§4.5三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)課標要求1.能畫出三角函數(shù)的圖象.2.了解三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性、最大(小)值.3.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0，2π]上的性質(zhì)及正切函數(shù)在-π2，π1.用“五點法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(1)在正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象中，五個關(guān)鍵點是：(0，0)，π2，1，(π，0)，3π(2)在余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0，2π]的圖象中，五個關(guān)鍵點是：(0，1)，π2，0，(π，－1)，3π2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RRx值域[－1，1][－1，1]R最小正周期2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間22[2kπ－π，2kπ]k單調(diào)遞減區(qū)間22[2kπ，2kπ＋π]

對稱中心(kπ，0)kk對稱軸方程x＝kπ＋πx＝kπ

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π]，y＝cosx，x∈[0，2π]的五個關(guān)鍵點是零點和極值點.(×)(2)函數(shù)y＝cosx在第一、二象限內(nèi)單調(diào)遞減.(×)(3)函數(shù)y＝sinx圖象的對稱軸方程為x＝2kπ＋π2(k∈Z).(×(4)y＝cos(－x)與y＝cos|x|的圖象相同.(√)2.(多選)已知函數(shù)f(x)＝sinx-π2(x∈R)，下列結(jié)論正確的是A.函數(shù)f(x)的最小正周期為2πB.函數(shù)f(x)在區(qū)間0，C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝0對稱D.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)答案ABC解析由題意得f(x)＝－cosx，對于A，T＝2π1＝2π，故A對于B，因為y＝cosx在0，π2上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)在0，π對于C，f(－x)＝－cos(－x)＝－cosx＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于直線x＝0對稱，故C正確，D錯誤.3.函數(shù)y＝tan2x-3π4答案π8＋kπ2解析由－π2＋kπ<2x－3π4<π2＋kπ(k∈Z)，得π8＋kπ2<x所以y＝tan2x-3π4的單調(diào)區(qū)間為π8＋4.函數(shù)y＝cosx＋π3，x∈0答案-解析由x∈0，π2得x＋所以y＝cosx＋π31.熟記與三角函數(shù)周期性、對稱性、奇偶性有關(guān)的常用結(jié)論(1)正弦型曲線、余弦型曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是12個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是14(2)若y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則φ＝kπ＋π2(k∈Z)；若為奇函數(shù)，則φ＝kπ(k∈Z)(3)若y＝Acos(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則φ＝kπ(k∈Z)；若為奇函數(shù)，則φ＝kπ＋π2(k∈Z)2.謹防兩個易誤點(1)要注意求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時A和ω的符號，盡量化成ω>0的情況，避免出現(xiàn)增減區(qū)間的混淆.(2)對于y＝tanx，是在每個區(qū)間kπ-π2，kπ＋π2題型一三角函數(shù)的定義域和值域例1(1)函數(shù)y＝sinx-cosx的定義域為答案2kπ＋π4解析方法一要使函數(shù)有意義，必須使sinx－cosx≥0.在同一直角坐標系中畫出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的圖象，如圖所示.在[0，2π]內(nèi)，滿足sinx＝cosx的x為π4，5π4，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2π，所以原函數(shù)的定義域為2k方法二要使函數(shù)y＝sinx-cos則sinx－cosx≥0，即2sinx-π4即2kπ≤x－π4≤2kπ＋π(k∈Z)解得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4(k∈Z即原函數(shù)的定義域為2kπ＋π4，(2)函數(shù)f(x)＝sinx＋cosx＋2sinxcosx＋2的值域為.

