專題03平面直角坐標系與函數

目錄

01理·思維導圖：呈現教材知識結構，構建學科知識體系。

02盤·基礎知識：甄選核心知識逐項分解，基礎不丟分。（4大模塊知識梳理）

知識模塊一：平面直角坐標系知識模塊二:點的坐標特征與變換

知識模塊三：坐標方法的簡單應用知識模塊四：函數

03究·考點考法：對考點考法進行細致剖析和講解，全面提升。（9大考點）

考點一：用有序數對表示位置考點二：實際問題中用坐標表示位置

考點三：判斷點所在的象限考點四：直角坐標系中點的坐標

考點五：點坐標規律探索考點六：點的坐標變換

考點七：自變量和函數值考點八：函數解析式

考法九：函數圖象

04辨·易混易錯：點撥易混易錯知識點，沖刺高分。（3大易錯點）

易錯點1：函數圖像中的動點問題

易錯點2：平面直角坐標系中的面積問題

易錯點3：函數圖像中的動點問題

1

知識模塊一：平面直角坐標系

平面直角坐標系的定義

平面內有公共原點且互相垂直的兩條數軸,構成平面直角坐標系.在平面直角坐標系內的點和有序實數對之

間建立了一一對應的關系

知識模塊二:點的坐標特征與變換

知識點一：平面直角坐標系中點的坐標特征

各象限內點的坐標特征(1)P(a,b)在第一象限?a>0,b>0

(2)P(a,b)在第二象限?a<0,b>0

(3)P(a,b)在第三象限?a<0,b<0(4)P(a,b)在第四象限?a>0,b<0

坐標軸上點的坐標特征(1)坐標軸上的點不屬于任何象限:

(2)P(a,b)在x軸上?b=0

(3)P(a,b)在y軸上?a=0

象限的角平分線上點的坐標特征(1)若P(a,b)在一、三象限的角平分線上,則a=b;

(2)若P(a,b)在二、四象限的角平分線上,則a+b=0

知識點二：圖形變換與點的坐標規律

圖形變換點的坐標規律

對

稱

變關于軸點關于軸的對稱點為

換xA(a,b)xB(a,-b)

2

關于y軸點A(a,b)關于y軸的對稱點為C(-a,b)

關于原點點A(a,b)關于原點的對稱點為D(-a,-b)

左右平移將點P(a,b)向左或向右平移h個單位，對應點坐標為(a-h,b)或(a+h,b)

平

移

變

換

上下平移將點P(a,b)向上或向下平移k個單位，對應點坐標為(a,b+k)或(a,b-k)

知識點三：點到坐標軸的距離

在平面直角坐標系中，已知點P，則

1）點P到軸的距離為；(?,?)

2）點P到x軸的距離為b；

3）點P到原y點O的距離為?P＝.

22

?+?

知識點四：坐標平面內兩點間距離的求法（難點）

位置點的坐標距離公式

在同一水平線上；

????

在同一豎直線上?(?,?),?(?,?)???；

任意兩點M（x?，(?y,?）?)，,?N(（?,x??，)y）?????

1122（

22

??=?2??1)+(?2??1)

知識模塊三：坐標方法的簡單應用

用坐標表示地理位置的方法

1）選擇一個適當的參照點為原點建立直角坐標系，并確定x軸、y軸的正方向；

3

2）根據具體問題確定適當的比例尺，在坐標軸上標出長度單位；

3）坐標平面內畫出這些點，并寫出各點的坐標和各個地點的名稱.

知識模塊四：函數

知識點一：函數的相關概念

1.函數的定義：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y

都有唯一確定的值與其對應，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數.

2.函數的取值范圍：使函數有意義的自變量的全體取值，叫做自變量的取值范圍.

類型自變量x的取值范圍.

整式型全體實數；

分式型分母不能為零

偶次根式型使被開方數為非負數的實數

零指數冪、負整數指數冪使底數不為零的實數

混合型各個代數式中自變量取值范圍的公共部分

實際問題使實際問題有意義的實數

3.畫函數圖象的步驟:列表、描點、連線.

4.函數值概念：如果在自變量取值范圍內給定一個值a，函數對應的值為b，那么b叫做當自變量取值為a

時的函數值.

5.函數解析式：用來表示函數關系的數學式子叫做函數解析式或函數關系式.

