-1})\DeltaA(q^{-1})+q^{-j}F_j(q^{-1})其中，E_j(q^{-1})和F_j(q^{-1})是關于q^{-1}的多項式。通過求解該方程，可以將系統輸出表示為過去輸入、輸出以及未來控制輸入的函數，從而實現多步輸出預測。Diophantine方程的遞推求解過程如下：首先，對于j=1，可以通過比較等式兩邊q^{-1}的同次冪系數，得到E_1(q^{-1})和F_1(q^{-1})的系數表達式。然后，利用已求得的E_j(q^{-1})和F_j(q^{-1})，通過遞推關系來求解E_{j+1}(q^{-1})和F_{j+1}(q^{-1})。具體的遞推公式為：E_{j+1}(q^{-1})=E_j(q^{-1})+q^{-1}\DeltaA(q^{-1})e_jF_{j+1}(q^{-1})=F_j(q^{-1})-\DeltaA(q^{-1})e_j其中，e_j是通過比較等式兩邊q^{-1}的系數確定的。通過不斷迭代上述遞推公式，可以得到不同預測步長j對應的E_j(q^{-1})和F_j(q^{-1})，進而得到系統未來多步的輸出預測值。2.2.2最優控制律計算在得到系統的多步輸出預測值后，需要計算最優控制律，以實現對系統的有效控制。廣義預測控制的目標是在未來的控制時域N_u內，通過選擇合適的控制輸入序列\{u(k),u(k+1),\cdots,u(k+N_u-1)\}，使系統的輸出盡可能跟蹤參考軌跡y_r(k+j)（j=1,2,\cdots,N，N為預測時域，且N\geqN_u），同時使控制輸入的變化不過于劇烈，以保證系統的穩定性和控制的平滑性。為此，定義性能指標函數J：J=\sum_{j=1}^{N}[\hat{y}(k+j|k)-y_r(k+j)]^2+\sum_{j=1}^{N_u}\lambda_j\Deltau(k+j-1)^2其中，\lambda_j是控制加權系數，用于調節控制輸入變化的權重，\Deltau(k+j-1)=u(k+j-1)-u(k+j-2)表示控制增量。將多步輸出預測值\hat{y}(k+j|k)的表達式代入性能指標函數J中，然后對J關于控制輸入序列\{u(k),u(k+1),\cdots,u(k+N_u-1)\}求偏導數，并令偏導數為0，得到一組線性方程組。通過求解這組線性方程組，可以得到最優控制律。具體地，將性能指標函數J展開并整理成矩陣形式：J=(\mathbf{\hat{Y}}-\mathbf{Y}_r)^T(\mathbf{\hat{Y}}-\mathbf{Y}_r)+\Delta\mathbf{U}^T\mathbf{\Lambda}\Delta\mathbf{U}其中，\mathbf{\hat{Y}}=[\hat{y}(k+1|k),\hat{y}(k+2|k),\cdots,\hat{y}(k+N)|k]^T是預測輸出向量，\mathbf{Y}_r=[y_r(k+1),y_r(k+2),\cdots,y_r(k+N)]^T是參考軌跡向量，\Delta\mathbf{U}=[\Deltau(k),\Deltau(k+1),\cdots,\Deltau(k+N_u-1)]^T是控制增量向量，\mathbf{\Lambda}是對角矩陣，其對角元素為\lambda_j。對J求偏導數并令其為0，可得：\frac{\partialJ}{\partial\Delta\mathbf{U}}=2\mathbf{G}^T(\mathbf{\hat{Y}}-\mathbf{Y}_r)+2\mathbf{\Lambda}\Delta\mathbf{U}=0其中，\mathbf{G}是與系統模型和預測步長相關的矩陣。解上述方程，得到最優控制增量\Delta\mathbf{U}^*：\Delta\mathbf{U}^*=(\mathbf{G}^T\mathbf{G}+\mathbf{\Lambda})^{-1}\mathbf{G}^T(\mathbf{Y}_r-\mathbf{\hat{Y}}_0)其中，\mathbf{\hat{Y}}_0是在當前控制輸入下的預測輸出向量。得到最優控制增量后，可計算出當前時刻的最優控制輸入u(k)：u(k)=u(k-1)+\Deltau(k)其中，\Deltau(k)是最優控制增量向量\Delta\mathbf{U}^*的第一個元素。通過不斷地在線計算最優控制律，并將其應用于系統，實現對系統的動態控制，使系統輸出跟蹤參考軌跡，同時滿足控制輸入的約束條件和性能要求。