§1.1集合課標要求1.了解集合的含義，了解全集、空集的含義.2.理解元素與集合的屬于關系，理解集合間的包含和相等關系.3.會求兩個集合的并集、交集與補集.4.能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，能使用Venn圖表示集合間的基本關系和基本運算.1.集合與元素(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于，用符號∈或?表示.(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法.(4)常見數集的記法集合非負整數集(或自然數集)正整數集整數集有理數集實數集符號NN*(或N＋)ZQR2.集合的基本關系(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作A?B(或B?A).(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA).(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本運算表示運算集合語言圖形語言記法并集{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集{x|x∈A，且x∈B}A∩B補集{x|x∈U，且x?A}?UA1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列舉法表示為{－1，0，1}.(×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(×)(3)若1∈{x2，x}，則x＝－1或x＝1.(×)(4)對任意集合A，B，都有(A∩B)?(A∪B).(√)2.(2025·濰坊模擬)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|－3<2x－1<3}，則A∩B等于()A.{－2，1} B.(－2，1)C.{1} D.(－1，2)答案C解析A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}＝{1，－2}，B＝{x|－3<2x－1<3}＝{x|－1<x<2}，∴A∩B＝{1}.3.(2024·長沙模擬)已知集合M＝{x|x<1}，N＝{x|x2<1}，則()A.M＝N B.M?NC.N?M D.M∩N＝?答案C解析由題意集合M＝{x|x<1}，N＝{x|x2<1}＝{x|－1<x<1}，所以N?M.4.已知集合M＝{x|－1<x<3}，N＝{x|x≥a，a∈R}，若M∩N＝M，則實數a的取值范圍是.

答案(－∞，－1]解析因為M∩N＝M，所以M?N，所以a≤－1.1.掌握有限集子集個數的結論若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有(2n－1)個，非空子集有(2n－1)個，非空真子集有(2n－2)個.2.靈活應用兩個常用性質(1)?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB).(2)?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB).3.牢記兩個注意點(1)在應用條件A∪B＝B?A∩B＝A?A?B時要樹立分類討論的思想，將集合A是空集的情況優先進行討論.(2)在解答集合問題時，要注意集合元素的特性，特別是互異性對集合元素的限制.題型一集合的含義與表示例1(1)(多選)下列各組中M，P表示不同集合的是()A.M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}B.M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}C.M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}D.M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}答案ABD解析選項A中，M＝{3，－1}是數集，P＝{(3，－1)}是點集，二者不是同一集合，故M≠P；選項B中，(3，1)與(1，3)表示不同的點，故M≠P；選項C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝[1，＋∞)，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}＝[1，＋∞)，故M＝P；選項D中，M是二次函數y＝x2－1，x∈R的所有y組成的集合，而集合P是二次函數y＝x2－1，x∈R圖象上所有點組成的集合，故M≠P.