6.函數圖像上點的坐標與解析式之間的關系：

1）將點的坐標代入到解析式中，如解析式兩邊成立，則點在解析式上，反之，不在.

2）兩個函數圖形交點的坐標就是這兩個解析式所組成的方程組的解.

知識點二：函數的三種表示法及其優缺點

解析法：兩個變量間的函數關系，有時可以用一個含有這兩個變量及數字運算符號的等式表示，這種表示

法叫做解析法.

列表法：把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表來表示函數關系，這種表示法叫做列表法.

圖像法：用圖像表示函數關系的方法叫做圖像法.

優點缺點

解析法準確反映整個變化過程中自變量與函數的關系求對應值是要經過比較復雜的計算，而且實

4

際問題中有的函數值不一定能用解析式表示

列表法自變量和與它對應的函數值數據一目了然所列對應數值個數有限，不容易看出自變量

與函數值的對應關系，有局限性

圖像法形象的把自變量和函數值的關系表示出來圖像中只能得到近似的數量關系

考點一：用有序數對表示位置

【典例1】（2024·湖北宜昌·模擬預測）電影院中的第a排b號位，簡記為a,b，那么b,a（）

A．表示ab排a號

B．表示第b排a號位

C．表示b排或a號

D．與a,b不可能代表同一個位置

【答案】B

【難度】0.94

【知識點】用有序數對表示位置

【分析】本題考查了用有序數對表示位置，根據題意進行解答即可．

【詳解】解：∵電影院中的第a排b號位，簡記為a,b，

∴b,a表示第b排a號位，

故選：B．

【典例2】（2024·甘肅·中考真題）敦煌文書是華夏民族引以為傲的藝術瑰寶，其中敦煌《算經》中出現的

《田積表》部分如圖1所示，它以表格形式將矩形土地的面積直觀展示，可迅速準確地查出邊長10步到60

步的矩形田地面積，極大地提高了農田面積的測量效率．如圖2是復原的部分《田積表》，表中對田地的

長和寬都用步來表示，A區域表示的是長15步，寬16步的田地面積為一畝，用有序數對記為15,16，那

么有序數對記為12,17對應的田地面積為（）

5

A．一畝八十步B．一畝二十步C．半畝七十八步D．半畝八十四步

【答案】D

【難度】0.85

【知識點】用有序數對表示位置

【分析】根據15,16可得，橫從上面從右向左看，縱從右邊自下而上看，解答即可．

本題考查了坐標與位置的應用，熟練掌握坐標與位置的應用是解題的關鍵．

【詳解】根據15,16可得，橫從上面從右向左看，縱從右邊自下而上看，

故12,17對應的是半畝八十四步，

故選D．

【典例3】（2024·河北邯鄲·模擬預測）如圖所示為雷達在一次探測中發現的三個目標，其中目標A，B的

位置分別表示為120，4，240，3，按照此方法可以將目標C的位置表示為（）

A．30，1B．210，5C．30，5D．60，2

【答案】C

【難度】0.85

【知識點】用有序數對表示位置

【分析】本題考查了有序數對的應用．理解題意是解題的關鍵．

由目標A，B的位置分別表示為120，4，240，3，可知目標C的位置表示為(30°，5)．

6

【詳解】解：∵目標A，B的位置分別表示為120，4，240，3，

∴目標C的位置表示為(30°，5)，

故選：C．

【典例4】（2024·江蘇鹽城·三模）小民和小澤兩姐弟拿著如圖的密碼表玩聽聲音猜漢字的游戲，若聽到“咚

咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是“kuo”，則聽到“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表

示的漢字可能為（）

4rkwbe

3thgil

2adyuj

1ocnfx

12345

A．漢B．華C．鹽D．音

【答案】C

【難度】0.65

【知識點】用有序數對表示位置

【分析】本題考查了有序數對表示位置，根據題意，“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是

“kuo”，表示2,4，4，2，1，1的對應的字母為“kuo”，則“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示

3,2，1，2，3，1對應的字母為“yan”，即可求解，理解題意是解題的關鍵．

【詳解】解：∵“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是“kuo”，

∴“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示2,4，4，2，1，1的對應的字母為“kuo”，

∴“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示3,2，1，2，3，1對應的字母為“yan”，

∴“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示的漢字可能是：“鹽”，

故選：C．

考點二：實際問題中用坐標表示位置

【典例1】（2024·廣西南寧·二模）中國陽明文化園部分平面圖如圖所示，若用(0,0)表示王陽明紀念館的位

置，用(1,3)表示游客接待中心的位置，則南門的位置可表示為（）

7

A．(2,3)B．(2,3)C．(3,2)D．(3,2)