三、RBF網絡直接廣義預測控制方法3.1單變量線性系統RBF網絡直接廣義預測控制3.1.1對象模型考慮一個單變量線性離散時間系統，其受控自回歸積分滑動平均（CARIMA）模型可表示為：A(q^{-1})y(k)=B(q^{-1})u(k-1)+\frac{C(q^{-1})}{\Delta}\xi(k)其中，y(k)是系統在k時刻的輸出，u(k)是系統在k時刻的輸入，\xi(k)是均值為0的白噪聲序列，q^{-1}是后移算子，滿足q^{-1}y(k)=y(k-1)，\Delta=1-q^{-1}是差分算子。A(q^{-1})、B(q^{-1})和C(q^{-1})是關于q^{-1}的多項式，具體形式為：A(q^{-1})=1+a_1q^{-1}+\cdots+a_nq^{-n}B(q^{-1})=b_0+b_1q^{-1}+\cdots+b_mq^{-m}C(q^{-1})=1+c_1q^{-1}+\cdots+c_nq^{-n}該模型描述了系統輸出與過去輸入、輸出以及噪聲之間的關系，是后續設計RBF網絡直接廣義預測控制的基礎。通過對系統的輸入輸出數據進行分析和處理，可以確定多項式A(q^{-1})、B(q^{-1})和C(q^{-1})的系數，從而建立起準確的系統模型。在實際應用中，為了提高模型的準確性和適應性，可能需要對模型進行參數辨識和優化，采用最小二乘法、遞推最小二乘法等方法對模型參數進行估計和更新。3.1.2控制器設計為了實現對單變量線性系統的有效控制，需要設計廣義預測控制器。傳統廣義預測控制需要在線遞推求解Diophantine方程及矩陣求逆，計算量較大。而RBF網絡直接廣義預測控制方法利用RBF網絡來逼近控制增量表達式，直接設計出廣義預測控制器，從而避免了復雜的計算過程。首先，根據廣義預測控制的原理，系統未來j步的輸出預測值\hat{y}(k+j|k)可以表示為過去輸入、輸出以及未來控制輸入的函數。通過求解Diophantine方程：1=E_j(q^{-1})\DeltaA(q^{-1})+q^{-j}F_j(q^{-1})可以得到E_j(q^{-1})和F_j(q^{-1})，進而將輸出預測值表示為：\hat{y}(k+j|k)=F_j(q^{-1})y(k)+\frac{E_j(q^{-1})B(q^{-1})}{\Delta}u(k-1)+\frac{E_j(q^{-1})C(q^{-1})}{\Delta}\xi(k)然后，定義性能指標函數J：J=\sum_{j=1}^{N}[\hat{y}(k+j|k)-y_r(k+j)]^2+\sum_{j=1}^{N_u}\lambda_j\Deltau(k+j-1)^2其中，y_r(k+j)是參考軌跡，\lambda_j是控制加權系數，N是預測時域，N_u是控制時域。對J關于控制增量\Deltau(k+i-1)（i=1,2,\cdots,N_u）求偏導數，并令偏導數為0，得到控制增量的表達式：\Delta\mathbf{U}^*=(\mathbf{G}^T\mathbf{G}+\mathbf{\Lambda})^{-1}\mathbf{G}^T(\mathbf{Y}_r-\mathbf{\hat{Y}}_0)其中，\Delta\mathbf{U}^*=[\Deltau(k),\Deltau(k+1),\cdots,\Deltau(k+N_u-1)]^T是最優控制增量向量，\mathbf{G}是與系統模型和預測步長相關的矩陣，\mathbf{\Lambda}是對角矩陣，其對角元素為\lambda_j，\mathbf{Y}_r=[y_r(k+1),y_r(k+2),\cdots,y_r(k+N)]^T是參考軌跡向量，\mathbf{\hat{Y}}_0是在當前控制輸入下的預測輸出向量。為了避免矩陣求逆運算，利用RBF網絡來逼近控制增量表達式。設RBF網絡的輸出為\hat{\Delta\mathbf{U}}，其輸入為系統的狀態變量（如過去的輸入、輸出等），通過調整RBF網絡的參數（如隱層節點的中心、寬度和權值），使得\hat{\Delta\mathbf{U}}盡可能逼近\Delta\mathbf{U}^*。RBF網絡的輸出層表達式為：\hat{\Deltau}(k+i-1)=\sum_{l=1}^{M}w_{li}\phi_l(\mathbf{x}(k))其中，\hat{\Deltau}(k+i-1)是RBF網絡對\Deltau(k+i-1)的逼近值，M是隱層節點的數量，w_{li}是連接第l個隱層節點和第i個輸出節點的權值，\phi_l(\mathbf{x}(k))是第l個隱層節點的輸出，\mathbf{x}(k)是系統在k時刻的狀態向量。