(2)已知m∈R，n∈R，若集合m，nm，1＝{m2，m＋n，0}，則m2025＋nA.－2 B.－1 C.1 D.2答案B解析因為m，nm，1＝{m2，m＋n，0}所以n解得n＝0,當m＝1時，不滿足集合元素的互異性，故m＝－1，n＝0，m2025＋n2025＝(－1)2025＋02025＝－1.思維升華解決集合含義問題的關鍵點(1)確定集合中的代表元素.(2)確定元素的限制條件.(3)理解元素的互異性，在解決集合中含有字母的問題時，一定要返回代入驗證，防止與集合中元素的互異性相矛盾.跟蹤訓練1(1)已知集合A＝{－1，a2－2a＋1，a－4}，若4∈A，則a的值可能為()A.－1，3 B.－1 C.－1，3，8 D.－1，8答案D解析由題意，若a2－2a＋1＝4，解得a＝3或a＝－1，若a－4＝4，解得a＝8，當a＝－1時，A＝{－1，4，－5}滿足題意，當a＝3時，A＝{－1，4，－1}違背了集合中元素間的互異性，當a＝8時，A＝{－1，4，49}滿足題意，綜上所述，a的值可能為－1，8.(2)(多選)非空集合A具有如下性質：①若x，y∈A，則xy∈A；②若x，y∈A，則x＋y∈A，下列判斷中，正確的有(A.－1?AB.20242025∈C.若x，y∈A，則xy∈AD.若x，y∈A，則x－y∈A答案ABC解析對于A，假設－1∈A，則令x＝y＝－1，則xy＝1∈A令x＝－1，y＝1，則x＋y＝0∈A，令x＝1，y＝0，不存在xy，即y≠0∴－1?A，故A對；對于B，由題知，1∈A，則1＋1＝2∈A，2＋1＝3∈A，…，2024∈A，2025∈A，∴20242025∈A，故B對于C，∵1∈A，x∈A，∴1x∈A∵y∈A，1x∈A，∴y1x＝xy∈A對于D，∵1∈A，2∈A，若x＝1，y＝2，則x－y＝－1?A，故D錯.題型二集合間的基本關系例2(1)(2025·青島模擬)已知全集U＝R，集合A，B滿足A?(A∩B)，則下列關系一定正確的是()A.A＝B B.B?AC.A∩(?UB)＝? D.(?UA)∩B＝?答案C解析因為集合A，B滿足A?(A∩B)，故可得A?B，對A，當A為B的真子集時，不成立；對B，當A為B的真子集時，也不成立；對C，A∩(?UB)＝?，恒成立；對D，當A為B的真子集時，不成立.(2)已知M＝{x|－2≤x≤2}，A＝{x|1－a≤x≤1＋a}，且A∩M＝A，則實數a的取值范圍為.

答案{a|a≤1}解析因為A∩M＝A，所以A?M，又因為A＝{x|1－a≤x≤1＋a}，當A＝?時，1－a>1＋a，解得a<0；當A≠?時，a≥0,1-a≥-2,1綜上，實數a的取值范圍是{a|a≤1}.思維升華(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關系問題時，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解.(2)已知兩個集合間的關系求參數時，關鍵是將條件轉化為元素或區間端點間的關系，進而轉化為參數所滿足的關系，常用數軸、Venn圖等來直觀解決這類問題.跟蹤訓練2(1)(多選)已知I為全集，若A∪B＝A，則()A.A?B B.B?AC.?IA??IB D.?IB??IA答案BC解析因為A∪B＝A，所以B?A，所以?IA??IB.(2)(多選)已知集合M＝{－1，1}，N＝{x|mx＝1}，且N?M，則實數m的值可以為()A.－2 B.－1 C.0 D.1答案BCD解析當N＝?時，滿足N?M，此時m＝0；當N≠?時，m≠0，解mx＝1可得，x＝1m因為N?M，所以1m＝－1或1m＝當1m＝－1時，m＝－1當1m＝1時，m＝1綜上所述，m＝0或m＝－1或m＝1.題型三集合的基本運算命題點1集合的運算例3(1)(2024·新課標全國Ⅰ)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，則A∩B等于()A.{－1，0} B.{2，3}C.{－3，－1，0} D.{－1，0，2}答案A解析因為A＝{x|－35<x<35B＝{－3，－1，0，2，3}，且1<35<2，－2<－35<－所以A∩B＝{－1，0}.(2)(2023·全國甲卷)設全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，則?U(M∪N)等于()A.{x|x＝3k，k∈Z}B.{x|x＝3k－1，k∈Z}C.{x|x＝3k－2，k∈Z}D.?答案A解析方法一M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以?U(M∪N)＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍數，即?U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}.