【答案】A

【難度】0.94

【知識點】實際問題中用坐標表示位置

【分析】本題考查用坐標表示位置，根據題意直接寫出南門位置的坐標即可．

【詳解】解：南門的位置是2,3，

故選：A

【典例2】（2024·貴州·模擬預測）“在生活的舞臺上，我們都是不屈不撓的拳擊手，面對無盡的挑戰，揮灑

汗水，拼搏向前！”今年的春節檔《熱辣滾燙》展現了角色堅韌不拔的精神面貌，小星、小紅兩人也觀看了

此電影．如圖是利用平面直角坐標系畫出的影院內分布圖，若分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方向，

建立平面直角坐標系xOy，他們這樣描述自己的座位：①小星：表示我座位的坐標為2,3；②小紅：在小

星的座位向右走4個座位，再向上走2個座位，就可以找到我了，則表示小紅座位的坐標為．

【答案】2,5

【難度】0.85

【知識點】實際問題中用坐標表示位置

【分析】本題考查坐標確定位置．根據小星座位的坐標為(2,3)，建立平面直角坐標系，進而分別分析得出

答案．

8

【詳解】解：∵小星座位的坐標為，

∴建立平面直角坐標系如圖，?2,3

∴小紅座位的坐標為2,5，

故答案為：2,5．

【典例3】（2024·貴州·模擬預測）如圖，小星從點O出發，先向西走400m，再向南走300m到達點M，

如果點M的位置用4,3表示，那么1,2表示的位置是點．

【答案】B

【難度】0.85

【知識點】實際問題中用坐標表示位置

【分析】本題考查坐標確定位置，根據點在平面直角坐標系中的確定方法解答即可．

【詳解】解：∵點M的位置用4,3表示，實際意義為從點O出發，先向西走400m，再向南走300m，

∴網格中一個小正方形邊長為100m，

∴1,2表示的位置實際意義為從點O出發，先向東走100m，再向北走200m，對應的是點B，

故答案為：B．

【典例4】（2024·山西朔州·模擬預測）我國水墨畫發展有著悠遠歷史，相傳始于唐代，成于五代，盛于宋

元，明清及近代以來續有發展，重于意境優美，圖為水墨畫“早有蜻蜓立上頭”，若將其放在平面直角坐標系

中，點A2,1，B1,1，則點C坐標為．

9

【答案】3,2

【難度】0.85

【知識點】實際問題中用坐標表示位置

【分析】本題主要考查了點的坐標，根據已知點的坐標，找出原點，建立平面直角坐標系，然后根據點C的

位置，寫出點C的坐標．解題關鍵是熟練掌握根據已知點的坐標，找出坐標原點．

【詳解】解：如圖所示，根據點A2,1，B1,1，建立坐標系，如圖所示：

∴點C坐標為：3,2，

故答案為：3,2．

【典例5】（2024·四川·中考真題）如圖，在一個平面區域內，一臺雷達探測器測得在點A，B，C處有目標

出現．按某種規則，點A，B的位置可以分別表示為1,90,2,240，則點C的位置可以表示為．

【答案】3,30

【難度】0.85

10

【知識點】實際問題中用坐標表示位置

【分析】本題考查了坐標確定位置，根據題意得到圓圈數表示有序數對的第一個數，度數表示有序數對的

第二個數是解題關鍵．根據題意可得：圓圈數表示有序數對的第一個數，度數表示有序數對的第二個數，

可得答案．

【詳解】解：∵A，B的位置分別表示為1,90,2,240．

∴目標C的位置表示為3,30．

故答案為：3,30

【典例6】（2024·貴州六盤水·一模）如圖，小黔與小紅在玩“五子棋”；小黔是黑子，他把第四子下在棋盤

坐標的1,2上，則小紅下的白色第三子的棋盤坐標是．

【答案】6,2

【難度】0.85

【知識點】實際問題中用坐標表示位置

【分析】本題考查的是坐標與圖形，根據1,2建立坐標系，再確定小紅下的白色第三子的棋盤坐標即可.