通過訓練RBF網絡，調整權值w_{li}，使得RBF網絡的輸出與最優控制增量盡可能接近。訓練過程可以采用最小二乘法、梯度下降法等優化算法，以最小化RBF網絡輸出與最優控制增量之間的誤差。在實際應用中，還可以根據系統的實時運行情況，在線調整RBF網絡的參數，以提高控制器的性能和適應性。3.1.3穩定性及收斂性分析穩定性和收斂性是評估控制系統性能的重要指標。對于RBF網絡直接廣義預測控制系統，從理論上分析其穩定性和收斂性具有重要意義。基于李雅普諾夫穩定性理論，構建李雅普諾夫函數V(k)：V(k)=\sum_{j=1}^{N}[\hat{y}(k+j|k)-y_r(k+j)]^2+\sum_{j=1}^{N_u}\lambda_j\Deltau(k+j-1)^2對V(k)求差分\DeltaV(k)=V(k+1)-V(k)，并分析\DeltaV(k)的符號。如果\DeltaV(k)\leq0，則系統是穩定的。將\hat{y}(k+j|k)和\Deltau(k+j-1)的表達式代入\DeltaV(k)中，經過一系列的推導和變換，得到：\DeltaV(k)=-\sum_{j=1}^{N}[\hat{y}(k+j|k)-y_r(k+j)]^2+\sum_{j=1}^{N}[\hat{y}(k+j+1|k+1)-y_r(k+j+1)]^2-\sum_{j=1}^{N_u}\lambda_j\Deltau(k+j-1)^2+\sum_{j=1}^{N_u}\lambda_j\Deltau(k+j)^2+\text{?o¤???é?1}通過合理選擇預測時域N、控制時域N_u以及控制加權系數\lambda_j，可以使得\DeltaV(k)\leq0，從而保證系統的穩定性。在收斂性分析方面，研究RBF網絡的訓練過程以及控制增量的迭代過程。RBF網絡的訓練算法（如最小二乘法、梯度下降法等）在一定條件下是收斂的，能夠使RBF網絡的輸出逐漸逼近最優控制增量。對于控制增量的迭代過程，由于RBF網絡的逼近作用，隨著迭代次數的增加，控制增量能夠逐漸收斂到最優值，從而使系統的輸出跟蹤參考軌跡。具體來說，通過分析RBF網絡的逼近誤差以及控制增量的變化趨勢，可以證明控制增量的收斂性。設\epsilon(k)=\Delta\mathbf{U}^*-\hat{\Delta\mathbf{U}}(k)表示RBF網絡的逼近誤差，通過推導可以得到\epsilon(k)的遞推關系式。在合理的參數設置和訓練條件下，\lim_{k\to\infty}\epsilon(k)=0，即RBF網絡的逼近誤差趨于0，從而保證控制增量能夠收斂到最優值。3.1.4計算機控制器算法實現RBF網絡直接廣義預測控制的計算機算法流程如下：參數初始化：設置預測時域N、控制時域N_u、控制加權系數\lambda_j、RBF網絡的隱層節點數量M、隱層節點的中心c_l和寬度\sigma_l（l=1,2,\cdots,M），并初始化RBF網絡的權值w_{li}。采集數據：獲取系統當前時刻的輸入u(k)和輸出y(k)，并根據需要采集過去的輸入輸出數據，構成系統的狀態向量\mathbf{x}(k)。計算預測輸出：根據系統模型和當前狀態向量，計算系統未來N步的預測輸出\hat{y}(k+j|k)（j=1,2,\cdots,N）。計算參考軌跡：根據設定的參考值和系統的動態特性，計算參考軌跡y_r(k+j)（j=1,2,\cdots,N）。計算控制增量：利用RBF網絡計算控制增量\hat{\Deltau}(k+i-1)（i=1,2,\cdots,N_u），RBF網絡的輸入為狀態向量\mathbf{x}(k)，輸出為控制增量的逼近值。更新控制輸入：根據計算得到的控制增量，更新當前時刻的控制輸入u(k)=u(k-1)+\hat{\Deltau}(k)。輸出控制信號：將控制輸入u(k)輸出到被控對象，實現對系統的控制。更新RBF網絡參數：根據系統的實際輸出與預測輸出之間的誤差，采用最小二乘法、梯度下降法等優化算法更新RBF網絡的權值w_{li}，以提高RBF網絡的逼近精度。返回步驟2：進入下一個控制周期，重復上述步驟，實現對系統的實時控制。在實際編程實現中，可以使用MATLAB、C++等編程語言，結合相關的數學庫和神經網絡庫，實現上述算法流程。在參數初始化階段，可以根據經驗或試錯法選擇合適的參數值，并在實際運行過程中根據系統的性能表現進行調整。在數據采集和處理過程中，需要注意數據的準確性和實時性，確保算法能夠根據系統的實際狀態進行準確的控制。在RBF網絡參數更新階段，需要選擇合適的優化算法，并設置合理的學習率等參數，以保證RBF網絡能夠快速收斂到最優解。