答案3解析設(shè)sinx＋cosx＝2sinx＋π4＝t，t∈[－2，2]，則2sinxcosx＝則由函數(shù)f(x)＝sinx＋cosx＋2sinxcosx＋2，可知y＝t2＋t＋1＝t＋122＋34當t＝－12時，ymin＝34；當t＝2時，ymax＝3＋因此函數(shù)的值域為34思維升華(1)三角函數(shù)有關(guān)定義域的求法：根據(jù)函數(shù)解析式的特征列出與三角函數(shù)有關(guān)的不等式，借助三角函數(shù)性質(zhì)及圖象求解，與正切函數(shù)有關(guān)的定義域，要注意正切函數(shù)本身的定義域.(2)三角函數(shù)值域的不同求法①把所給的三角函數(shù)式變換成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域.②把sinx或cosx看作一個整體，轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.③利用sinx±cosx和sinxcosx的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.跟蹤訓練1(1)函數(shù)y＝tanπ2-xxA.[－1，1] B.(－∞，－1]∪[1，＋∞)C.(－∞，1] D.[－1，＋∞)答案B解析因為－π4≤x≤π4且x≠所以π4≤π2－x≤3π4且π2所以函數(shù)y＝tanπ2-x的值域為(－∞，－1]∪[1，＋(2)若函數(shù)f(x)＝4sinx－2cos2x＋m在R上的最大值是3，則實數(shù)m等于()A.－6 B.－5 C.－3 D.－2答案C解析因為f(x)＝4sinx－2(1－2sin2x)＋m＝4sin2x＋4sinx＋m－2＝(2sinx＋1)2＋m－3，當sinx＝1時，函數(shù)取到最大值，即(2＋1)2＋m－3＝3，解得m＝－3.題型二三角函數(shù)的周期性、對稱性與奇偶性例2(1)(多選)(2024·淄博模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin2x-π3＋1，則下列結(jié)論中正確的是A.函數(shù)f(x)的最小正周期T＝πB.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點π6C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝5π12D.函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2π]上有4個零點答案AC解析∵f(x)＝sin2x-π∴f(x)的最小正周期T＝2π2＝π，A∵sin2×π6-π3＝0，∴函數(shù)f(x)又sin2×5π12-π3＝1，∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x令f(x)＝0得sin2x-π∴2x－π3＝－π2＋2kπ，k∈∴x＝－π12＋kπ，k∈Z又x∈[0，2π]，∴x＝11π∴f(x)在[0，2π]內(nèi)有2個零點，D錯誤.(2)(2025·西安模擬)已知函數(shù)f(x)＝cos(x＋φ)，則“f(0)＝0”是“f(x)為奇函數(shù)”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案C解析由題意可知，f(x)的定義域為R，若f(0)＝cosφ＝0，可得φ＝π2＋kπ，k∈Z若k為偶數(shù)，則f(x)＝cosx＝cosx＋π2＝－sin若k為奇數(shù)，則f(x)＝cosx＝－cosx＋π2＝sin即充分性成立；若f(x)為奇函數(shù)，則f(0)＝0，即必要性成立.綜上所述，“f(0)＝0”是“f(x)為奇函數(shù)”的充要條件.思維升華(1)奇偶性的判斷方法：三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函數(shù)一般可化為y＝Acosωx的形式.(2)周期的計算方法：利用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期為2πω，函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期為π(3)對稱軸、對稱中心的求法：對于可化為f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函數(shù)，令ωx＋φ＝π2＋kπ或ωx＋φ＝kπ(k∈Z)跟蹤訓練2(1)(多選)(2024·黃山模擬)已知函數(shù)f(x)＝3sinωx－cosωx(ω>0)圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為π2，則(A.ω＝2B.函數(shù)f(x)為奇函數(shù)C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點-5πD.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2π3答案AC解析f(x)＝3sinωx－cosωx＝232sinωx因為函數(shù)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為π所以12T＝π2，則T所以T＝2πω＝π，解得ω＝2所以f(x)＝2sin2x-π顯然，函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù)，故B錯誤；對于C選項，f