【詳解】解：如圖，

小紅下的白色第三子的棋盤坐標是6,2，

故答案為：6,2．

考點三：判斷點所在的象限

【典例1】（2024·貴州·中考真題）為培養青少年的科學態度和科學思維，某校創建了“科技創新”社團．小

紅將“科”“技”“創”“新”寫在如圖所示的方格紙中，若建立平面直角坐標系，使“創”“新”的坐標分別為2,0，

11

0,0，則“技”所在的象限為（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】A

【難度】0.94

【知識點】判斷點所在的象限

【分析】本題考查坐標與圖形，先根據題意確定平面直角坐標系，然后確定點的位置．

【詳解】解：如圖建立直角坐標系，則“技”在第一象限，

故選A．

【典例2】（2024·福建福州·模擬預測）已知一次函數ym3xn3的圖象如圖所示，則點P(mn，2n)

所在的象限為()

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】D

【難度】0.85

【知識點】已知函數經過的象限求參數范圍、判斷點所在的象限、求一元一次不等式的解集、不等式的性

質

【分析】由圖象經過第一、三、四象限可知k0,b0求出m3,n3，再根據不等式的性質得到

mn0,2n0，即可判斷所處象限．

m30

【詳解】解：由題意得，，

n30

12

∴m3,n3，

∴n3，

∴mn6，2n6

∴mn0,2n0，

故選：D．

【點睛】本題考查了一次函數圖像與系數的關系，解一元一次不等式，點的坐標特征，不等式的性質，熟

練掌握知識點是解題的關鍵．

【典例3】（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，以點O為圓心，適當長為半徑

1

畫弧，交x軸正半軸于點M，交y軸正半軸于點N，再分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，

2

兩弧在第一象限交于點H，畫射線OH，若H2a1,a1，則a．

【答案】2

【難度】0.85

【知識點】作角平分線(尺規作圖)、角平分線的性質定理、坐標與圖形

【分析】此題主要考查了角平分線的尺規作圖和性質，坐標與圖形的性質，根據作圖方法可得點H在第一

象限的角平分線上，根據角平分線的性質和第一象限內點的坐標符號可得答案．

【詳解】解：根據作圖方法可得點H在第一象限角平分線上；點H橫縱坐標相等且為正數；

2a1a1，

解得：a2，

故答案為：2．

【典例4】（2024·山東臨沂·模擬預測）已知a+b<0，ab0，則在如圖所示的平面直角坐標系中，小手蓋

住的點的坐標可能是（）

13

A．a,bB．a,bC．a,bD．a,b

【答案】B

【難度】0.65

【知識點】坐標與圖形、判斷點所在的象限

【分析】本題主要考查了判斷點所在的象限，熟知每個象限點的坐標特征是解題的關鍵；

根據a+b<0，ab0，得到a0，

b0，觀察圖形判斷出小手蓋住的點在第四象限，據此解答即可；

【詳解】ab0，

a、b同號，

a+b<0，

a0，

b0，

A．a,b在第三象限，因為小手蓋住的點在第四象限，故此選項不符合題意；

B．a，b在第四象限，因為小手蓋住的點在第四象限，故此選項符合題意；

C．a，b在第一象限，因為小手蓋住的點在第四象限，故此選項不符合題意；

D．a，b在第二象限，因為小手蓋住的點在第四象限，故此選項不符合題意；

故選：B．

3

【典例5】（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）點Px,y在直線yx4上，坐標x,y是二元一次方程

4

5x6y33的解，則點P的位置在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】D

【難度】0.65

【知識點】代入消元法、判斷點所在的象限、兩直線的交點與二元一次方程組的解

3

yx4

【分析】本題考查了一次函數圖象上點的特征，解二元一次方程組等知識，聯立方程組4，求

5x6y33

出點P的坐標即可判斷．

14

3

yx4

【詳解】解∶聯立方程組4，

5x6y33

x6

解得1，

y

2

1

∴P的坐標為6,，

2

∴點P在第四象限，

故選∶D．

【典例6】（2024·四川雅安·模擬預測）在平面直角坐標系中有五個點，分別是

A1,2，B3,4，C2,3，D43,，E2,3從中任選一個點恰好在第二象限的概率是．

1

【答案】

5

【難度】0.65

【知識點】列舉法求概率、判斷點所在的象限

【分析】本題考查了列舉法求概率，第二象限的點坐標的特征．熟練掌握列舉法求概率，第二象限的點坐

標的特征是解題的關鍵．

由題意知，B3,4在第二象限，然后求概率即可．

【詳解】解：由題意知，B3,4在第二象限，

1

∴任選一個點恰好在第二象限的概率是，

5

1

故答案為：．

5

【典例7】（2024·湖南·中考真題）在平面直角坐標系xOy中，對于點，若x，y均為整數，則稱點P

y??,?