3.2單變量非線性系統RBF網絡直接廣義預測控制3.2.1對象模型在實際工業生產和控制系統中，許多被控對象呈現出復雜的非線性特性。對于單變量非線性系統，其模型的建立相較于線性系統更為復雜，需要充分考慮系統的非線性動態行為。采用如下的非線性自回歸滑動平均模型（NonlinearAuto-RegressiveMovingAverage，NARMA）來描述單變量非線性系統：y(k)=f(y(k-1),\cdots,y(k-n_y),u(k-1),\cdots,u(k-n_u))+\xi(k)其中，y(k)為系統在k時刻的輸出，u(k)為系統在k時刻的輸入，\xi(k)是均值為0的白噪聲序列，用于描述系統中的不確定性和干擾。n_y和n_u分別表示輸出和輸入的階次，f(\cdot)是一個高度非線性的函數，它刻畫了系統輸出與過去輸入、輸出之間的復雜關系。由于f(\cdot)的非線性特性，精確確定其表達式往往非常困難。為了能夠對該模型進行有效的分析和控制，利用RBF網絡強大的非線性逼近能力來近似表示f(\cdot)。設RBF網絡的輸出為\hat{f}(\cdot)，其輸入為[y(k-1),\cdots,y(k-n_y),u(k-1),\cdots,u(k-n_u)]^T，通過調整RBF網絡的參數，使得\hat{f}(\cdot)盡可能逼近f(\cdot)。RBF網絡的輸出表達式為：\hat{f}(\mathbf{x}(k))=\sum_{i=1}^{m}w_i\phi_i(\mathbf{x}(k))其中，\mathbf{x}(k)=[y(k-1),\cdots,y(k-n_y),u(k-1),\cdots,u(k-n_u)]^T是RBF網絡的輸入向量，m是RBF網絡隱層節點的數量，w_i是連接第i個隱層節點和輸出節點的權值，\phi_i(\mathbf{x}(k))是第i個隱層節點的輸出，通常采用高斯函數作為徑向基函數，即：\phi_i(\mathbf{x}(k))=e^{-\frac{\|\mathbf{x}(k)-c_i\|^2}{2\sigma_i^2}}其中，c_i是第i個隱層節點的中心，\sigma_i是第i個隱層節點的寬度參數。通過合理調整這些參數，RBF網絡能夠對非線性函數f(\cdot)進行高精度的逼近，從而為后續的控制器設計提供準確的模型基礎。3.2.2控制器設計針對單變量非線性系統，設計RBF網絡直接廣義預測控制器。首先，定義性能指標函數J，其目的是在考慮系統未來輸出跟蹤參考軌跡的同時，限制控制輸入的變化幅度，以保證系統的穩定性和控制的平滑性。性能指標函數J的表達式為：J=\sum_{j=1}^{N}[\hat{y}(k+j|k)-y_r(k+j)]^2+\sum_{j=1}^{N_u}\lambda_j\Deltau(k+j-1)^2其中，\hat{y}(k+j|k)是基于k時刻及之前的信息對k+j時刻系統輸出的預測值，y_r(k+j)是參考軌跡在k+j時刻的值，\lambda_j是控制加權系數，用于調整控制輸入變化的權重，N是預測時域，N_u是控制時域。為了計算預測輸出\hat{y}(k+j|k)，利用前面建立的RBF網絡逼近模型。將系統的輸入輸出數據代入RBF網絡，得到：\hat{y}(k+j|k)=\hat{f}(y(k+j-1|k),\cdots,y(k+j-n_y|k),u(k+j-1|k),\cdots,u(k+j-n_u|k))其中，y(k+i|k)（i=1,\cdots,j-1）和u(k+i|k)（i=1,\cdots,j-1）是根據之前的預測和控制輸入計算得到的。對性能指標函數J關于控制增量\Deltau(k+i-1)（i=1,2,\cdots,N_u）求偏導數，并令偏導數為0，得到控制增量的表達式。由于該表達式通常是非線性的，難以直接求解，利用RBF網絡來逼近控制增量表達式。設RBF網絡的輸出為\hat{\Delta\mathbf{U}}，其輸入為系統的狀態變量（如過去的輸入、輸出等），通過調整RBF網絡的參數（如隱層節點的中心、寬度和權值），使得\hat{\Delta\mathbf{U}}盡可能逼近最優控制增量。RBF網絡的輸出層表達式為：\hat{\Deltau}(k+i-1)=\sum_{l=1}^{M}w_{li}\phi_l(\mathbf{x}(k))其中，\hat{\Deltau}(k+i-1)是RBF網絡對\Deltau(k+i-1)的逼近值，M是隱層節點的數量，w_{li}是連接第l個隱層節點和第i個輸出節點的權值，\phi_l(\mathbf{x}(k))是第l個隱層節點的輸出，\mathbf{x}(k)是系統在k時刻的狀態向量。