§5.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示課標(biāo)要求1.了解平面向量基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.2.平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.3.平面向量的坐標(biāo)運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘運算及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x1(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝(4.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一個基底.(×)(2)設(shè){a，b}是平面內(nèi)的一個基底，若實數(shù)λ1，μ1，λ2，μ2滿足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)(3)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，當(dāng)且僅當(dāng)x2y2≠0時，a∥b與x1x2＝y(tǒng)1y(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＝b?x1＝x2且y1＝y(tǒng)2.(√)2.設(shè)平面向量a＝(－1，0)，b＝(0，2)，則2a－3b等于()A.(6，3) B.(－2，－6)C.(2，1) D.(7，2)答案B解析2a－3b＝2(－1，0)－3(0，2)＝(－2，－6).3.在正方形ABCD中，E為DC的中點，若AE＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為(A.12 B.－12 C.1 D.答案A解析因為E為DC的中點，所以AC＝AB＋AD＝12AB＋12AB＋AD＝14.已知平行四邊形ABCD的頂點A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，則頂點D的坐標(biāo)為.答案(1，5)解析設(shè)D(x，y)，則AB＝得(3－(－1)，－1－(－2))＝(4，1)＝(5－x，6－y)，即4＝5-x,1＝6-y,解得x＝1.熟記以下常用結(jié)論(1)如果對于一個基底{e1，e2}，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，那么可以得到λ1＝μ1,λ2＝μ2,即基底給定，同一向量的分解形式唯一.特別地，若λ1e1＋λ2e(2)已知△ABC的重心為G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則G點坐標(biāo)為x12.謹(jǐn)防三個易誤點(1)基底{e1，e2}必須是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量.因為零向量平行于任意向量，所以不能作為基底中的向量.(2)a∥b的充要條件不能表示為x1x2＝y(tǒng)1y2(3)向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關(guān)系.兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.題型一平面向量基本定理的應(yīng)用例1(1)(2025·鹽城模擬)若{a，b}是平面內(nèi)的一個基底，則下列四組向量中能作為平面向量的基底的是()A.a－b，b－a B.2a＋b，a＋12C.2b－3a，6a－4b D.a＋b，a－b答案D解析A選項，b－a＝－(a－b)，所以a－b，b－a共線，不能作為基底.B選項，2a＋b＝2a＋12b，所以2a＋b，a＋C選項，6a－4b＝－2(2b－3a)，所以2b－3a，6a－4b共線，不能作為基底.D選項，易知a＋b，a－b不共線，可以作為基底.(2)如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點，連接CE，DF，交于點G.若CG＝λCD＋μCB(λ，μ∈R)，則λμ答案1解析由題圖可設(shè)CG＝xCE(0<x<1)則CG＝x(CB＋BE)＝x2CD＋因為CG＝λCD＋μCB，CD與CB所以λ＝x2，μ＝x，所以思維升華(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運算.(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022·新高考全國Ⅰ)在△ABC中，點D在邊AB上，BD＝2DA.記CA＝m，CD＝n，則CB等于(A.3m－2n B.