為“整點”．特別地，當（其中xy0）的值為整數時，稱“整點”P為“超整點”，已知點P2a4,a3在第

x

二象限，下列說法正確的是（）

A．a3

B．若點P為“整點”，則點P的個數為3個

C．若點P為“超整點”，則點P的個數為1個

D．若點P為“超整點”，則點P到兩坐標軸的距離之和大于10

【答案】C

【難度】0.65

【知識點】已知點所在的象限求參數、求點到坐標軸的距離、求不等式組的解集

15

【分析】本題考查了新定義，點到坐標軸的距離，各象限內點的特征等知識，利用各象限內點的特征求出a

的取值范圍，即可判斷選項A，利用“整點”定義即可判斷選項B，利用“超整點”定義即可判斷選項C，利用

“超整點”和點到坐標軸的距離即可判斷選項D．

【詳解】解：∵點P2a4,a3在第二象限，

2a40

∴，

a30

∴3a2，故選項A錯誤；

∵點P2a4,a3為“整點”，3a2，

∴整數a為2，1，0，1，

∴點P的個數為4個，故選項B錯誤；

∴“整點”P為8,1，6,2，4,3，2,4，

1121334

∵，，，2

8863442

∴“超整點”P為2,4，故選項C正確；

∵點P2a4,a3為“超整點”，

∴點P坐標為2,4，

∴點P到兩坐標軸的距離之和246，故選項D錯誤，

故選：C．

【典例8】（2024·甘肅·模擬預測）從小到大的三個整數：1，2，3，從中隨機抽取一個數作為點P的橫坐

標，在余下的兩個數中隨機抽取一個數作為點P的縱坐標．

(1)請用畫樹狀圖或列表的方法寫出點P所有可能的坐標．

(2)在所有可能的點P中，求點P落在第二象限的概率．

【答案】(1)見解析

1

(2)

3

【難度】0.65

【知識點】判斷點所在的象限、列表法或樹狀圖法求概率

【分析】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率與直角坐標系中點的坐標特征．注意樹狀圖法與列表法

可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上

完成的事件；注意概率所求情況數與總情況數之比．

16

（1）首先根據題意畫出表格，即可得到P的所有坐標；

（2）然后由表格求得所有等可能的結果與點P落在第二象限的的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．

【詳解】（1）解：由題意知，列表如下：

縱坐標

123

結果橫坐標

12,13,1

21,23,2

31,3

2,3

（2）解：共有6種等可能的結果數，其中點P落在第二象限的結果有1,2，1,3，共2個，

21

∴P(點P落在第二象限)

63

考點四：直角坐標系中點的坐標

【典例1】（2024·貴州貴陽·一模）中國象棋趣味濃厚，基本規則簡明易懂，而棋子活動的場所，叫作“棋盤”．觀

察如圖所示象棋盤，以“炮”為原點，分別以正東、正北方向為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標系，請

