必刷小題10平面向量與復數[分值：73分]一、單項選擇題(每小題5分，共40分)1.設向量a＝(3，4)，b＝(－1，1)，則cos〈a，b〉等于()A.210 B.31010 C.2答案A解析因為a＝(3，4)，b＝(－1，1)，所以cos〈a，b〉＝a·2.(2025·新鄉模擬)設z＝2＋4i1-3i，則z等于A.－1＋i B.－1－i C.1－i D.1＋i答案B解析z＝2＋4i1-3i＝(2＋4i)(1＋3i)(1-3i)(1＋3.在四邊形ABCD中，若AB＝DC，且AB·AD＝0，則四邊形ABCD是(A.矩形 B.菱形C.正方形 D.梯形答案A解析∵AB＝DC，可知AB∥CD且AB＝CD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，由AB·AD＝0可知AB⊥AD，∴四邊形ABCD4.(2024·北京模擬)在復平面內，O是原點，向量OZ對應的復數是－1＋i，將OZ繞點O按逆時針方向旋轉π4，則所得向量對應的復數為(A.－2 B.－2i C.－1 D.－i答案A解析如圖，由題意可知OZ＝(－1，1)，OZ與x軸正方向的夾角為3π4，繞點O逆時針方向旋轉π4后，Z到達x軸上的點Z1處，又|OZ1|＝|OZ|＝2，所以Z1的坐標為(－2，0)，所以O5.設M，N是圓O上兩點，若MN＝2，則MO·MN等于()A.－4 B.－2 C.2 D.4答案C解析方法一設MN的中點為P，則OP⊥MN，如圖1，所以MO·MN＝(MP＋PO)·MN＝MP·MN＋PO·方法二MO·MN＝|MO||MN|cos∠OMN＝|MN|(|MO|cos∠OMN)＝|MN|·|MN|2方法三設MN的中點為P，以MN的方向為x軸正方向，線段MN的中垂線為y軸建立如圖所示平面直角坐標系，如圖2，則M(－1，0)，N(1，0)，設O(0，－m)，所以MN＝(2，0)，MO＝(1，－m)，因此MO·MN＝2.6.設單位向量e1，e2的夾角為2π3，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，則b在a上的投影向量為(A.－32a B.－3a C.3a D.3答案A解析依題意得e1·e2＝1×1×cos2π3＝－1|a|＝(ea·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2e12－6e22＋e1·e因此b在a上的投影向量為|b|cos〈a，b〉a|a|＝a·b|7.如圖，已知在△ABO中，OA＝1，OB＝2，OA·OB＝－1，過點O作OD⊥AB于點D，則()A.ODB.ODC.ODD.OD答案A解析∵OA·OB＝|OA||OB|cos∠AOB＝2cos∠AOB＝－1，∴cos∠AOB＝－12又∵0°<∠AOB<180°，∴∠AOB＝120°.在△AOB中，根據余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos120°＝7，解得AB＝7，根據三角形面積公式S△AOB＝12AB·OD＝12OA·OB·sin解得OD＝217∴AD＝OA∴AD＝∴OD＝OA＋AD8.已知△ABC的外接圓圓心為O，A＝120°，若AO＝xAB＋yAC(x，y∈R)，則x＋y的最小值為()A.12 B.23 C.32答案D解析設OA與BC交于點E，OE＝m，圓的半徑為R，D為BC的中點，如圖所示，則AO＝設AE＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，因為B，C，E三點共線，則λ＋μ＝1，所以AO＝xAB＋yAC＝RR-m(λAB故x＋y＝RR-m(λ＋μ)因為∠BAC＝120°，則∠COD＝60°，所以OD＝Rcos60°＝R2則R2≤m<R，故RR-m≥所以x＋y的最小值為2.二、多項選擇題(每小題6分，共18分)9.(2025·開封模擬)已知復數z1＝a＋i，z2＝1＋bi(其中i是虛數單位，a，b∈R)，若z1·z2為純虛數，則()A.a－b＝0 B.a＋b＝0C.ab≠－1 D.ab≠1答案AC解析因為z1＝a＋i，z2＝1＋bi，所以z1·z2＝(a＋i)(1＋bi)＝a＋i＋abi＋bi2＝(a－b)＋(1＋ab)i，又z1·z2為純虛數，所以a即a－b＝0且ab≠－1.10.已知z為復數，設z，z，iz在復平面上對應的點分別為A，B，C，其中O為坐標原點，則()A.|OA|＝|OB| B.OA⊥OCC.|AC|＝|BC| D.OB∥AC答案AB解析設z＝a＋bi(a，b∈R)，∴A(a，b)，z＝a－bi，∴B(a，－b)，iz＝i(a＋bi)＝－b＋ai，∴C(－b，a)，OA＝(a，b)，OB＝(a，－b)，OC＝(－b，a)，AC＝(－b－a，a－b)，BC＝(－b－a，a＋b)，對于A，∵a2＋b2＝a2＋(-b)2，∴對于B，∵a·(－b)＋ba＝0，∴OA⊥OC，故選項B正確；對于C，∵|AC|＝(-b-a)2＋(當ab≠0時，|AC|≠|BC|，故選項C錯誤；對于D，∵a(a－b)－(－b)(－b－a)＝a2－2ab－b2，a2－2ab－b2可以為零，也可以不為零，∴OB不一定平行于AC，故選項D錯誤.11.(2025·鄭州模擬)已知O是坐標原點，平面向量a＝OA，b＝OB，c＝OC，且a是單位向量，a·b＝2，a·c＝12，則下列結論正確的是(A.|c|＝|a－c|B.若A，B，C三點共線，則a＝23b＋1C.若向量b－a與c－a垂直，則|b＋c－2a|的最小值為1D.向量b－a與b的夾角正切值的最大值為2答案AD解析在平面直角坐標系中，令a＝(1，0)，b＝(x1，b)，c＝(x2，c)，由a·b＝2，a·c＝12得x1＝2，x2＝12，則b＝(2，b)，c＝1對于A，a－c＝12因此|a－c|＝14＋c2＝|c對于B，由A，B，C三點共線，得OA＝(1－λ)OB＋λOC，λ∈R，即(1，0)＝(1－λ)(2，b)＋λ12于是2(1－λ)＋12λ＝1，解得λ＝2即a＝13b＋23c，對于C，b－a＝(1，b)，c－a＝-1由向量b－a與c－a垂直，得bc＝12而b＋c－2a＝12則|b＋c－2a|＝14＋(當且僅當b＝c時取等號，C錯誤；對于D，令向量b－a與b的夾角為θ，b－a＝(1，b)，當b＝0時，θ＝0，tanθ＝0，當b≠0時，根據對稱性不妨令b>0，D(1，b)，則b－a＝OD，θ＝∠BOD，顯然tan∠DOA＝b，tan∠BOA＝b2tanθ＝tan(∠DOA－∠BOA)＝tan∠＝b≤b2當且僅當b＝2時取等號，D正確.三、填空題(每小題5分，共15分)12.已知向量a＝(1，2)，b＝(m，4)，且a∥(2a＋b)，那么實數m的值為.答案2解析因為向量a＝(1，2)，b＝(m，4)，所以2a＋b＝(2＋m，8)，又因為a∥(2a＋b)，所以2(2＋m)＝1×8?m＝2.13.(2024·遵義模擬)已知復數z＝a－1＋(a＋3)i，a∈R，則|z|的最小值為.答案22解析|z|＝(＝a≥22，當且僅當a＝－1時取等號，所以|z|的最小值為22.14.若平面向量a，b滿足|a|＝1，|a＋2