§5.1平面向量的概念及線性運算課標要求1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.2.掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.3.了解向量線性運算的性質及其幾何意義.1.向量的有關概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量平面向量是自由向量長度(模)向量的大小記作|a|或|AB|零向量長度為0，其方向是任意的記作0單位向量長度等于1個單位長度的向量與非零向量a共線的單位向量為±a平行向量(共線向量)方向相同或相反的非零向量0與任意向量平行(或共線)相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運算向量運算法則(或幾何意義)運算律加法交換律：a＋b＝b＋a；結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法a－b＝a＋(－b)數乘|λa|＝|λ||a|，當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0設λ，μ為實數，則λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使b＝λa.1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b.(×)(2)單位向量都相等.(×)(3)若a＝b，b＝c，則a＝c.(√)(4)當兩個非零向量a，b共線時，一定有b＝λa，反之成立.(√)2.下列命題正確的是()A.零向量是唯一沒有方向的向量B.若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－bC.向量AB與BA是平行向量D.平行向量不一定是共線向量答案C解析A項，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯誤；B項，|a|＝|b|說明a，b的長度相等，不能判斷它們的方向，故B錯誤；C項，向量AB與BA方向相反，是平行向量，故C正確；D項，平行向量就是共線向量，故D錯誤.3.設M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內的任意一點，則OA＋OB＋OCA.OM B.2OM C.3OM D.4OM答案D解析如圖，連接OM，在△OAC中，M為AC的中點，所以OA＋OC＝2在△OBD中，M為BD的中點，所以OB＋OD＝2OM，所以OA＋OB4.已知a，b是兩個不共線的向量，向量b－ta與12a－32b共線，則實數t＝答案1解析由題意知，存在實數λ，使得b－ta＝λ12a-32b，則熟記平面向量線性運算的常用結論(1)設P為線段AB的中點，O為平面內任一點，則OP＝1(2)在△ABC中，點P滿足PA＋PB＋PC＝0?P為△ABC的重心(3)OA＝λOB＋μOC(λ，μ為實數，點O，B，C不共線)，若A，B，C三點共線，則λ＋μ＝1.(4)對于任意兩個向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.題型一平面向量的基本概念例1(1)下列四個命題中正確的有()A.若a∥b，b∥c，則a∥cB.“a＝b”的充要條件是“|a|＝|b|且a∥b”C.在平行四邊形ABCD中，一定有ABD.若a為平面內的某個向量，a0為單位向量，則a＝|a|a0答案C解析A不正確，若b＝0，則由a∥b，b∥c，無法得到a∥c；B不正確，當|a|＝|b|且a∥b時，a，b的方向可能相反，此時a與b是相反向量，即a＝－b；當a＝b時，a與b的模相等且方向相同，即|a|＝|b|且a∥b，故“|a|＝|b|且a∥b”是“a＝b”的必要不充分條件；C正確，平行四邊形ABCD對邊平行且相等，且AB和DC方向相同，故AB＝DC；D不正確，向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0(2)如圖，在等腰梯形ABCD中，對角線AC與BD交于點P，點E，F分別在兩腰AD，BC上，EF過點P，且EF∥AB，則下列等式中成立的是()A.AD＝BC C.PE＝PF 答案D解析方法一(排除法)AD，BC不共線，AC，BD不共線，故A，B錯誤；PE，PF方向相反，C錯誤；故選D.方法二在等腰梯形ABCD中，AD，BC不平行，AC，BD不平行，故A，B錯誤；∵AB∥CD，∴PBPD＝PA即BDPD＝AC∵EF∥AB，∴PEAB∴PE＝PF，即P為EF的中點，∴EP＝PF，故C錯誤，D思維升華平面向量有關概念的四個關注點(1)非零向量的平行具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關.(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.(4)a|a|是與非零向量跟蹤訓練1(1)(多選)下列關于向量的說法正確的是()A.若|a|＝0，則a＝0B.若向量AB與CD是共線向量，則A，B，C，D四點必在同一條直線上C.對于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|D.若a∥b，則存在唯一實數λ，使a＝λb答案AC解析對于A，若|a|＝0，則a＝0，故A正確；對于B，若向量AB與CD是共線向量，則A，B，C，D四點不一定在同一條直線上，故B錯誤；對于C，若a，b方向相同，則|a＋b|＝|a|＋|b|，若a，b方向相反，則|a＋b|<|a|＋|b|，若a，b不共線，根據向量加法的三角形法則及三角形兩邊之和大于第三邊可知|a＋b|<|a|＋|b|.