專題16與圓有關(guān)的計(jì)算

目錄

01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識(shí)體系。

02盤·基礎(chǔ)知識(shí)：甄選核心知識(shí)逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分。（2大模塊知識(shí)梳理）

知識(shí)模塊一：正多邊與圓

知識(shí)模塊二：弧長與扇形面積

03究·考點(diǎn)考法：對考點(diǎn)考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（9大基礎(chǔ)考點(diǎn)）

考點(diǎn)一：求正多邊形的中心角

考點(diǎn)二：已知正多邊形的中心角求邊數(shù)

考點(diǎn)三：利用弧長公式求弧長

考點(diǎn)四：由弧長公式或扇形面積公式求圓心角、半徑

考點(diǎn)五：利用扇形面積公式計(jì)算扇形面積

考點(diǎn)六：求弓形面積

考點(diǎn)七：求圓錐的側(cè)面積，底面半徑，高，母線

考點(diǎn)八：求圓錐側(cè)面展開圖的圓心角

考點(diǎn)九：圓錐的實(shí)際問題

04破·重點(diǎn)難點(diǎn)：突破重難點(diǎn)，沖刺高分。（4大重難點(diǎn)）

重難點(diǎn)一：求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長度

重難點(diǎn)二：求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積

重難點(diǎn)三：求其它不規(guī)則圖形面積

重難點(diǎn)四：圓錐側(cè)面上最短路徑問題

05辨·易混易錯(cuò)：點(diǎn)撥易混易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)，夯實(shí)基礎(chǔ)。（2大易錯(cuò)點(diǎn)）

易錯(cuò)點(diǎn)1：誤把圓錐底面圓的半徑看成側(cè)面展開圖中扇形的半徑

易錯(cuò)點(diǎn)2：混淆圓錐的表面積和側(cè)面積

1

知識(shí)模塊一：正多邊形與圓

知識(shí)點(diǎn)一：正多邊形與圓.

正多邊形的外接圓：一般地，用量角器把一個(gè)圓n(n≥3)等分，依次連接各等分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的

內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓，正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的外心，外接圓

的半徑叫做正多邊形的半徑.

【補(bǔ)充】正多邊形都只有一個(gè)外接圓，圓有無數(shù)個(gè)內(nèi)接正多邊形.

知識(shí)點(diǎn)二：正多邊形與圓的相關(guān)概念

中心一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心.

半徑正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.

2

中心角正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角.

邊心距正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.

知識(shí)點(diǎn)三：正多邊形的有關(guān)計(jì)算

1）內(nèi)角：正n邊形的每個(gè)內(nèi)角和為.

2）外角/中心角：正n邊形的每個(gè)外角/中心角為.

3）周長：正n邊形的周長.

4）面積：正n邊形的面積.

知識(shí)模塊二：弧長與扇形面積

知識(shí)點(diǎn)一：弧長公式

nR

弧長公式：l(n為圓心角的度數(shù)，R為圓的半徑).

180

【注意】在弧長公式中，n表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．

【補(bǔ)充】在弧長公式中，已知l，n，R中的任意兩個(gè)量，都可以求出第三個(gè)量．

???

?=180

知識(shí)點(diǎn)二：扇形面積公式

nR21

扇形的面積公式：S扇形(n為圓心角的度數(shù)，R為圓的半徑)=lR(l是n°為圓心角所對的弧長).

3602

【補(bǔ)充】

1）根據(jù)扇形面積公式和弧長公式，已知S扇形，l，n，R中的任意兩個(gè)量，都可以求出另外兩個(gè)量．

2）在利用扇形面積公式求面積時(shí)，關(guān)鍵是明確扇形所在圓的半徑、扇形的圓心角的度數(shù)或扇形的弧長，然

后直接代入公式S=或S=R中求解即可．

扇形2扇形

???1

3602?

知識(shí)點(diǎn)三：圓錐的側(cè)面展開圖及圓錐的側(cè)面積

母線：連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線.

1

圓錐側(cè)面積公式：S圓錐側(cè)l2rrl（其中l(wèi)是圓錐的母線長，r是圓錐的底

2

面半徑）

3

2

圓錐全面積公式：S圓錐全rlrrlr（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）

圓錐的底面半徑r，高h(yuǎn)，母線長l之間可構(gòu)成一個(gè)直角三角形，所以滿足.

222

【補(bǔ)充】求弧長或扇形的面積問題常結(jié)合圓錐考查，解這類問題只要抓住圓?錐+側(cè)面?展=開l即為扇形，而這個(gè)

扇形的弧長等于原圓錐底面的周長，扇形的半徑等于原圓錐的母線長，即2r=，來建立圓錐底面圓的半

???

