§4.10解三角形應用舉例課標要求能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題.測量中的幾個有關術語術語名稱術語意義圖形表示仰角與俯角在目標視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內)所成的角中，目標視線在水平視線上方的叫做仰角，目標視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的夾角叫做方位角，方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，通常表達為北(南)偏東(西)α例：坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比(坡度)，即i＝hl＝tan1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)西南方向與南偏西45°方向相同.(√)(2)仰角和俯角都是鉛垂線與目標視線所成的角，其范圍為0，π2.((3)方位角是從正北方向起按順時針轉到目標方向線之間的水平夾角.(√)(4)若從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關系為α＋β＝180°.(×)2.如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°方向，燈塔B在觀察站南偏東60°方向，則燈塔A在燈塔B()A.北偏東10°方向 B.北偏西10°方向C.南偏東80°方向 D.南偏西80°方向答案D解析由題可知，∠CAB＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°方向.3.如圖，在高速公路建設中需要確定隧道的長度，工程技術人員已測得隧道兩端的兩點A，B到點C的距離AC＝BC＝1km，且C＝120°，則A，B兩點間的距離為km.

答案3解析在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理AB得AB＝BCsinCsinA＝2×1×34.如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內的兩個觀測點C，D，測得∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝102m，并在C處測得塔頂A的仰角為45°，則塔高AB＝.

答案20m解析在△BCD中，∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝102m，由正弦定理CD可得10可得CB＝202×22＝20(m)在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，所以塔高AB＝CB＝20m.1.對于立體測量問題，通常要轉化為兩類平面問題，一是豎直放置的平面，通常要解直角三角形；另一類是水平放置的平面，通常要解斜三角形.2.謹防兩個易誤點(1)注意仰角與俯角是相對水平視線而言的，是在鉛垂面上所成的角；(2)明確方位角及方向角的含義，避免因混淆概念而出錯.題型一測量距離問題例1(1)(2024·廈門模擬)一艘海輪從A處出發，以每小時40海里的速度沿南偏東40°方向直線航行，30分鐘后到達B處.在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是()A.102海里 B.103海里C.202海里 D.203海里答案A解析依題意，如圖，在△ABC中，∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°，則∠ACB＝45°，AB＝40×3060＝20(海里)由正弦定理得BC即BC因此BC＝20×1222＝10所以B，C兩點間的距離是102海里.(2)如圖，某市地面有四個5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在江的南岸，距離為103km；基站A，B建在江的北岸，測得∠ACB＝45°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，∠ADB＝75°，則基站A，B之間的距離為()A.106km B.30(3－1)kmC.30(2－1)km D.105km答案D解析在△ACD中，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，又∠ADB＝75°，所以∠BDC＝45°，∠CAD＝30°，∠ACD＝∠CAD＝30°，所以AD＝CD＝103在△BCD中，∠CBD＝180°－(30°＋45°＋45°)＝60°，由正弦定理得BD＝CDsin∠BCDsin∠CBD＝10在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB＝(103)2＋(52＋56)2－2×103×(5所以AB＝105，即基站A，B之間的距離為105km思維升華距離問題的解題策略選擇合適的輔助測量點，構造三角形，將問題轉化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解.跟蹤訓練1如圖，為計算湖泊岸邊兩景點B與C之間的距離，在岸上選取A和D兩點，現測得AB＝5km，AD＝7km，∠ABD＝60°，∠CBD＝23°，∠BCD＝117°，據以上條件可求得兩景點B與C之間的距離約為km(精確到0.1km，參考數據：sin40°≈0.643，sin117°≈0.891).