綜上可知，對于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故C正確；對于D，若a≠0，b＝0，則a∥b，此時不存在實數λ，使a＝λb，故D錯誤.(2)在如圖所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的邊長為1).①是共線向量的有；②方向相反的向量有；③模相等的向量有.答案①a和d，b和e②a和d，b和e③a，c，d解析①a∥d，b∥e，故a和d，b和e是共線向量；②a和d，b和e是方向相反的向量；③由勾股定理可得，模相等的向量有a，c，d.題型二平面向量的線性運算命題點1向量加、減法的幾何意義例2若點O是△ABC所在平面內的一點，且滿足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，則△ABCA.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形答案B解析OB＋OC－2OA＝(OB－OA)＋(OC－OA∴|AB＋AC|＝|故A，B，C為矩形的三個頂點，△ABC為直角三角形.命題點2向量的線性運算例3(2025·成都模擬)在△ABC中，BD＋2CD＝0，則AD等于()A.23AB＋1C.13AB＋2答案C解析因為BD＋2CD＝0，所以D為線段BC上靠近C的三等分點，如圖所示，故AD＝AB＋BD思維升華平面向量線性運算的解題策略(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義.(2)[爪子定理]在△ABC中，D為BC上一點，若BDDC＝m跟蹤訓練2(1)設D，E為△ABC所在平面內兩點，AD＝DC，CB＝2BE，則DE等于(A.－32AB＋ACC.AB－32AC 答案B解析如圖，因為AD＝DC，CB＝2所以DC＝12所以DE＝12AC＋3(2)若|AB|＝7，|AC|＝4，則|BC|的取值范圍是()A.[3，7] B.(3，7)C.[3，11] D.(3，11)答案C解析由題意知|AB|＝7，|AC|＝4，且|BC|＝|AC－AB當AC，AB同向時，|BC|取得最小值，|BC|＝|AC－AB|＝||AC|－|AB||＝|4－7|＝當AC，AB反向時，|BC|取得最大值，|BC|＝|AC－AB|＝|AC|＋|AB|＝4＋7＝當AC，AB不共線時，3＝||AC|－|AB||<|BC|<|AC|＋|AB|＝11，故|BC|的取值范圍是[3，11].題型三共線定理及其應用例4(1)(2024·福州模擬)已知e1，e2是兩個不共線的向量，若2e1＋λe2與μe1＋e2(λ，μ為實數)是共線向量，則()A.λμ＝－2 B.λμ＝－C.λμ＝2 D.λμ＝答案D解析由題意，可設2e1＋λe2＝t(μe1＋e2)，t∈R，又e1，e2是兩個不共線的向量，故tμ＝2,λ(2)如圖，在△ABC中，AN＝12NC，P是BN上的點，若AP＝mAB＋答案1解析因為AN＝12NC，所以AC因為AP＝mAB＋14AC且B，P，N三點共線，所以m＋34＝1，所以m＝1思維升華利用向量共線定理解題的策略(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據.(2)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(3)已知O，A，B是不共線的三點，且OP＝mOA＋nOB(m，n∈R)，則A，P，B三點共線的充要條件是m＋n＝1.跟蹤訓練3(1)(2025·深圳模擬)設e1，e2是兩個不共線的向量，已知AB＝2e1－ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，若A，B，D三點共線，則實數k的值為()A.－8 B.8 C.6 D.－6答案B解析根據題意，得BD＝CD－CB＝e1－若A，B，D三點共線，設AB＝tBD，則有2e1－ke2＝t(e1－4e2)＝te1－4te2，所以t＝2,k(2)如圖所示，在△ABC中，O是BC的中點，過點O的直線分別交AB，AC所在直線于點M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，m，n∈R，則m＋n的值為.答案2解析連接AO(圖略)，則AO＝12(因為M，O，N三點共線，所以m2＋n2＝1，所以m等和(高)線定理如圖，由三點共線結論可知，若OP＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝1，由△OAB與△OA'B'相似，必存在一個常數k，k∈R，使得OP'＝kOP，則OP'＝kOP＝kλOA＋kμOB，設OP'＝xOA＋yOB(x，y∈R)，∴x＋y＝kλ＋kμ＝k；反之也成立.平面內一個基底{OA，OB}及任一向量OP'，OP'＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，若點P'在直線AB上或在與AB平行的直線上，則λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線.①當等和線恰為直線AB時，k＝1；②當等和線在點O和直線AB之間時，k∈(0，1)；③當直線AB在點O和等和線之間時，k∈(1，＋∞)；④當等和線過點O時，k＝0；⑤若兩等和線關于點O對稱，則定值k1，k2互為相反數；⑥定值k的絕對值與點O到等和線的距離成正比.典例(1)如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，E為線段AO的中點.