徑r、圓錐母線R和側(cè)面展開圖扇形圓心角n°之間的關(guān)系.?180

【易錯(cuò)點(diǎn)】注意不要混淆圓錐的底面半徑和圓錐展開后的扇形半徑兩個(gè)概念．

考點(diǎn)一：求正多邊形的中心角

1．（2022·山東青島·中考真題）如圖，正六邊形內(nèi)接于，點(diǎn)M在上，則的度數(shù)為（）

??????⊙???∠???

A．B．C．D．

2．（203204°·內(nèi)蒙古通遼·中考36真°題）如圖，平面直角45坐°標(biāo)系中，原點(diǎn)為正6六0°邊形的中心，軸，

點(diǎn)在雙曲線為常數(shù)，上，將正六邊形向上平?移個(gè)單位長??度??，?點(diǎn)?恰好落在??雙∥?曲線

?

上，?則的值為?=（?(?）?>0)??????3?

?

A．B．C．D．3

3．（204243·河北·模擬預(yù)測）3如3圖，正六邊形23和正六邊形均以點(diǎn)O為中心，連接

，，，，，（A，G，H三點(diǎn)?共?線??）??，若?????，?則正六邊形的邊長為（）

??????????????=2,??=3??????

4

A．B．5C．D．19

319

考點(diǎn)二：已知正多邊形的中心角求邊數(shù)

1．（2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）一個(gè)正多邊形的中心角為，這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（）

A．8B．12C．330°D．6

2．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測）如圖，是正六邊形的中心．在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)的坐標(biāo)

為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的?坐標(biāo)為（）???????

(0,0)?(?1,0)?

A．B．C．D．

3．（20(2?3·2江,0西)九江·一模）(1如,1圖)正六邊形(1，,0請)僅用無刻度的直尺(2，,0分)別按照下列要求作圖（保留

作圖痕跡）．??????

(1)請?jiān)趫D（1）中對角線上作一點(diǎn)，使得；

(2)請?jiān)趫D（2）中邊上?作?一點(diǎn)，使?得??=．2??

?????=3??

考點(diǎn)三：利用弧長公式求弧長

1．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，對折邊長為2的正方形紙片，為折痕，以點(diǎn)為圓心，

為半徑作弧，分別交，于，兩點(diǎn)，則的長度為（結(jié)??果?保?留??）．???

????????π

5

2．（2024·貴州·中考真題）如圖，在扇形紙扇中，若，，則的長為（）

∠???=150°??=24??

A．B．C．D．

3．（203204π·湖北·中考真題）25π中，20π，點(diǎn)在上，以10π為半徑的圓交于點(diǎn)，交

于點(diǎn)．且．Rt△???∠???=90°??????????

???=??

(1)求證：是的切線．

(2)連接?交?⊙于?點(diǎn)，若，求弧的長．

??⊙????=3,??=1??

考點(diǎn)四：由弧長公式或扇形面積公式求圓心角、半徑

1．（2021·黑龍江牡丹江·中考真題）一條弧所對的圓心角為135°，弧長等于半徑為3cm的圓的周長的5倍，

則這條弧的半徑為（）

A．45cmB．40cmC．35cmD．30cm

2．（2024·云南紅河·模擬預(yù)測）為了拉動(dòng)鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)振興，某村設(shè)立了一個(gè)草帽手工作坊，讓留守的老人也

能賺錢，其制作工藝中用固定規(guī)格的扇形草氈圍成一個(gè)底面周長為，側(cè)面積為的圓錐形草帽，則制

作工藝中所使用扇形草氈的圓心角為（）10π75π

A．B．C．D．

3．（15200°24·陜西商洛·模擬預(yù)12測0）°傳統(tǒng)服飾日益受到18關(guān)0°注，如圖①為明清時(shí)10期0°女子主要裙式之一的馬面裙，

如圖②馬面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的長度為米，裙長米，圓心角

?

??3??=0.8∠???=

6

，則的長為（）

∠???=60°??

A．1米B．米C．2米D．米

1.82.2

考點(diǎn)五：利用扇形面積公式計(jì)算扇形面積

1．（2024·吉林·中考真題）某新建學(xué)校因場地限制，要合理規(guī)劃體育場地，小明繪制的鉛球場地設(shè)計(jì)圖如

圖所示，該場地由和扇形組成，分別與交于點(diǎn)A，D．，，，

則陰影部分的面積⊙為???（?結(jié)果保?留?,?）?．⊙???=1m??=10m∠???=40°

2

mπ

2．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，在矩形中，，O為中點(diǎn)，，則扇形

的面積為．??????=2??????=??=4

???