通過訓練RBF網絡，采用最小二乘法、梯度下降法等優化算法調整權值w_{li}，使得RBF網絡的輸出與最優控制增量盡可能接近。在實際應用中，還可以根據系統的實時運行情況，在線調整RBF網絡的參數，以提高控制器的性能和適應性。3.2.3穩定性及收斂性分析對于單變量非線性系統的RBF網絡直接廣義預測控制系統，穩定性和收斂性是至關重要的性能指標。從理論上深入分析其穩定性和收斂性，有助于確保控制系統在實際運行中的可靠性和有效性。基于李雅普諾夫穩定性理論，構建李雅普諾夫函數V(k)：V(k)=\sum_{j=1}^{N}[\hat{y}(k+j|k)-y_r(k+j)]^2+\sum_{j=1}^{N_u}\lambda_j\Deltau(k+j-1)^2對V(k)求差分\DeltaV(k)=V(k+1)-V(k)，并分析\DeltaV(k)的符號。如果\DeltaV(k)\leq0，則系統是穩定的。將\hat{y}(k+j|k)和\Deltau(k+j-1)的表達式代入\DeltaV(k)中，由于系統的非線性特性，推導過程更為復雜。經過一系列的數學變換和推導，得到：\DeltaV(k)=-\sum_{j=1}^{N}[\hat{y}(k+j|k)-y_r(k+j)]^2+\sum_{j=1}^{N}[\hat{y}(k+j+1|k+1)-y_r(k+j+1)]^2-\sum_{j=1}^{N_u}\lambda_j\Deltau(k+j-1)^2+\sum_{j=1}^{N_u}\lambda_j\Deltau(k+j)^2+\text{?o¤???é?1}通過合理選擇預測時域N、控制時域N_u以及控制加權系數\lambda_j，并結合RBF網絡的逼近特性，可以使得\DeltaV(k)\leq0，從而保證系統的穩定性。與線性系統相比，非線性系統的穩定性分析更為復雜，需要考慮更多的因素，如RBF網絡逼近誤差對系統穩定性的影響等。在收斂性分析方面，研究RBF網絡的訓練過程以及控制增量的迭代過程。由于系統的非線性，RBF網絡的訓練算法（如最小二乘法、梯度下降法等）的收斂性分析需要考慮更多的約束條件和非線性因素。通過分析RBF網絡的逼近誤差以及控制增量的變化趨勢，可以證明在一定條件下，控制增量能夠逐漸收斂到最優值，從而使系統的輸出跟蹤參考軌跡。設\epsilon(k)=\Delta\mathbf{U}^*-\hat{\Delta\mathbf{U}}(k)表示RBF網絡的逼近誤差，通過推導可以得到\epsilon(k)的遞推關系式。在合理的參數設置和訓練條件下，\lim_{k\to\infty}\epsilon(k)=0，即RBF網絡的逼近誤差趨于0，從而保證控制增量能夠收斂到最優值。但與線性系統相比，非線性系統中RBF網絡的收斂速度可能會受到更多因素的影響，如系統的非線性程度、噪聲干擾等。3.2.4計算機控制器算法實現單變量非線性系統RBF網絡直接廣義預測控制的計算機算法流程如下：參數初始化：設置預測時域N、控制時域N_u、控制加權系數\lambda_j、RBF網絡的隱層節點數量M、隱層節點的中心c_l和寬度\sigma_l（l=1,2,\cdots,M），并初始化RBF網絡的權值w_{li}。采集數據：獲取系統當前時刻的輸入u(k)和輸出y(k)，并根據需要采集過去的輸入輸出數據，構成系統的狀態向量\mathbf{x}(k)。計算預測輸出：利用RBF網絡逼近模型，根據系統當前狀態向量\mathbf{x}(k)計算系統未來N步的預測輸出\hat{y}(k+j|k)（j=1,2,\cdots,N）。計算參考軌跡：根據設定的參考值和系統的動態特性，計算參考軌跡y_r(k+j)（j=1,2,\cdots,N）。計算控制增量：利用RBF網絡計算控制增量\hat{\Deltau}(k+i-1)（i=1,2,\cdots,N_u），RBF網絡的輸入為狀態向量\mathbf{x}(k)，輸出為控制增量的逼近值。更新控制輸入：根據計算得到的控制增量，更新當前時刻的控制輸入u(k)=u(k-1)+\hat{\Deltau}(k)。輸出控制信號：將控制輸入u(k)輸出到被控對象，實現對系統的控制。更新RBF網絡參數：根據系統的實際輸出與預測輸出之間的誤差，采用最小二乘法、梯度下降法等優化算法更新RBF網絡的權值w_{li}，以提高RBF網絡的逼近精度。同時，根據系統的運行情況，在線調整RBF網絡的隱層節點中心c_l和寬度\sigma_l，以進一步優化RBF網絡的性能。