－2m＋3nC.3m＋2n D.2m＋3n答案B解析因為BD＝2DA，所以AB＝3AD，所以CB＝CA＋AB＝CA＋3AD＝CA＋3(CD－CA)＝－2(2)在△ABC中，點D在邊AB的延長線上，AB＝2BD，CB＝mCA＋nCD，m，n∈R，則(A.m＝23，n＝12 B.mC.m＝23，n＝13 D.m＝－答案B解析因為點D在邊AB的延長線上，AB＝2BD，所以AB＝2BD，即CB－CA＝2(CD－CB)，所以CB＝13CA＋23CD.題型二平面向量的坐標(biāo)運算例2(1)在平行四邊形ABCD中，AD＝(3，7)，AB＝(－2，3)，對角線AC與BD交于點O，則CO的坐標(biāo)為(A.-12C.-12答案C解析因為在平行四邊形ABCD中，AD＝(3，7)，AB＝(－2，3)，對角線AC與BD交于點O，所以(2)如圖，在7×5正方形網(wǎng)格中，向量a，b滿足a⊥b，則AB－AD＋BCA.2a＋32b B.－2a－3C.－3a＋12b D.3a－1答案C解析以圖中向量a，b的始點為坐標(biāo)原點，a所在直線為x軸，b所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則a＝(1，0)，b＝(0，2)，C(2，5)，D(5，4).AB－AD＋BC＝DB＋令DC＝xa＋yb，得到(－3，1)＝x(1，0)＋y(0，2)＝(x，2y)，解得x＝－3，y＝所以AB－AD＋BC＝－3思維升華(1)利用向量的坐標(biāo)運算解題，主要是利用加法、減法、數(shù)乘運算法則，然后根據(jù)“兩個向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對應(yīng)相等”這一原則，化歸為方程(組)進(jìn)行求解.(2)向量的坐標(biāo)表示使向量運算代數(shù)化，成為數(shù)與形結(jié)合的載體，可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運算.跟蹤訓(xùn)練2(1)已知點A(0，1)，B(2，3)，向量BC＝(－3，1)，則向量AC等于(A.(1，－2) B.(－1，2)C.(1，－3) D.(－1，3)答案D解析因為A(0，1)，B(2，3)，所以AB＝(2，2)所以AC＝AB＋BC＝(2，2)＋(－3，1)＝(－(2)(2025·成都模擬)在正方形ABCD中，M是BC的中點.若AC＝λAM＋μBD(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為(A.43 B.53 C.答案B解析在正方形ABCD中，以點A為原點，AB，AD所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，令A(yù)B＝2，則B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，M(2，1)，AC＝(2，2)，AM＝(2，1)，BD＝(－2，2)，λAM＋μBD＝(2λ－2μ，λ＋因為AC＝λAM＋μBD，所以解得λ＝43，μ＝13，λ所以λ＋μ的值為53題型三向量共線的坐標(biāo)表示例3(1)(2024·臨沂模擬)已知向量a＝(3，m)，b＝-1，13，若a∥b，則mA.1 B.－1 C.9 D.－9答案B解析因為向量a＝(3，m)，b＝-1若a∥b，則3×13＝－m，即m(2)已知點A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O為坐標(biāo)原點，則AC與OB的交點P的坐標(biāo)為.

答案(3，3)解析方法一OA＝(4，0)，OB＝(4，4)，OC＝(2，由O，P，B三點共線，可設(shè)OP＝λOB＝(4λ，4λ)，λ∈R，則AP＝OP－OA＝(4λ－4，4λ).又AC由AP與AC共線，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以O(shè)P＝34OB所以點P的坐標(biāo)為(3，3).方法二設(shè)點P(x，y)，則OP＝(x，y)，因為OB＝(4，4)，且OP與OB共線，所以x4＝y(tǒng)4，即x＝y(tǒng).又AP＝(x－4，y)，AC＝(－2，6)，且AP與AC共線，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3，所以點思維升華平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的解題策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1.(2)在求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R).跟蹤訓(xùn)練3(1)(2025·景德鎮(zhèn)模擬)已知向量a＝(2，3)，b＝(2，sinα－3)，c＝(2，cosα)，若(a＋b)∥c，則tanα的值為()A.2 B.－2 C.12 D.－答案A解析因為a＝(2，3)，b＝(2，sinα－3)，所以a＋b＝(4，sinα)，又c＝(2，cosα)且(a＋b)∥c，所以4cosα＝2sinα，則tanα＝sin(2)已知向量a＝(1，4)，b＝(2，3)，若c∥(a－b)，且|c|＝1，則c的坐標(biāo)為.