若BE＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，則λ＋μ等于()A.1 B.34 C.23 D答案B解析方法一(常規方法)∵E為線段AO的中點，∴BE＝12＝12BA＋14BD＝∴λ＝12，μ＝14，則λ＋μ＝方法二(等和線法)如圖，AD為值是1的等和線，過點E作AD的平行線，設λ＋μ＝k，則k＝BEBF由圖易知，BEBF＝34，即λ＋μ＝(2)如圖，圓O是邊長為23的等邊△ABC的內切圓，其與BC邊相切于點D，點M為圓上任意一點，BM＝xBA＋yBD(x，y∈R)，則2x＋y的最大值為.答案2解析如圖，點D，E，N分別為BC，AB，AC的中點，點P為DE與BN的交點，BM＝xBA＋yBD＝2x·12BA＋yBD＝2xBE＋y設2x＋y＝k，作出定值為1的等和線DE，AC是過圓上的點最遠的等和線，當點M在點N所在的位置時，2x＋y最大，則kmax＝|NB||PB|＝2，所以2x課時精練[分值：90分]一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.化簡AB＋BD－ACA.AD B.0 C.BC D.DA答案B解析AB＋BD－AC－CD＝AD－2.(2025·沈陽模擬)已知a，b為兩個不共線的向量，OA＝a＋b，OB＝2a－b，OC＝λa＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三點共線，則2λ＋μ等于()A.0 B.1 C.2 D.3答案D解析由OA＝a＋b，OB＝2a－b，OC＝λa＋μb，則AB＝OB－OA＝aAC＝OC－OA＝(λ－1)a＋(μ－因為A，B，C三點共線，設AC＝tAB(t∈R)，則(λ－1)a＋(μ－1)b＝ta－2tb，所以λ-1＝則2λ＋μ＝3.3.(2024·西安模擬)已知點P是△ABC的重心，則AP等于()A.16AB＋1C.23AC＋1答案D解析設BC的中點為D，連接AD，如圖，由點P是△ABC的重心，則AP＝23×1＝13(2AB＋BC＝23(AC＝23故A，B，C錯誤，D正確.4.已知點P為△OAB所在平面內一點，且OP＝OA＋ABA.點P在線段AB上B.點P在線段AB的延長線上C.點P在線段AB的反向延長線上D.點P在射線AB上答案D解析由OP＝OA＋AB|AB|所以點P在射線AB上.5.(2024·焦作模擬)已知△ABC所在平面內一點D滿足DA＋DB＋12DC＝0，則△ABC的面積是A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍答案A解析設AB的中點為M，因為DA＋DB＋所以CD＝2(DA＋DB所以CD＝4DM，所以點D是線段CM上靠近點M的五等分點，所以S△ABCS所以△ABC的面積是△ABD面積的5倍.6.已知a是單位向量，向量b滿足|a－b|＝3，則|b|的最大值為()A.2 B.4 C.3 D.1答案B解析方法一設OA＝a，OB＝b，因為|a－b|＝3，即|OA－OB|＝|BA|＝3，即|AB|＝所以點B在以A為圓心，3為半徑的圓上，又a是單位向量，則|OA|＝1，故|OB|的最大值為|OA|＋|AB|＝1＋3＝4，即|b|的最大值為4.方法二因為b＝a－(a－b)，所以|b|≤|a|＋|a－b|＝1＋3＝4，所以|b|的最大值為4.二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.下列說法正確的是()A.若a與b是非零向量，則“a與b同向”是“a＝b”的必要不充分條件B.若AB與BC共線，則A，B，C三點在同一條直線上C.a與b是非零向量，若a與b同向，則a與－b反向D.設λ，μ為實數，若λa＝μb，則a與b共線答案ABC解析根據向量的有關概念可知A，B，C正確，對于D，當λ＝μ＝0時，a與b不一定共線，故D錯誤.8.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E為BC邊上一點，且BC＝3EC，F為AE的中點，則()A.BC＝－1B.AFC.BF＝－2D.CF答案ABC解析∵AB∥CD，AB＝2DC，∴BC＝BA＋AD＋DC＝－∵BC＝3EC，∴BE＝23∴AE＝又F為AE的中點，∴AF＝12∴BF＝BA＋AF＝－AB＋∴CF＝BF－BC＝－23AB三、填空題(每小題5分，共10分)9.已知O為△ABC內一點，且2AO＝OB＋OC，AD＝tAC，若B，O，D三點共線，則實數答案1解析設線段BC的中點為M，則OB＋OC＝2因為2AO＝OB＋則AO＝＝14由B，O，D三點共線，得14＋14t＝110.已知在四邊形ABCD中，AB＝12DC，且|AD|＝|BC|，則四邊形答案等腰梯形解析由AB＝可得AB∥CD且AB＝12DC所以四邊形ABCD是梯形，又因為|AD|＝|BC|，所以梯形ABCD的兩個腰相等，所以四邊形ABCD是等腰梯形.四、解答題(共27分)11.(13分)已知a，b不共線，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，設t∈R，如果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在實數t，使得C，D，E三點在同一條直線上？若存在，求出實數t的值，若不存在，請說明理由.解存在.由題設知，CD＝d－c＝2b－3a，CE＝e－c＝(t－3)a＋tb，又a，b不共線，則CD≠0，C，D，E三點在同一條直線上的充要條件是存在實數k，使得CE＝kCD，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.因為a，b不共線，所以t-3＋3k＝故存在實數t＝65，使得C，D，E三點在同一條直線上12.(14分)如圖所示，在?ABCD中，BM＝23BC，AN＝14AB，(1)試用向量a，b來表示DN，AM；(6分)(2)AM交DN于點O，若AO＝λOM，求實數λ的值.(8分)解(1)因為DN＝AN－所以DN＝1