3．（2023·山東泰安·中考真題）如圖，是的外接圓，半徑為4，連接OB，OC，OA，若，

，則陰影部分的面積是（⊙?）△???∠???=40°

∠???=70°

A．B．C．D．

481632

3π3π3π3π

7

考點(diǎn)六：求弓形面積

1．（2021·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，是⊙O的弦，，點(diǎn)C是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，

若點(diǎn)M，N分別是，的中點(diǎn)，則?圖?中陰影部分面?積?的=最2大3值是．∠???=60°

????

2．（2021·山東泰安·中考真題）若為直角三角形，，以為直徑畫半圓如圖所示，則

陰影部分的面積為．△?????=??=4??

3．（2021·四川遂寧·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點(diǎn)

D，E，過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，若⊙O的半徑為，∠CDF=15°，則陰影部分的面積為（）

43

A．B．

C．16??123D．16??243

20??12320??243

考點(diǎn)七：求圓錐的側(cè)面積，底面半徑，高，母線

1．（2024·云南·中考真題）某校九年級學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐，學(xué)習(xí)編織圓錐型工藝品．若這種圓錐的母線長

為厘米，底面圓的半徑為厘米，則該圓錐的側(cè)面積為（）

A．40平方厘米30B．平方厘米

700π900π

8

C．平方厘米D．平方厘米

2．（1220002π4·江蘇揚(yáng)州·中考真題）若用半徑為1的60半0π圓形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐底面圓

的半徑為．10cm

3．（2023·黑龍cm江·中考真題）已知圓錐的母線長，側(cè)面積，則這個(gè)圓錐的高是．

2

4．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）圓錐的側(cè)面展開圖1的3c面m積為65?c，m圓錐母線與底面圓的半徑之比為cm，

2

則母線長為．200πcm2:1

考點(diǎn)八：求圓錐側(cè)面展開圖的圓心角

1．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，圓錐母線，底面半徑，則其側(cè)面展開圖扇形的圓心角

的度數(shù)為．??=6??=2?

2．（2024·四川綿陽·三模）在直角三角形中，已知，，，如果把該三角形繞直

線旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，則該圓錐側(cè)?面?展?開得到的?扇?形=的6圓?心?角=大8小是∠?=90°．

3．?（?2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測）如圖所示是某幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算，這個(gè)幾何體側(cè)面展開

圖的圓心角的度數(shù)為°．

考點(diǎn)九：圓錐的實(shí)際問題

1．（2022·湖南邵陽·模擬預(yù)測）在一次科學(xué)探究實(shí)驗(yàn)中，小明將半徑為的圓形濾紙片按圖1所示的步

驟進(jìn)行折疊，并圍成圓錐形．5cm

9

(1)取一漏斗，上部的圓錐形內(nèi)壁（忽略漏斗管口處）的母線長為，開口圓的直徑為．當(dāng)濾紙片

重疊部分三層，且每層為圓時(shí)，濾紙圍成的圓錐形放入該漏?斗?中，能6c否m緊貼此漏斗的內(nèi)壁（6c忽m略漏斗管口

1

處），請你用所學(xué)的數(shù)學(xué)知4識(shí)說明；

(2)假設(shè)有一特殊規(guī)格的漏斗，其母線長為，開口圓的直徑為，現(xiàn)將同樣大小的濾紙圍成重疊部

分為三層的圓錐形，放入此漏斗中，且能緊6c貼m漏斗內(nèi)壁．問重疊部7分.2c每m層的面積為多少？

2．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）湖南是全國13個(gè)糧食主產(chǎn)省之一，水稻播種面積、總產(chǎn)量均居全國第一．2024

年3月19日，習(xí)近平總書記來到常德市鼎城區(qū)謝家鋪鎮(zhèn)港中坪村，走進(jìn)當(dāng)?shù)丶Z食生產(chǎn)萬畝綜合示范片區(qū)，

察看秧苗培育和春耕備耕進(jìn)展．如圖為某農(nóng)戶家的圓錐形糧倉示意圖，已知其底面周長為米，高度為

米，則此糧倉的側(cè)面積為．（結(jié)果保留）3?3.6

2

m?

3．（2023·安徽·二模）《九章算術(shù)》中有如下問題：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分

之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆高5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約

為立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有斛．

1.62

重難點(diǎn)一：求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長度

1．（2024·吉林長春·中考真題）一塊含角的直角三角板按如圖所示的方式擺放，邊與直線重合，

．現(xiàn)將該三角板繞點(diǎn)順時(shí)針30旋°轉(zhuǎn)，使點(diǎn)的對應(yīng)??點(diǎn)?落在直線上，則點(diǎn)A經(jīng)過?的?路徑長至?少為

'

??．=（12結(jié)?c果m保留）????

cm?