方法二集合M∪N表示被3除余1或2的整數集，則它在整數集中的補集是恰好被3整除的整數集.命題點2利用集合的運算求參數的值(范圍)例4(1)設集合A＝{x|x<a2}，B＝{x|x>a}，若A∩(?RB)＝A，則實數a的取值范圍為()A.[0，1] B.[0，1)C.(0，1) D.(－∞，0]∪[1，＋∞)答案A解析因為B＝{x|x>a}，所以?RB＝{x|x≤a}，又A∩(?RB)＝A，所以A??RB，又A＝{x|x<a2}，所以a2≤a，解得0≤a≤1，即實數a的取值范圍為[0，1].(2)(2025·衡水模擬)已知集合A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{x|x≤a}，若(?RA)∪B＝R，則實數a的取值范圍為()A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)C.(－∞，1) D.(－∞，1]答案B解析由題可知A＝{x|y＝ln(1－x2)}＝{x|－1<x<1}，?RA＝{x|x≤－1或x≥1}，所以由(?RA)∪B＝R，得a≥1.思維升華對于集合的交、并、補運算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示；如果集合中的元素是連續的，可用數軸表示，此時要注意端點的情況.命題點3集合的應用容斥原理是一種數學計數方法，用于處理在計數過程中出現的重疊問題.其基本思想是先不考慮重疊的情況，將所有對象數目計算出來，然后再將重復計算的數目排除出去.我們把含有限個元素的集合A叫做有限集，用card(A)來表示有限集合A中元素的個數.例如，A＝{a，b，c}，則card(A)＝3.容斥原理告訴我們，如果被計數的事物有A，B，C三類，那么，card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C).例5某校初一(4)班有學生46人，寒假參加體育訓練，其中足球隊25人，排球隊22人，游泳隊24人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有9人，排球、游泳都參加的有8人，則三項都參加的人數為()A.2 B.3 C.4 D.5答案C解析設集合A＝{x|x是參加足球隊的學生}，集合B＝{x|x是參加排球隊的學生}，集合C＝{x|x是參加游泳隊的學生}，則card(A)＝25，card(B)＝22，card(C)＝24，card(A∩B)＝12，card(B∩C)＝8，card(A∩C)＝9.設三項都參加的有m人，即card(A∩B∩C)＝m，card(A∪B∪C)＝46，所以由card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)，即46＝25＋22＋24－12－8－9＋m，解得m＝4，故三項都參加的有4人.思維升華在解決數量關系問題、陰影面積問題時，通過應用容斥原理，可以有效地解決涉及重疊或包含關系的問題，確保計算結果的準確性.跟蹤訓練3(1)(2025·廣東八校聯考)設集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，則a的取值范圍是()A.[1，＋∞) B.[2，＋∞)C.(－∞，1] D.(－∞，2]答案B解析由A∩B＝A知A?B，又A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，所以a≥2.(2)(多選)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|1<x≤3}，則下列判斷正確的是()A.A∪B＝BB.(?RB)∪A＝RC.A∩B＝{x|1<x≤2}D.(?RB)∪(?RA)＝{x|x≤1或x>2}答案CD解析由x2－3x＋2≤0，即(x－2)(x－1)≤0，解得1≤x≤2，所以A＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，由B＝{x|1<x≤3}，所以A∪B＝{x|1≤x≤3}，故A錯誤；A∩B＝{x|1<x≤2}，故C正確；又?RB＝(－∞，1]∪(3，＋∞)，所以(?RB)∪A＝(－∞，2]∪(3，＋∞)，故B錯誤；?RA＝(－∞，1)∪(2，＋∞)，所以(?RB)∪(?RA)＝(－∞，1]∪(2，＋∞)，故D正確.(3)某年級先后舉行數理化三科競賽，學生中至少參加一科的：數學203人，物理179人，化學165人；至少參加兩科的：數學、物理143人，數學、化學116人，物理、化學97人；三科都參加的有90人.則參加競賽的學生總人數是.