寫出“馬”的坐標是．

【答案】1,3

【難度】0.94

【知識點】寫出直角坐標系中點的坐標

【分析】此題主要考查了坐標確定位置，正確理解題意是解題關鍵．根據題意畫出坐標系，進而確定公園

的坐標．

17

【詳解】解：如圖所示：“馬”的坐標是：1,3．

故答案為：1,3．

【典例2】（2024·遼寧錦州·模擬預測）已知a，b都是實數，設點Pa，b，若滿足3a2b5，則稱點P

為“新奇點”．若點M(m1,3m2)是“新奇點”，則M的坐標為．

【答案】5,10

【難度】0.85

【知識點】解一元一次方程（二）——去括號、寫出直角坐標系中點的坐標

【分析】本題考查新定義．根據新定義確定m的值．解題關鍵是理解新定義．

根據“新奇點”的定義，得方程3(m1)2(3m2)5．求解得出m的值，從而求出點M的坐標，即可求解．

【詳解】解：∵點M(m1,3m2)是“新奇點”，

∴3(m1)2(3m2)5．

解得：m4．

∴m15,3m210．

∴點M的坐標為5,10．

故答案為：5,10．

111

【典例3】（2024·四川廣元·中考真題）若點Qx,y滿足，則稱點Q為“美好點”，寫出一個“美

xyxy

好點”的坐標．

【答案】2,1（答案不唯一）

【難度】0.85

【知識點】解分式方程、坐標與圖形

18

【分析】此題考查了解分式方程，先將方程兩邊同時乘以xy后去分母，令x代入一個數值，得到y的值，

以此為點的坐標即可，正確解分式方程是解題的關鍵

【詳解】解：等式兩邊都乘以xy，得xy1，

令，則，

?=2?=?1

∴“美好點”的坐標為2，1，

故答案為2，1（答案不唯一）

【典例4】（2024·湖南岳陽·模擬預測）如圖1所示，該幾何體為長方體，記作長方體ABCDA1B1C1D1，

如圖2所示，以頂點A1為原點O，分別以棱A1B1，A1D1，A1A所在的直線為x軸、y軸、z軸，建成的坐

標系稱為立體坐標系（亦稱三維坐標系）Oxyz，立體空間中點的位置由三個有序的實數確定，記作x,y,z，

稱為該點的坐標．若長方體的長寬高分別為A1B13，A1D12,A1A1，我們知道，在平面直角坐標系Oxy

中，點C1的坐標為3,2，由點C1豎直向上平移1個單位可得到點C，所以點C在立體坐標系中的坐標記

為C3,2,1，由此可知點O和點B的坐標分別記為O0,0,0，B3,0,1．照此方法，請你確定點D在立

體坐標系中的坐標為（）

A．1,0,3B．2,1,0

C．0,2,1D．1,2,1

【答案】C

【難度】0.85

【知識點】坐標與圖形、寫出直角坐標系中點的坐標

【分析】本題考查了新定義以及坐標與圖形，長方形的性質，先理解題意，得出DD1CC11，

ADBCB1C12，結合點O和點B的坐標分別記為O0,0,0，B3,0,1，然后得出A0,0,1，最后得

D0,2,1，即可作答．

【詳解】解：依題意，∵在平面直角坐標系Oxy中，點C1的坐標為3,2，由點C1豎直向上平移1個單

19

位可得到點C，所以點C在立體坐標系中的坐標記為C3,2,1，且長方體的長寬高分別為A1B13，

A1D12,A1A1，

∴DD1CC11，ADBCB1C12，

∵點O和點B的坐標分別記為O0,0,0，B3,0,1，

∴A0,0,1，

∵ADBCB1C12，

∴D0,2,1，

故選：C．

【典例5】（2024·寧夏銀川·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，點A2，3，點B在x軸的正半軸上，

且OAAB，將△OAB沿x軸向右平移得到ECD，AB與CE交于點F．若CF：EF3：1，則點D的坐標

為．

【答案】7，0

【難度】0.65

【知識點】寫出直角坐標系中點的坐標、等腰三角形的性質和判定、利用平移的性質求解、由平行判斷成

比例的線段

EBEF1

【分析】由點A2，3，OAAB，可得B4，0，由平移的性質可知，AB∥CD，EDOB4，則，

BDCF3

可求BD3，ODOBBD7，進而可求點D的坐標．

【詳解】解：∵點A2，3，OAAB，

∴B4，0，

由平移的性質可知，AB∥CD，EDOB4，

EBEF1

∴，

BDCF3

解得，BD3EB，

∵EBBD4，

∴BD3，ODOBBD7，

20

∴D7，0，

故答案為：7，0．

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，平移的性質，平行線分線段成比例，點坐標等知識．熟練掌握等