10

2．（2022·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，是的外接圓，為直徑，若，，點(diǎn)

從點(diǎn)出發(fā)，在內(nèi)運(yùn)動(dòng)且始終保持⊙?△???，當(dāng)，兩?點(diǎn)?距離最小時(shí)，??動(dòng)=點(diǎn)2的3運(yùn)?動(dòng)?路=徑3長?

為?．△???∠???=∠??????

3．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1個(gè)單位長度，

在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．

△?????1,1??2,3??5,2

(1)畫出關(guān)于y軸對稱的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)畫出△???繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋△轉(zhuǎn)?1?1后?1得到的?1，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)在（2△）?的??條件下，求點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)9到0°點(diǎn)的過程△中??所2?經(jīng)2過的路徑長?（2結(jié)果保留）

?2π

重難點(diǎn)二：求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積

1．（2021·廣西柳州·中考真題）如圖所示，點(diǎn)A，B，C對應(yīng)的刻度分別為1，3，5，將線段繞點(diǎn)C按順

時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A首次落在矩形的邊上時(shí)，記為點(diǎn)，則此時(shí)線段掃過的圖形?的?面積為（）

'

?????????

11

A．B．6C．D．

48

433?3?

2．（2021·四川涼山·中考真題）如圖，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．已知，

則線段AB掃過的圖形（陰影部分）的面△積為???．120°△?'?'???=3,??=2

3．（2024·江蘇鹽城·二模）如圖，在扇形中，于點(diǎn)D，，將繞點(diǎn)O點(diǎn)逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)，則線段掃過的圖形面積為是?????⊥．????=8△???

60°??

重難點(diǎn)三：求其它不規(guī)則圖形面積

1．（2024·山東·中考真題）如圖，在四邊形中，，，．以點(diǎn)

為圓心，以為半徑作交于點(diǎn)，以點(diǎn)??為??圓心，??以∥??為半∠?徑?作?=6所0°交??于=點(diǎn)??，=連2接??=交2于另?

一點(diǎn)，連接??．?????????????????

???

(1)求證：為所在圓的切線；

????

12

(2)求圖中陰影部分面積．（結(jié)果保留）

2．（2023·江蘇宿遷·中考真題）（1）?如圖，是的直徑，與交于點(diǎn)F，弦平分，點(diǎn)E

在上，連接、，________．求證：__?_?___⊙__．???⊙???∠???

??????

從①與相切；②中選．擇．一．個(gè)．作為已知條件，余．下．的．一．個(gè)．作為結(jié)論，將題目補(bǔ)充完整（填．寫．

序．號．?）?，并⊙完?成證明過程??．⊥??

（2）在（1）的前提下，若，，求陰影部分的面積．

3．（2023·湖北十堰·中考真?題?）=如6圖，∠?在??=30°中，，點(diǎn)在上，以為圓心，

為半徑的半圓分別交，于點(diǎn)R，t△且?點(diǎn)??是弧∠?的=中90點(diǎn)°,．??=????????

??,?????,?,????

(1)求證：是的切線；

(2)若??，⊙求?圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）．

??=2?

重難點(diǎn)四：圓錐側(cè)面上最短路徑問題

1．（2023·湖北十堰·中考真題）如圖，已知點(diǎn)C為圓錐母線的中點(diǎn)，為底面圓的直徑，，，

一只螞蟻沿著圓錐的側(cè)面從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)，則螞蟻爬行的?最?短路程為?（?）??=6??=4

A．5B．C．D．

2．（2024·廣東東莞·二模）3【3綜合與實(shí)踐】3263

主題：制作圓錐形生日帽．

素材：一張圓形紙板、裝飾彩帶．

13

步驟1：如圖1，將一個(gè)底面半徑為r的圓錐側(cè)面展開，可得到一個(gè)半徑為l、圓心角為的扇形．制作圓錐

形生日帽時(shí)，要先確定扇形的圓心角度數(shù)，再度量裁剪材料．?°

步驟2：如圖2，把剪好的紙板粘合成圓錐形生日帽，

(1)現(xiàn)在需要制作一個(gè)，的生日帽，請幫忙計(jì)算出所需扇形紙板的圓心角度數(shù)；

(2)為了使（1）中所制?作=的10生cm日帽?更=美30觀cm，要粘貼彩帶進(jìn)行裝飾，其中需要粘貼一條從點(diǎn)