答案5.8解析在△ABD中，有AB＝5，AD＝7，∠ABD＝60°，由余弦定理可得，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD，即49＝25＋BD2－2×5×BD×1整理可得BD2－5BD－24＝0，解得BD＝8或BD＝－3(舍去).在△BCD中，有BD＝8，∠CBD＝23°，∠BCD＝117°，所以∠BDC＝180°－∠BCD－∠CBD＝40°.由正弦定理BDsin∠BCDBC＝BDsin∠BDC≈5.8(km).題型二測量高度問題例2(1)《海島算經》是中國學者劉徽編撰的一部測量學著作.現有取自其中的一個問題：今有望海島，立兩表，齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合.從后表卻行一百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合，問島高幾何？用現代語言來解釋，其意思為：立兩個3丈高的標桿，之間距離為1000步，兩標桿與海島的底端在同一直線上.從第一個標桿M處后退123步，人眼貼地面，從地上A處仰望島峰，人眼、標桿頂部和山頂三點共線；從后面的一個標桿N處后退127步，從地上B處仰望島峰，人眼、標桿頂部和山頂三點也共線，則海島的高為(3丈＝5步)()A.1200步 B.1300步C.1155步 D.1255步答案D解析設海島的高為h步，由題意知，FM＝GN＝5，AM＝123，BN＝127，MN＝1000，則FM即AC＝AM·DCBC＝BN·DC所以MN＝BC－AC－BN＋AM，則1000＝127h5－123h5－127＋123，解得即海島的高為1255步.(2)(2025·南京模擬)如圖，某中學校園內的景觀樹已有百年歷史，小明為了測量景觀樹高度，他選取與景觀樹根部C在同一水平面的A，B兩點，在A點測得景觀樹根部C在北偏西60°的方向上，沿正西方向步行40米到B處，測得樹根部C在北偏西15°的方向上，樹梢D的仰角為30°，則景觀樹的高度為()A.106米 B.203米C.2033米 D.20答案D解析依題意可得如圖圖形，在△ABC中，∠BAC＝90°－60°＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝40，由正弦定理得BC解得BC＝40×12在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，所以CD＝BCtan30°＝202×3所以景觀樹的高度為2063思維升華高度問題的易錯點(1)圖形中為空間關系，極易當作平面問題處理，從而致錯；(2)對仰角、俯角等概念理解不夠深入，從而把握不準已知條件而致錯.跟蹤訓練2矗立在上饒市市民公園(如圖1)的四門通天銅雕有著“四方迎客、通達天下”的美好寓意，也象征著上饒四省通衢，連南接北，通江達海，包容八方.如圖2，某中學研究性學習小組為測量其高度，在和它底部O位于同一水平高度的共線三點A，B，C處測得銅雕頂端P處的仰角分別為π6，π4，π3，且AB＝A.156m B.106mC.66m D.56m答案B解析設OP＝h，則OA＝3h，OB＝h，OC＝33h在△ABO中，由余弦定理得cos∠ABO＝400在△BCO中，由余弦定理得cos∠OBC＝400因為∠ABO＋∠OBC＝π，所以400-2h240即800－43h2＝0解得h＝106所以四門通天銅雕的高度為106m.題型三測量角度問題例3如圖所示，遙感衛星發現海面上有三個小島，小島B位于小島A北偏東75°距離60海里處，小島B北偏東15°距離(303－30)海里處有一個小島C.(1)求小島A到小島C的距離；(2)如果有游客想直接從小島A出發到小島C，求游船航行的方向.解(1)在△ABC中，AB＝60，BC＝303－30，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，根據余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝602＋(303－30)2－2×60×(303－30)·cos120°＝5400，所以AC＝306.所以小島A到小島C的距離是306海里.(2)根據正弦定理得AC所以30解得sin∠ACB＝2在△ABC中，因為AB<AC，所以∠ACB為銳角，所以∠ACB＝45°，所以∠CAB＝180°－120°－45°＝15°.由75°－15°＝60°，得游船應該沿北偏東60°的方向航行.思維升華角度問題的解題方法首先應明確方向角的含義，在解應用題時，分析題意，分清已知與所求，再根據題意正確畫出示意圖，這是最關鍵、最重要的一步，通過這一步可將實際問題轉化成可用數學方法解決的問題，解題中也要注意體會正、余弦定理“聯袂”使用的優點.跟蹤訓練3甲船在A處觀察乙船，乙船在它北偏東60°方向，相距a海里的B處，乙船向正北方向行駛，若甲船速度是乙船速度的3倍，甲船為了盡快追上乙船，朝北偏東θ方向前進，則θ＝.