返回步驟2：進入下一個控制周期，重復上述步驟，實現對系統的實時控制。在實際編程實現中，可以使用MATLAB、Python等編程語言，結合相關的數學庫和神經網絡庫，如TensorFlow、PyTorch等，實現上述算法流程。在參數初始化階段，可以根據經驗或試錯法選擇合適的參數值，并在實際運行過程中根據系統的性能表現進行調整。在數據采集和處理過程中，需要注意數據的準確性和實時性，確保算法能夠根據系統的實際狀態進行準確的控制。在RBF網絡參數更新階段，需要選擇合適的優化算法，并設置合理的學習率等參數，以保證RBF網絡能夠快速收斂到最優解。同時，為了提高算法的實時性和效率，可以采用并行計算、分布式計算等技術。3.3多變量系統RBF網絡直接廣義預測控制3.3.1多變量線性系統RBF網絡直接廣義預測控制在實際工業生產中，許多系統呈現出多變量的特性，其輸入和輸出之間存在復雜的耦合關系。考慮一個多變量線性離散時間系統，其受控自回歸積分滑動平均（CARIMA）模型可表示為：A(q^{-1})Y(k)=B(q^{-1})U(k-1)+\frac{C(q^{-1})}{\Delta}\Xi(k)其中，Y(k)是m維輸出向量，Y(k)=[y_1(k),y_2(k),\cdots,y_m(k)]^T；U(k)是r維輸入向量，U(k)=[u_1(k),u_2(k),\cdots,u_r(k)]^T；\Xi(k)是m維白噪聲向量；A(q^{-1})、B(q^{-1})和C(q^{-1})是多項式矩陣。A(q^{-1})=I+A_1q^{-1}+\cdots+A_nq^{-n}B(q^{-1})=B_0+B_1q^{-1}+\cdots+B_mq^{-m}C(q^{-1})=I+C_1q^{-1}+\cdots+C_nq^{-n}其中，I是單位矩陣，A_i、B_i和C_i是相應維數的系數矩陣。為了設計多變量線性系統的RBF網絡直接廣義預測控制器，首先需要對系統的未來輸出進行預測。通過求解Diophantine方程：I=E_j(q^{-1})\DeltaA(q^{-1})+q^{-j}F_j(q^{-1})可以得到預測模型。其中，E_j(q^{-1})和F_j(q^{-1})是多項式矩陣。系統未來j步的輸出預測值\hat{Y}(k+j|k)可以表示為：\hat{Y}(k+j|k)=F_j(q^{-1})Y(k)+\frac{E_j(q^{-1})B(q^{-1})}{\Delta}U(k-1)+\frac{E_j(q^{-1})C(q^{-1})}{\Delta}\Xi(k)定義性能指標函數J：J=\sum_{j=1}^{N}[\hat{Y}(k+j|k)-Y_r(k+j)]^T[\hat{Y}(k+j|k)-Y_r(k+j)]+\sum_{j=1}^{N_u}\DeltaU(k+j-1)^T\Lambda_j\DeltaU(k+j-1)其中，Y_r(k+j)是m維參考軌跡向量，\Lambda_j是r\timesr維的控制加權矩陣。對J關于控制增量\DeltaU(k+i-1)（i=1,2,\cdots,N_u）求偏導數，并令偏導數為0，得到控制增量的表達式。由于該表達式涉及矩陣運算，計算量較大，利用RBF網絡來逼近控制增量表達式。設RBF網絡的輸出為\hat{\DeltaU}，其輸入為系統的狀態變量（如過去的輸入、輸出等），通過調整RBF網絡的參數（如隱層節點的中心、寬度和權值），使得\hat{\DeltaU}盡可能逼近最優控制增量。RBF網絡的輸出層表達式為：\hat{\Deltau}_i(k+l-1)=\sum_{s=1}^{S}w_{sli}\phi_s(\mathbf{X}(k))其中，\hat{\Deltau}_i(k+l-1)是RBF網絡對\Deltau_i(k+l-1)的逼近值，S是隱層節點的數量，w_{sli}是連接第s個隱層節點和第l個輸出節點對應于第i個輸入變量的權值，\phi_s(\mathbf{X}(k))是第s個隱層節點的輸出，\mathbf{X}(k)是系統在k時刻的狀態向量。在穩定性分析方面，基于李雅普諾夫穩定性理論，構建李雅普諾夫函數V(k)：V(k)=\sum_{j=1}^{N}[\hat{Y}(k+j|k)-Y_r(k+j)]^T[\hat{Y}(k+j|k)-Y_r(k+j)]+\sum_{j=1}^{N_u}\DeltaU(k+j-1)^T\Lambda_j\DeltaU(k+j-1)對V(k)求差分\DeltaV(k)=V(k+1)-V(k)，并分析\DeltaV(k)的符號。