腰三角形的性質，平移的性質，平行線分線段成比例，點坐標是解題的關鍵．

【典例6】（2024·四川樂山·模擬預測）如圖所示，矩形OABC中，OA6,OC4,COx60，則點B的

坐標為（）．

A．233,323B．233,233

C．23,23D．233,233

【答案】A

【難度】0.65

【知識點】解直角三角形的相關計算、根據矩形的性質求線段長、寫出直角坐標系中點的坐標、二次根式

的混合運算

【分析】本題考查了坐標與圖形，矩形的性質，解直角三角形，過點A作y軸的平行線交x軸與點E，過點

B過作該平行線的垂線垂足為點I，交y軸于點F，過點C作x軸的垂線，垂足為點D，解直角三角形，求

出CD23,OD2,AE3,OE33，利用矩形的性質得到AIB30,ABOC4，求出BI2,AI23，

進而求出EIAIAE323,BFOEBI332，即可得到點B的坐標．

【詳解】解：如圖，過點A作y軸的平行線交x軸與點E，過點B過作該平行線的垂線垂足為點I，交y軸

于點F，過點C作x軸的垂線，垂足為點D，則CDOAEOBIABFO90，

∵矩形OABC中，OA6,OC4,COx60，

21

∴AOCOABABC90,ABOC4，

∴AOE180AOCOCD30，

∴OAE90AOE60，

同理，ABI60，

∴在RtOCD中，

ODOC·cos602,CDOC·sin6023，

∴在RtAOE中，

AEOA·cos603,OEOA·sin6033，

∴在RtABI中，

BIAB·cos602,AIAB·sin6023，

∵BFOFOEIEO90，

∴四邊形IEOF是矩形，

∴IFOE33

∴EIAIAE323,BFOEBI332，

∵點B在第二象限，

∴點B的坐標為:233,323

故選：A．

考點五：點坐標規律探索

【典例1】（2024·湖北·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，將點P1，3繞點A2，0順時針旋轉90后

得到點P1，再將點P1繞點A順時針旋轉90后得到P2，再將點P2繞點A順時針旋轉90后得到P3，依此類推，

則P2023的坐標是（）

A．5，1B．3，3C．1，1D．1，3

【答案】C

22

【難度】0.85

【知識點】求繞原點旋轉90度的點的坐標、根據旋轉的性質求解、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA

或者AAS）、點坐標規律探索

【分析】本題考查坐標規律探索，全等三角形的判定與性質；

≌

過點P作PDx軸，過點P1作P1Ex軸，根據條件證明P1EAADPAAS，即可求得P15,1，同理可

得：P23,3，P31,1，即可求解．

【詳解】過點P作PDx軸，過點P1作P1Ex軸，如圖，

，，

∵點P13繞點A20順時針旋轉90后得到點P1

∴P1APA，PAP190

∴EAP1PAD90

∵EAP1APE90

∴PADAPE

∵P1EAPDA90

≌

∴P1EAADPAAS

∵P1，3，A2，0

∴AEPD3，OD1，OA2

∴ADP1E1

∴OEAEOA5

∴P15,1；

，

同理可得：P23,3，P31,1，P413…….