答案30°解析如圖，設兩船在C處相遇，則由題意得∠ABC＝180°－60°＝120°，且AC由正弦定理得ACBC＝sin120°sin∠BAC＝3又因為0°<∠BAC<60°，所以∠BAC＝30°，所以θ＝60°－30°＝30°.課時精練[分值：80分]一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.如圖，設A，B兩點在河的兩岸，在點A所在河岸邊選一定點C，測量AC的距離為50m，∠ACB＝30°，∠CAB＝105°，則A，B兩點間的距離是()A.252m B.502mC.253m D.503m答案A解析在△ABC中，∠ACB＝30°，∠CAB＝105°，所以∠ABC＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理AC得AB＝AC·sin∠ACBsin∠ABC＝50sin30°sin45°2.(2024·吉林模擬)如圖，位于某海域A處的甲船獲悉，在其北偏東60°方向C處有一艘漁船遇險后拋錨等待營救.甲船立即將救援消息告知位于甲船北偏東15°，且與甲船相距2nmile的B處的乙船，已知遇險漁船在乙船的正東方向，那么乙船前往營救遇險漁船時需要航行的距離為()A.2nmile B.2nmileC.22nmile D.32nmile答案B解析由題意知，AB＝2，∠BAC＝45°，∠BCA＝30°在△ABC中，由正弦定理得AB所以BC＝ABsin∠BACsin∠故乙船前往營救遇險漁船時需要航行的距離為2nmile.3.如圖，在200m高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別是30°，60°，則塔高為()A.4003m B.400C.20033m D.答案A解析設山頂為A，塔底為C，塔頂為D，過點A作CD的垂線，交CD的延長線于點B(圖略)，則易得AB＝BCtan60°，BD＝AB·tan30°＝BCtan60°·tan30°＝2003×3所以CD＝BC－BD＝200－2003＝40034.(2025·貴陽模擬)如圖，甲秀樓位于貴州省貴陽市南明區，是該市的標志性建筑之一.某研究小組將測量甲秀樓最高點離地面的高度，選取了與該樓底B在同一水平面內的兩個測量基點C與D，現測得∠BCD＝23°，∠CDB＝30°，CD＝11.2m，在C點測得甲秀樓頂端A的仰角為72.4°，則甲秀樓的高度約為(參考數據：tan72.4°≈3.15，sin53°≈0.80)()A.18m B.20m C.22m D.24m答案C解析由題意可知，∠BCD＝23°，∠CDB＝30°，所以∠CBD＝127°，又因為CD＝11.2m，由正弦定理CD可得11.2解得CB≈7m，又因為∠ACB＝72.4°，所以AB＝CBtan∠ACB≈7×3.15＝22.05≈22(m).二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.(2024·蘭州模擬)某學校開展測量旗桿高度的數學建模活動，學生需通過建立模型、實地測量，迭代優化完成此次活動.在以下不同小組設計的初步方案中，可計算出旗桿高度的方案有()A.在水平地面上任意尋找兩點A，B，分別測量旗桿頂端的仰角α，β，再測量A，B兩點間距離B.在旗桿對面找到某建筑物(低于旗桿)，測得建筑物的高度為h，在該建筑物底部和頂部分別測得旗桿頂端的仰角α和βC.在地面上任意尋找一點A，測量旗桿頂端的仰角α，再測量A到旗桿底部的距離D.在旗桿的正前方A處測得旗桿頂端的仰角α，正對旗桿前行5m到達B處，再次測量旗桿頂端的仰角β答案BCD解析對于A，當A，B兩點與旗桿底部不在一條直線上時，就不能測量出旗桿的高度，故A不正確；對于B，如圖1，在△ABD中，由正弦定理求AD，則旗桿的高CD＝h＋ADsinβ，故B正確；對于C，如圖2，在Rt△ADC中，直接利用銳角三角函數求出旗桿的高DC＝ACtanα，故C正確；對于D，如圖3，在△ABD中，由正弦定理求AD，則旗桿的高CD＝ADsinα，故D正確.6.