-5π12＝＝2sin(－π)＝0，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點-5π12，0對稱對于D選項，f

2π3＝2sin2×2π3-π所以函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于直線x＝2π3對稱，故D錯誤(2)(2025·廣州模擬)若函數(shù)f(x)＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)為奇函數(shù)，則φ等于()A.kπ(k∈Z) B.2kπ(k∈Z)C.kπ2(k∈Z) D.(2k＋1)π(k∈答案C解析若0在定義域內(nèi)，由x＝0時，y＝0，得φ＝kπ(k∈Z)；若0不在定義域內(nèi)，由x＝0時，tanφ無意義，得φ＝kπ＋π2(k∈Z)綜上，φ＝kπ2(k∈Z題型三三角函數(shù)的單調(diào)性命題點1求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例3函數(shù)f(x)＝sinπ3-2x的單調(diào)遞減區(qū)間為，在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為答案kπ-π12，kπ＋解析f(x)＝sinπ3-2x的單調(diào)遞減區(qū)間是g(x)＝sin由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k故所求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為kπ-π12，令A＝kπ-π12，kπ＋5π12，k∈∴A∩B＝0，5π∴f(x)在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為0，5π12命題點2根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)例4(2025·廣州模擬)若函數(shù)f(x)＝sinωx＋3cosωx(ω>0)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，且f(a)＝1，f(b)＝－1，b－a＝π2，則ω等于(A.13 B.1 C.23 D答案C解析由函數(shù)f(x)＝sinωx＋3cosωx＝2sinωx因為f(a)＝1，f(b)＝－1，所以sinωa＋π3＝又f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，ω>0，所以ωa＋π3＝5π6＋2kπ，k∈Z，ωb＋π3＝7π6＋兩式相減，可得ω(b－a)＝π3，因為b－a所以ω＝23思維升華(1)已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的單調(diào)區(qū)間時，要視“ωx＋φ”為一個整體，通過解不等式求解.但如果ω<0，可先借助誘導公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯.(2)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解.跟蹤訓練3(1)下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)＝－2sinx-π3單調(diào)遞增的是A.0，π2 C.2π3，3π2答案B解析當x∈0，π2時，x－π3∈-π3，π6，當x∈π，5π3時，x－π3∈2π3，4π3，函數(shù)當x∈2π3，3π2時，x－π3∈π3，7π6，函數(shù)f當x∈3π2，2π時，x－π3∈7π6，5π3，函數(shù)f(x(2)(2025·齊齊哈爾模擬)已知函數(shù)f(x)＝sinωx-π3(ω>0)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為π2，若f(x)在(－m，m)上單調(diào)遞增，則正數(shù)答案0解析因為函數(shù)f(x)＝sinωx-π3(ω>0所以2πω×12＝π2即f(x)＝sin2因為f(x)在(－m，m)上單調(diào)遞增，且m>0，所以函數(shù)f(x)＝sin2x-π令－π2≤2x－π3≤π2，得－π所以(－m，m)?-所以m≤5π12，-課時精練[分值：90分]一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.函數(shù)f(x)＝-2cosx-1的定義域為(A.2π3＋2kπB.5π6＋2kπC.-2π3＋2kD.-5π6＋2k答案A解析由題意，函數(shù)f(x)＝-2cosx-1則滿足－2cosx－1≥0，即cosx≤－1解得2π3＋2kπ≤x≤4π3＋2kπ，k∈所以函數(shù)f(x)的定義域為2π3＋2kπ，2.已知函數(shù)f(x)＝cos2x-π6，則f(x)在[－2，0A.單調(diào)遞增 B.單調(diào)遞減C.先增后減 D.先減后增答案D解析∵x∈[－2，0]，∴2x－π6∈∵－3π2<－4－π6<－π<－π∴函數(shù)f(x)＝cos2x-π6在[－2，3.