∵20234=505.....3

∴P20231,1

23

故選：C．

【典例2】（2024·廣東惠州·模擬預測）如圖，在單位長度為1米的平面直角坐標系中，曲線是由半徑為2

2

米，圓心角為120的弧AB多次復制并首尾連接而成．現有一點P從A（A為坐標原點）出發，以每秒

3

米的速度沿曲線向右運動，則在第2024秒時點P的縱坐標為（）

A．2B．1C．0D．1

【答案】C

【難度】0.65

【知識點】點坐標規律探索、求弧長

【分析】本題考查弧長的計算、點的坐標的特點，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．根

據題意和圖形，可以求得弧AB的長，然后由圖可知，每走兩個弧AB為一個循環，然后即可得到在第2024

秒時點P的縱坐標．

12024

【詳解】解：l（米）；

AB1803

42

∵2（秒），

33

∴每4秒一個循環，

∵20244506，

∴在第2024秒時點P的縱坐標為0，

故選：C．

【典例3】（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，正方形OMNP頂點M的坐標

為3,0，△OAB是等邊三角形，點B坐標是，△OAB在正方形OMNP內部緊靠正方形OMNP的邊（方

1,0

向為OMNPOM）做無滑動滾動，第一次滾動后，點A的對應點記為A1，A1的坐標是

；第二次滾動后，A1的對應點記為A2，A2的坐標是；第三次滾動后，A2的對應點記為A3，A3的

2,02,0

31

坐標是；如此下去，，則的坐標是．

3,……A2024

22

24

【答案】1,3

【難度】0.65

【知識點】點坐標規律探索、等邊三角形的性質、根據正方形的性質求線段長

【分析】本題考查了點的坐標變化規律，正方形性質，等邊三角形性質，根據三角形的運動方式，依次求

出點A的對應點A1，A2，，A12的坐標，發現規律即可解決問題．

【詳解】解：正方形OMNP頂點M的坐標為3,0，

OMMNNPOP3,

△OAB是等邊三角形，點B坐標是1,0，

等邊三角形高為3，

2

由題知，

A1的坐標是2,0；

A2的坐標是2,0；

31

的坐標是；

A33,

22

繼續滾動有，A4的坐標是3,2；

A5的坐標是3,2；

53

的坐標是；

A6,3

22

A7的坐標是1,3；

A8的坐標是1,3；

25

35

的坐標是；

A9,

22

A10的坐標是0,1；

A11的坐標是0,1；

13

的坐標是；

A12,

22

A13的坐標是2,0；不斷循環，循環規律為以A1，A2，，A12，12個為一組，

2024121688，

A2024的坐標與A8的坐標一樣為1,3，

故答案為：1,3．

【典例4】．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，已知A11,3，A23,3，A34,0，A46,0，A57,3，

A69,3，A710,0，A811,3…，依此規律，則點A2024的坐標為．

【答案】2891,3

【難度】0.65

【知識點】求一個數的算術平方根、點坐標規律探索

【分析】本題考查了點坐標的規律探究．解題的關鍵在于根據題意推導出一般性規律．根據題意可知7個點

坐標的縱坐標為一個循環，A7n的坐標為10n,0，據此可求得A2024的坐標．

【詳解】解：∵A11,3，A23,3，A34,0，A46,0，A57,3，A69,3，A710,0，A811,3…，，

∴可知7個點坐標的縱坐標為一個循環，A7n的坐標為10n,0，A7n110n1,3

∵202472891，

∴A2023的坐標為2890,0．

26

∴A2024的坐標為2891,3

故答案為：2891,3．

【典例5】（2024·黑龍江齊齊哈爾·模擬預測）在平面直角坐標系中，點A1、A2、A3、A4…在x軸的正半

3△△△

軸上，點B1、B2、B3…在直線yxx0上．若點A1的坐標為，且A1B1A2、A2B2A3、A3B3A4…

3

2,0

均為等邊三角形．則點B2024的縱坐標為．

【答案】220233

【難度】0.4

【知識點】點坐標規律探索、正比例函數的性質、等邊三角形的性質、解直角三角形的相關計算

3

【分析】過點A1作A1Mx軸，交直線yxx0于點M，過點B1作B1Cx軸于點C，先求出

3

A1OM30，再根據等邊三角形的性質、等腰三角形的判定可得A1B1OA12，然后解直角三角形可得B1C

的長，即可得點B1的縱坐標，同樣的方法分別求出點B2，B3，B4的縱坐標，最后歸納類推出一般規律得到

Bn的縱坐標，由此即可算出點B2024的縱坐標．

3

【詳解】解：如圖，過點A1作A1Mx軸，交直線yxx0于點M，過點B1作B1Cx軸于點C，

3

A12,0，

OA12，

232323

當時，，即M2,，，

x2yA1M

333

A1M3

tanA1OM，

A1O3

27

A1OM30，

A1B1A2是等邊三角形，

A2A1B160，A1A2A1B1，

OB1A130A1OM，

A1B1OA12，

33

BCABsin602，即點B1的縱坐標為2，

11122

23

同理可得：點B2的縱坐標為2，

2

33

點B3的縱坐標為2，

2

43

點B4的縱坐標為2，

2

n3n1

歸納類推得：點Bn的縱坐標為223（n為正整數），

2

202412023

則點B2024的縱坐標為2323，

故答案為：220233．

【點睛】本題考查了點坐標的規律探索、等邊三角形的性質、正比例函數的應用、解直角三角形等知識點，

正確歸納類推出一般規律是解題關鍵．

△△△△

【典例6】（2024·寧夏銀川·二模）如圖，A1A2A3,A4A5A6,A7A8A9,A3n2A3n1A3n（n為正整數）均為

等邊三角形，它們的邊長依次是2，4，6，…，2n，頂點A3,A6,A9,A3n均在y軸上，點O是所有等邊三

角形的中心，點A32的坐標為．

10310

【答案】10,/10,3

33

【難度】0.65

【知識點】點坐標規律探索、等邊三角形的性質、解直角三角形的相關計算

28

【分析】此題考查了點的變化規律，主要利用了等邊三角形的性質和解直角三角形求出點A1、A4