答案-22解析因為a＝(1，4)，b＝(2，3)，所以a－b＝(－1，1)，因為c∥(a－b)，且|c|＝1，所以c＝±a-又|a－b|＝2，所以c＝a-b2定比分點坐標(biāo)公式定比分點是中點、三等分點的延伸拓展，在解決平面向量和解析幾何題目中都有應(yīng)用.如圖，線段P1P2的端點P1，P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2)，點P是直線P1P2上異于P1，P2的點，當(dāng)P1P＝λPP2(λ≠0且λ≠－1)時，OP＝11＋λOP1＋λ1＋λOP2，點P的坐標(biāo)是x1＋λx21＋典例(1)若過兩點P1(－1，2)，P2(5，6)的直線與x軸相交于點P，則點P分有向線段P1P2所成的比λ的值為A.－13 B.－15 C.15答案A解析設(shè)P(x，0)，則λ＝0-26-0＝－1(2)已知M(－2，7)，N(10，－2)，點P是線段MN上的點，且PN＝－2PM，則P點的坐標(biāo)為()A.(－14，16) B.(22，－11)C.(6，1) D.(2，4)答案D解析由NP＝2PM，可知P分有向線段NM所成的比是λ＝2，設(shè)O為坐標(biāo)原點，所以O(shè)P＝則P10-41＋2，-2＋14課時精練[分值：90分]一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，則c等于()A.133，C.133，答案D解析∵a－2b＋3c＝0，∴c＝－13(a－2b)∵a－2b＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13，4)，∴c＝－13(a－2b)＝2.(2024·北京模擬)已知向量a＝(λ＋1，3)，b＝(2，3)，若a與a＋b共線，則實數(shù)λ等于()A.－2 B.－1 C.1 D.2答案C解析∵a＝(λ＋1，3)，b＝(2，3)，∴a＋b＝(λ＋3，6)，又∵a與a＋b共線，∴(λ＋1)×6－(λ＋3)×3＝0，解得λ＝1.3.平面內(nèi)任一向量m都可以表示成λa＋μb(λ，μ∈R)的形式，下列關(guān)于向量a，b的說法中正確的是()A.向量a，b的方向相同B.向量a，b中至少有一個是零向量C.向量a，b的方向相反D.當(dāng)且僅當(dāng)λ＝μ＝0時，λa＋μb＝0答案D解析因為任一向量m＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以根據(jù)平面向量基本定理得，向量a，b不共線，故A，B，C不正確；因為a，b不共線，所以當(dāng)且僅當(dāng)λ＝μ＝0時，λa＋μb＝0，故D正確.4.已知AB＝(1，－1)，C(0，1)，若CD＝2AB，則點D的坐標(biāo)為(A.(－2，3) B.(2，－3)C.(－2，1) D.(2，－1)答案D解析設(shè)D(x，y)，則CD＝(x，y－1)，2AB＝(2，－2根據(jù)CD＝2AB，得(x，y－1)＝(2，－2)即x＝2,y-1＝-2,解得x＝5.在△ABC中，點M是BC的中點，點N在邊AC上，且AN＝2NC，AM與BN交于點P，若AM＝5.5，則AP的長是()A.3.8 B.4 C.4.2 D.4.4答案D解析方法一設(shè)BM＝e1，CN＝e則AM＝AC＋CM＝－3eBN＝BC＋CN＝2e因為點A，P，M和點B，P，N分別共線，所以存在實數(shù)λ，μ，使AP＝λAM＝－λe1－3λe2，BP＝μBN＝2μe1＋所以BA＝BP－AP＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋又BA＝BC＋CA＝2e1所以λ＋2所以AP＝所以AP＝45AM方法二設(shè)AP＝λAM，λ∈R因為M是BC的中點，AN＝2NC，則AM＝AP＝λAM＝12λ又B，P，N三點共線，所以12λ＋34λ＝解得λ＝45，所以AP＝46.如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，以AC為直徑的半圓上有一點M，BM＝λBC＋3λBA，則實數(shù)λ等于A.3＋1C.32 D.答案A解析以B為原點，BC，BA所在直線分別為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.