(2024·重慶模擬)如圖，在海面上有兩個觀測點B，D，B在D的正北方向，距離為2km，在某天10：00觀察到某航船在C處，此時測得∠CBD＝45°，5分鐘后該船行駛至A處，此時測得∠ABC＝30°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，則()A.觀測點B位于A處的北偏東75°方向B.當天10：00時，該船到觀測點B的距離為6kmC.當船行駛至A處時，該船到觀測點B的距離為6kmD.該船在由C行駛至A的這5min內行駛了2km答案ACD解析對于A，∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝30°＋45°＝75°，因為B在D的正北方向，所以觀測點B位于A的北偏東75°方向，故A正確；對于B，在△BCD中，∠CBD＝45°，∠CDB＝∠ADC＋∠ADB＝30°＋60°＝90°，即∠BCD＝45°，則BD＝CD＝2，則BC＝22，故B對于C，在△ABD中，∠ABD＝75°，∠ADB＝60°，則∠BAD＝45°，由正弦定理得ABsin∠ADB＝BDsin∠BAD，對于D，在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝6＋8－2×6×22×32＝2，即AC＝2km，故D正確三、填空題(每小題5分，共10分)7.如圖，海岸線上有相距5nmile的兩座燈塔A，B，燈塔B位于燈塔A的正南方向.海上停泊著兩艘輪船，甲船位于燈塔A的北偏西75°方向，與A相距32nmile的D處；乙船位于燈塔B的北偏西60°方向，與B相距5nmile的C處.則兩艘輪船之間的距離為nmile.

答案13解析如圖所示，連接AC，由題可知，∠ABC＝60°，AB＝BC＝5nmile，所以△ABC為正三角形，在△ACD中，AD＝32nmile，∠DAC＝180°－60°－75°＝45°，所以CD2＝(32)2＋52－2×32×5×cos45°＝13，即CD＝13nmile.8.如圖，小明同學為了估算某教堂的高度CD，在教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為(153－15)m，在它們之間的地面上的點M(B，M，D三點共線)處測得樓頂A、教堂頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測得教堂頂C的仰角為30°，則小明估算教堂的高度為.

答案303m解析由題意知，∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°.在Rt△ABM中，AM＝AB在△ACM中，由正弦定理得AM所以CM＝AM·在Rt△DCM中，CD＝CM·sin60°＝AB·sin45°·sin60°sin15°·sin30°＝四、解答題(共28分)9.(13分)已知某測量小組為測量一座山的高度，建立了如圖所示的數學模型三棱錐C－OAB，OC垂直水平面OAB，點C代表該山的上頂點，A，B兩點代表山腳地面上的兩個觀測點，同學甲在A處測得仰角為45°，同學乙在B處測得仰角為30°，同學丙測得兩個觀測點之間的距離AB為90米.(1)求sin∠CABsin∠CBA；((2)同學甲測出∠CAB為鈍角，同學乙測算出cos∠CBA＝34，求山高OC.(7解(1)在Rt△AOC中，由∠OAC＝45°得AC＝2OC，在Rt△BOC中，由∠OBC＝30°得BC＝2OC，在△ABC中，利用正弦定理得BCsin∠CAB＝(2)在△ABC中，利用余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠CBA，即2OC2＝8100＋4OC2－2×90×2OC×3化簡為OC2－135OC＋4050＝0，解得OC＝90或OC＝45，當OC＝45時，BC＝90＝AB，與∠CAB為鈍角矛盾，經驗證OC＝90符合條件，所以山高OC為90米.10.(15分)如圖，在一次海上聯合作戰演習中，A處的一艘紅方偵察艇發現在北偏東45°方向相距12nmile的水面上B處，有藍方一艘小艇正以每小時10nmile的速度沿南偏東75°方向前進，若紅方偵察艇