答案281解析由題意，用A，B，C分別表示參加數學競賽、物理競賽和化學競賽的學生構成的集合，則card(A)＝203，card(B)＝179，card(C)＝165，card(A∩B)＝143，card(B∩C)＝97，card(A∩C)＝116，card(A∩B∩C)＝90，因此card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)＝203＋179＋165－143－97－116＋90＝281.所以參加競賽的學生總人數是281.集合中的創新問題數學思維的創新是思維品質的最高層次，以集合為背景的創新問題是新高考命題創新型試題的一個熱點，此類題目常常以“問題”為核心，以“探究”為途徑，以“發現”為目的，以集合為依托，考查學生理解問題、解決創新問題的能力.典例(1)(多選)設P是一個數集，且至少含有兩個數，若對任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，ab∈P(除數b≠0)，則稱P是一個數域.例如有理數集Q是一個數域；數集F＝{a＋b2|a，b∈Q}也是一個數域.下列關于數域的命題中是真命題的為(A.0，1是任意數域中的元素B.若數集M，N都是數域，則M∪N是一個數域C.存在無窮多個數域D.若數集M，N都是數域，則有理數集Q?M∩N答案ACD解析對于A選項，由定義可知，對任意的數域P，至少含有兩個數，則至少有一個元素a≠0∈P，所以有a－a＝0∈P，aa＝1∈P，故A對于B選項，假設數域M＝{a＋b2|a，b∈Q}，N＝{a＋b3|a，b∈Q}，則當x＝2∈M，y＝3∈N時，x∈M∪N，y∈M∪N，x＋y＝2＋3?M且x＋y＝2＋故x＋y＝2＋3?M∪N，故對于C選項，可以利用題中的數域的例子進行構造，對于任意非完全平方數的正整數Z，集合P＝{a＋bZ|a，b∈Q}都是數域，這樣就有無窮多個數域，故C正確；對于D選項，在A選項的基礎上進行證明：任意數域P，都有有理數集Q?P.因為0，1是任意數域中的元素，而且任意整數都可以看成有限個0或1的和或差，故所有整數都屬于數域P，又任意有理數均能表示成兩個整數的商，故所有有理數都屬于數域P，即Q?P，所以Q?M，Q?N，即Q?M∩N，故D正確.(2)(多選)(2024·泰州模擬)對任意A，B?R，記A⊕B＝{x|x∈A∪B，x?A∩B}，并稱A⊕B為集合A，B的對稱差.例如：若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，則A⊕B＝{1，4}.下列命題中，為真命題的是()A.若A，B?R且A⊕B＝B，則A＝?B.若A，B?R且A⊕B＝?，則A＝BC.若A，B?R且A⊕B?A，則A?BD.存在A，B?R，使得A⊕B≠?RA⊕?RB答案AB解析對于A，因為A⊕B＝B，所以B＝{x|x∈A∪B，x?A∩B}，所以A?B，且B中的元素不能出現在A∩B中，因此A＝?，即A正確；對于B，因為A⊕B＝?，所以?＝{x|x∈A∪B，x?A∩B}，即A∪B與A∩B是相同的，所以A＝B，即B正確；對于C，因為A⊕B?A，所以{x|x∈A∪B，x?A∩B}?A，所以B?A，當A≠B時，A?B不成立，即C錯誤；對于D，由于(?RA)⊕(?RB)＝{x|x∈(?RA)∪(?RB)，x?(?RA)∩(?RB)}＝{x|x∈?R(A∩B)，x??R(A∪B)}＝{x|x∈A∪B，x?A∩B}，而A⊕B＝{x|x∈A∪B，x?A∩B}，故A⊕B＝(?RA)⊕(?RB)，即D錯誤.課時精練[分值：83分]一、單項選擇題(每小題5分，共40分)1.(2025·大同模擬)設集合A＝{x|－1<x≤4}，B＝{x|x2>4}，則A∩(?RB)等于()A.{x|－1≤x<2} B.{x|－1<x≤2}C.{x|－2≤x≤2} D.{x|－2<x<2}答案B解析由題意可得?RB＝{x|0≤x2≤4}＝{x|－2≤x≤2}，∴A∩(?RB)＝{x|－1<x≤2}.2.設集合A＝{－1，0，1}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，則下列選項中正確的是()A.AB B.ABC.A＝B D.B＝?答案B解析由題意，在B＝{y|y＝x2，x∈A}中，A＝{－1，0，1}，(－1)2＝1，02＝0，12＝1，∴B＝{0，1}，∴AB.3.(2024·懷化模擬)已知集合M＝{－1，1，2，3，4，5}，N＝{1，2，4}，P＝M∩N，則P的真子集共有()A.3個 B.6個 C.7個 D.8個答案C解析因為M＝{－1，1，2，3，4，5}，N＝{1，2，4}，所以P＝M∩N＝{1，2，4}，所以P的真子集共有23－1＝7(個).4.(2024·寶雞模擬)若集合A＝{x∈R|ax2－2x＋1＝0}中只有一個元素，則實數a等于()A.1 B.0 C.2 D.0或1答案D解析當a＝0時，由ax2－2x＋1＝0可得x＝12當a≠0時，由ax2－2x＋1＝0只有一個根需滿足Δ＝(－2)2－4a＝0，解得a＝1.