則A(0，1)，C(1，0)，AC＝2則以AC為直徑的圓的圓心為AC的中點D12則以AC為直徑的圓的方程為x-設(shè)M(x，y)，則BM＝(x，y)，BC＝(1，0)，BA＝(0，BM＝λBC＋3λBA＝(λ，所以x由點M在圓x-可得λ-即4λ2－(1＋3)λ＝0，解得λ＝3＋14或λ＝0二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，3)，則下列向量與2a＋b平行的是()A.2，23 B.(1，C.(1，－2) D.-1答案AD解析因為a＝(2，－1)，b＝(－1，3)，所以2a＋b＝(3，1)，故若向量(x，y)滿足3y－x＝0，則該向量與2a＋b平行.檢驗易知A，D符合題意.8.已知△ABC中，點P滿足PA＋PB＝CP，點Q在△PBC內(nèi)(含邊界)，其中AQ＝xAB＋yA.若x＝13，y＝2B.若P，Q兩點重合，則AQC.存在x，y，使得x＋2y＝D.存在x，y，使得x＋2y＝答案BCD解析對于A，AQ＝13AB＋23AC，即3AQ＝AB＋2AC，故AQ－AB＝2對于B，由PA＋PB＝CP得，PA＋PB＋PC＝0，故P為△ABC的重心，則對于C，D，取AC的中點D，則AQ＝xAB＋2yAD，由點Q在△PBC內(nèi)(含邊界)過點Q作MN∥BD(當(dāng)點Q在線段BP上時，MN與BD重合)，與線段CD交于點M，與射線AB交于點N，如圖所示，設(shè)AM＝kAD，k∈[1，2]，則AN＝k因為點M，Q，N三點共線，所以存在實數(shù)λ，使AQ＝λAM＋(1－λ)AN＝kλAD＋k(1－λ)因為AQ＝xAB＋2yAD，所以x＝k(1-λ),2y＝kλ,則x＋2y＝k∈三、填空題(每小題5分，共10分)9.已知向量OA＝(3，4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，若點A，B，C能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m答案m≠－7解析因為AB＝OB－OA＝(3，－7)，AC＝OC－OA＝(又點A，B，C能構(gòu)成三角形，所以點A，B，C不共線，即AB與AC不共線，所以3(－7－m)－(－7)(2－m)≠0，解得m≠－71010.在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若點A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，則點D的坐標(biāo)為.答案(2，4)解析∵在梯形ABCD中，CD＝2AB，AB∥CD，∴DC＝2AB設(shè)點D的坐標(biāo)為(x，y)，則DC＝(4－x，2－y)又AB＝(1，－1)，∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)即4-x＝∴點D的坐標(biāo)為(2，4).四、解答題(共27分)11.(13分)平面內(nèi)給定三個向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數(shù)k；(6分)(2)若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d的坐標(biāo).(7分解(1)a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，由題意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－1613(2)設(shè)d＝(x，y)，則d－c＝(x－4，y－1)，又a＋b＝(2，4)，(d－c)∥(a＋b)，|d－c|＝5∴4(解得x＝3∴d的坐標(biāo)為(3，－1)或(5，3).12.(14分)如圖所示，已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，DM＝13DC，BN＝23(1)若MN＝λAB＋μAD，求實數(shù)λ和μ的值；(7分(2)用向量AM，AN表示AE.(7分)解(1)如圖，以A點為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則D(0，1)，B(2，0)，M23，1，所以MN＝43，-13，AB＝(2，0)所以MN＝43，-13＝λAB＋μ所以2λ＝(2)設(shè)AE＝tAC，AC＝mAM＋nAN，t，m，n∈因為AM＝23又C(2，1)，則AC＝(2，1)所以AC＝(2，1)＝即23m即AC＝所以AE＝tAC＝37t又因