通過合理選擇預測時域N、控制時域N_u以及控制加權矩陣\Lambda_j，可以使得\DeltaV(k)\leq0，從而保證系統的穩定性。在收斂性分析方面，研究RBF網絡的訓練過程以及控制增量的迭代過程。RBF網絡的訓練算法在一定條件下是收斂的，能夠使RBF網絡的輸出逐漸逼近最優控制增量。對于控制增量的迭代過程，通過分析RBF網絡的逼近誤差以及控制增量的變化趨勢，可以證明在合理的參數設置和訓練條件下，控制增量能夠逐漸收斂到最優值，從而使系統的輸出跟蹤參考軌跡。計算機控制器算法的實現步驟如下：參數初始化：設置預測時域N、控制時域N_u、控制加權矩陣\Lambda_j、RBF網絡的隱層節點數量S、隱層節點的中心c_s和寬度\sigma_s（s=1,2,\cdots,S），并初始化RBF網絡的權值w_{sli}。采集數據：獲取系統當前時刻的輸入U(k)和輸出Y(k)，并根據需要采集過去的輸入輸出數據，構成系統的狀態向量\mathbf{X}(k)。計算預測輸出：根據系統模型和當前狀態向量，計算系統未來N步的預測輸出\hat{Y}(k+j|k)（j=1,2,\cdots,N）。計算參考軌跡：根據設定的參考值和系統的動態特性，計算參考軌跡Y_r(k+j)（j=1,2,\cdots,N）。計算控制增量：利用RBF網絡計算控制增量\hat{\DeltaU}(k+l-1)（l=1,2,\cdots,N_u），RBF網絡的輸入為狀態向量\mathbf{X}(k)，輸出為控制增量的逼近值。更新控制輸入：根據計算得到的控制增量，更新當前時刻的控制輸入U(k)=U(k-1)+\hat{\DeltaU}(k)。輸出控制信號：將控制輸入U(k)輸出到被控對象，實現對系統的控制。更新RBF網絡參數：根據系統的實際輸出與預測輸出之間的誤差，采用最小二乘法、梯度下降法等優化算法更新RBF網絡的權值w_{sli}，以提高RBF網絡的逼近精度。返回步驟2：進入下一個控制周期，重復上述步驟，實現對系統的實時控制。3.3.2多變量非線性系統RBF網絡直接廣義預測控制多變量非線性系統在實際應用中廣泛存在，其控制問題相較于多變量線性系統更為復雜。考慮一個多變量非線性離散時間系統，采用如下的非線性自回歸滑動平均模型（NonlinearAuto-RegressiveMovingAverage，NARMA）來描述：Y(k)=f(Y(k-1),\cdots,Y(k-n_y),U(k-1),\cdots,U(k-n_u))+\Xi(k)其中，Y(k)是m維輸出向量，U(k)是r維輸入向量，\Xi(k)是m維白噪聲向量，n_y和n_u分別表示輸出和輸入的階次，f(\cdot)是一個高度非線性的向量函數，它刻畫了系統輸出與過去輸入、輸出之間的復雜關系。由于f(\cdot)的非線性特性，精確確定其表達式往往非常困難。利用RBF網絡強大的非線性逼近能力來近似表示f(\cdot)。設RBF網絡的輸出為\hat{f}(\cdot)，其輸入為[Y(k-1)^T,\cdots,Y(k-n_y)^T,U(k-1)^T,\cdots,U(k-n_u)^T]^T，通過調整RBF網絡的參數，使得\hat{f}(\cdot)盡可能逼近f(\cdot)。RBF網絡的輸出表達式為：\hat{f}(\mathbf{X}(k))=\sum_{i=1}^{p}W_i\phi_i(\mathbf{X}(k))其中，\mathbf{X}(k)=[Y(k-1)^T,\cdots,Y(k-n_y)^T,U(k-1)^T,\cdots,U(k-n_u)^T]^T是RBF網絡的輸入向量，p是RBF網絡隱層節點的數量，W_i是連接第i個隱層節點和輸出節點的權值矩陣，\phi_i(\mathbf{X}(k))是第i個隱層節點的輸出，通常采用高斯函數作為徑向基函數，即：\phi_i(\mathbf{X}(k))=e^{-\frac{\|\mathbf{X}(k)-c_i\|^2}{2\sigma_i^2}}其中，c_i是第i個隱層節點的中心，\sigma_i是第i個隱層節點的寬度參數。為了設計多變量非線性系統的RBF網絡直接廣義預測控制器，定義性能指標函數J：J=\sum_{j=1}^{N}[\hat{Y}(k+j|k)-Y_r(k+j)]^T[\hat{Y}(k+j|k)-Y_r(k+j)]+\sum_{j=1}^{N_u}\DeltaU(k+j-1)^T\Lambda_j\DeltaU(k+j-1)其中，\hat{Y}(k+j|k)是基于k時刻及之前的信息對k+j時刻系統輸出的預測值，Y_r(k+j)是參考軌跡在k+j時刻的值，\Lambda_j是控制加權矩陣，N是預測時域，N_u是控制時域。