綜上，實數a的值為0或1.5.(2025·安徽皖南八校模擬)已知集合A＝{x∈N*|x2－5x－14<0}，B＝{x|log2(x－2)<2}.則圖中陰影部分表示的集合為()A.{3，4，5} B.{1，2}C.{3，4，5，6} D.{1，2，6}答案D解析由題意知A＝{x∈N*|x2－5x－14<0}＝{x∈N*|－2<x<7}＝{1，2，3，4，5，6}，因為函數y＝log2x是增函數，所以B＝{x|log2(x－2)<2}＝{x|0<x－2<22}＝{x|2<x<6}，所以A∩B＝{3，4，5}，所以圖中陰影部分表示的集合為{1，2，6}.6.(2025·攀枝花模擬)已知集合A＝{1，a2}，B＝{1，4，a}，若A?B，則實數a組成的集合為()A.{－2，－1，0，2} B.{－2，2}C.{－1，0，2} D.{－2，0，2}答案D解析由A?B，則有a2＝4,a≠1,a≠4或a2＝a,a≠1,a≠4,解得a＝2或7.某學校教師中，會打乒乓球的教師人數為30，會打羽毛球的教師人數為60，會打籃球的教師人數為20，若會至少其中一個體育項目的教師人數為80，且三個體育項目都會的教師人數為5，則會且僅會其中兩個體育項目的教師人數為()A.15 B.20 C.25 D.35答案B解析設A＝{x|x是會打乒乓球的教師}，B＝{x|x是會打羽毛球的教師}，C＝{x|x是會打籃球的教師}，由題意得card(A)＝30，card(B)＝60，card(C)＝20，card(A∪B∪C)＝80，card(A∩B∩C)＝5，所以card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)，所以card(A∩B)＋card(B∩C)＋card(A∩C)＝30＋60＋20＋5－80＝35，而card(A∩B)＋card(B∩C)＋card(A∩C)中，含有3次card(A∩B∩C)，所以會且僅會其中兩個體育項目的教師人數為35－3×5＝20.8.設集合I＝{1，3，5，7}，若非空集合A同時滿足：①A?I；②card(A)≤min(A)(其中card(A)表示A中元素的個數，min(A)表示集合A中最小的元素)，稱集合A為I的一個“好子集”，則I的所有“好子集”的個數為()A.7 B.8 C.9 D.10答案B解析當card(A)＝1，即集合A中元素的個數為1時，A的可能情況為{1}，{3}，{5}，{7}；當card(A)＝2，即集合A中元素的個數為2時，A的可能情況為{3，5}，{3，7}，{5，7}；當card(A)＝3，即集合A中元素的個數為3時，A的可能情況為{3，5，7}，綜上所述，I的所有“好子集”的個數為8.二、多項選擇題(每小題6分，共18分)9.已知A，B是全集U的兩個非空真子集，下列說法中一定正確的是()A.A∩B＝?B.A?(A∪B)C.(?UA)∪A＝UD.(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)答案BCD解析如圖所示，A∩B≠?，A選項錯誤；A?(A∪B)，(?UA)∪A＝U，(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)，BCD選項正確.10.若集合M＝{x|x≥0}，N＝{x|(x－1)(x－2)<0}，則()A.M?N B.M∪N＝MC.(?RM)∩N＝? D.M∪(?RN)＝R答案BCD解析解一元二次不等式(x－1)(x－2)<0，得1<x<2，所以N＝(1，2)，?RN＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，由于M＝{x|x≥0}，結合補集的定義?RM＝(－∞，0)，顯然N?M，選項A不正確；同時可得M∪N＝M，選項B正確；由于?RM＝(－∞，0)，且N＝(1，2)，可得(?RM)∩N＝?，選項C正確；由于M＝{x|x≥0}，且?RN＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，可得M∪(?RN)＝R，選項D正確.11.有限集合S中元素的個數記作card(S)，設A，B都為有限集合，下列選項正確的是()A.A∩B＝??card(A∪B)＝card(A)＋card(B)B.A?B?card(A)≤card(B)C.A?B?card(A)≤card(B)D.A＝B?card(A)＝card(B)答案AB解析對于A，A∩B＝?，說明集合A，B沒有相同元素，因此card(A∪B)＝card(A)＋card(B)，反之也成立，故A正確；對于B，A?B，說明集合A的元素都屬于集合B，故card(A)≤card(B)，故B正確；對于C，card(A)≤card(B)，只能說明集合A的元素個數不多于集合B中元素個數，不能說明集合A的元素都屬于集合B，故C錯誤；對于D，A＝B