為了計算預測輸出\hat{Y}(k+j|k)，利用前面建立的RBF網絡逼近模型。將系統的輸入輸出數據代入RBF網絡，得到：\hat{Y}(k+j|k)=\hat{f}(Y(k+j-1|k),\cdots,Y(k+j-n_y|k),U(k+j-1|k),\cdots,U(k+j-n_u|k))其中，Y(k+i|k)（i=1,\cdots,j-1）和U(k+i|k)（i=1,\cdots,j-1）是根據之前的預測和控制輸入計算得到的。對性能指標函數J關于控制增量\DeltaU(k+i-1)（i=1,2,\cdots,N_u）求偏導數，并令偏導數為0，得到控制增量的表達式。由于該表達式通常是非線性的，難以直接求解，利用RBF網絡來逼近控制增量表達式。設RBF網絡的輸出為\hat{\DeltaU}，其輸入為系統的狀態變量（如過去的輸入、輸出等），通過調整RBF網絡的參數（如隱層節點的中心、寬度和權值），使得\hat{\DeltaU}盡可能逼近最優控制增量。RBF網絡的輸出層表達式為：\hat{\Deltau}_i(k+l-1)=\sum_{s=1}^{S}w_{sli}\phi_s(\mathbf{X}(k))其中，\hat{\Deltau}_i(k+l-1)是RBF網絡對\Deltau_i(k+l-1)的逼近值，S是隱層節點的數量，w_{sli}是連接第s個隱層節點和第l個輸出節點對應于第i個輸入變量的權值，\phi_s(\mathbf{X}(k))是第s個隱層節點的輸出，\mathbf{X}(k)是系統在k時刻的狀態向量。通過訓練RBF網絡，采用最小二乘法、梯度下降法等優化算法調整權值w_{sli}，使得RBF網絡的輸出與最優控制增量盡可能接近。在實際應用中，還可以根據系統的實時運行情況，在線調整RBF網絡的參數，以提高控制器的性能和適應性。在穩定性分析方面，基于李雅普諾夫穩定性理論，構建李雅普諾夫函數V(k)：V(k)=\sum_{j=1}^{N}[\hat{Y}(k+j|k)-Y_r(k+j)]^T[\hat{Y}(k+j|k)-Y_r(k+j)]+\sum_{j=1}^{N_u}\DeltaU(k+j-1)^T\Lambda_j\DeltaU(k+j-1)對V(k)求差分\DeltaV(k)=V(k+1)-V(k)，并分析\DeltaV(k)的符號。由于系統的非線性特性，推導過程更為復雜。通過合理選擇預測時域N、控制時域N_u以及控制加權矩陣\Lambda_j，并結合RBF網絡的逼近特性，可以使得\DeltaV(k)\leq0，從而保證系統的穩定性。在收斂性分析方面，研究RBF網絡的訓練過程以及控制增量的迭代過程。由于系統的非線性，RBF網絡的訓練算法的收斂性分析需要考慮更多的約束條件和非線性因素。通過分析RBF網絡的逼近誤差以及控制增量的變化趨勢，可以證明在一定條件下，控制增量能夠逐漸收斂到最優值，從而使系統的輸出跟蹤參考軌跡。設\epsilon(k)=\DeltaU^*-\hat{\DeltaU}(k)表示RBF網絡的逼近誤差，通過推導可以得到\epsilon(k)的遞推關系式。在合理的參數設置和訓練條件下，\lim_{k\to\infty}\epsilon(k)=0，即RBF網絡的逼近誤差趨于0，從而保證控制增量能夠收斂到最優值。計算機控制器算法的實現步驟如下：參數初始化：設置預測時域N、控制時域N_u、控制加權矩陣\Lambda_j、RBF網絡的隱層節點數量S、隱層節點的中心c_s和寬度\sigma_s（s=1,2,\cdots,S），并初始化RBF網絡的權值w_{sli}。采集數據：獲取系統當前時刻的輸入U(k)和輸出Y(k)，并根據需要采集過去的輸入輸出數據，構成系統的狀態向量\mathbf{X}(k)。計算預測輸出：利用RBF網絡逼近模型，根據系統當前狀態向量\mathbf{X}(k)計算系統未來N步的預測輸出\hat{Y}(k+j|k)（j=1,2,\cdots,N）。計算參考軌跡：根據設定的參考值和系統的動態特性，計算參考軌跡Y_r(k+j)（j=1\##??????????????§?????????èˉ????\##\#4.1????????§????????1?3???o?·±??￥??????RBF????????′??￥?1??1?é￠??μ???§??????????????§???????

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