已知函數(shù)f(x)＝2cosx＋π6，設(shè)a＝fπ7，b＝fπ6，c＝fπ4，A.a>b>c B.a>c>bC.c>a>b D.b>a>c答案A解析a＝fπ7＝2cosb＝fπ6＝2cosc＝fπ4＝2cos因為y＝cosx在[0，π]上單調(diào)遞減，又0<13π42<π3<5π所以a>b>c.4.(2025·永州模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin(3x＋φ)(0<φ<2π)在區(qū)間π6，π2上單調(diào)遞增，則φA.π8 B.π4 C.π2 答案D解析根據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝sin(3x＋φ)，其周期T＝2π又由f(x)在區(qū)間π6，而π必有3×π6＋φ＝2kπ－π2且3×π2＋φ＝2kπ＋π2變形可得φ＝2kπ－π，k∈Z，又由0<φ<2π，必有k＝1，此時φ＝π.5.(2024·商丘模擬)已知函數(shù)f(x)＝2sin(2x＋φ)0<φ<π2的圖象關(guān)于直線x＝π12對稱，則f(x)在A.－2 B.－3 C.－1 D.－2答案A解析因為函數(shù)f(x)＝2sin(2x＋φ)0<φ<π2的圖象關(guān)于直線x所以2×π12＋φ＝kπ＋π2(k∈Z解得φ＝kπ＋π3(k∈Z)又0<φ<π2，所以當k＝0時，φ所以f(x)＝2sin2因為x∈π所以2x＋π3∈所以當2x＋π3＝3π2，即x＝7π12時，f(x)6.(2024·銅川模擬)已知函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)(0<ω<10，0<φ<π)圖象的一個對稱中心是Aπ8，0，點B0，22在f(xA.f(x)＝cos2B.直線x＝5π8是f(x)C.f(x)在7π8D.fx＋答案B解析因為點B0，22在f(x所以f(0)＝cosφ＝22又0<φ<π，所以φ＝π因為f(x)圖象的一個對稱中心是Aπ所以ωπ8＋π4＝π2則ω＝2＋8k，k∈Z.又0<ω<10，所以ω＝2，則f(x)＝cos2x＋f5π8＝cos3π2＝則直線x＝5π8不是f(x)圖象的一條對稱軸，B當x∈7π8，11π8時，2x＋π4∈[2π，3π]，f(xfx＋π8＝cos2x＋π2＝－sin2二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.(2024·新課標全國Ⅱ)對于函數(shù)f(x)＝sin2x和g(x)＝sin2x-π4A.f(x)與g(x)有相同的零點B.f(x)與g(x)有相同的最大值C.f(x)與g(x)有相同的最小正周期D.f(x)與g(x)的圖象有相同的對稱軸答案BC解析A選項，令f(x)＝sin2x＝0，解得x＝kπ2，k∈Z，即為f(x令g(x)＝sin2x-π解得x＝kπ2＋π8，k∈Z，即為顯然f(x)，g(x)零點不同，A選項錯誤；B選項，顯然f(x)max＝g(x)max＝1，B選項正確；C選項，根據(jù)周期公式，f(x)，g(x)的最小正周期均為2π2＝π，CD選項，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，f(x)的對稱軸滿足2x＝kπ＋π2，k∈解得x＝kπ2＋πg(shù)(x)的對稱軸滿足2x－π4＝kπ＋π2，k解得x＝kπ2＋3π顯然f(x)，g(x)圖象的對稱軸不同，D選項錯誤.8.(2025·岳陽模擬)若函數(shù)f(x)＝sinωx＋π6(ω∈N*，ω≤6)的圖象關(guān)于直線x＝π6對稱，A.f(0)＝1B.f(x)的圖象關(guān)于點5π12C.f(x)在區(qū)間(0，π)上有2個極值點D.f(x)在區(qū)間0，答案ABC解析因為函數(shù)f(x)＝sinωx＋π6(ω∈N*，ω≤6)的圖象關(guān)于直線x＝可得ω·π6＋π6＝π2＋解得ω＝2＋6k，k∈Z，又ω∈N*，且ω≤6，所以ω＝2，即f(x)＝sin2xA中，f(0)＝sinπ6＝1B中，因為2×5π12＋π6＝π，所以f(x)的圖象關(guān)于點5π12C中，因為x∈(0，π)，所以2x＋π6∈令2x＋π6＝π2令2x＋π6＝3π2所以極值點為π6，2πD中，因為x∈0，π3，所以2x＋π6∈π6三、填空題(每小題5分，共10分)9.函數(shù)y＝1tanx-1的定義域為答案x解析要使函數(shù)有意義，則tan即x故函數(shù)的定義域為xx10.函數(shù)f(x)＝－2cos2x＋2sinx＋3，x∈π6，5π6答案5解析f(x)＝－2cos2x＋2sinx＋3＝－2(1－sin2x)＋2sinx＋3＝2sin2x＋2sinx＋1＝2sinx因為x∈π6，5π6，所以12≤當sinx＝1時，f(x)max＝5；當sinx＝12時，f(x)min＝5所以函數(shù)f(x)的值域為52四、解答題(共27分)11.(13分)已知f(x)＝2sin2x(1)求函數(shù)y＝fx＋π22(2)當x∈π4，3π4時，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值.解(1)因為f(x)＝2sin2所以fx＋π2＝＝2sin2＝－sin2x－cos2x，所以y＝fx＋π22＝(－sin2x－cos2x)2＝1＋所以函數(shù)y＝fx＋π22(2)當x∈π4，3π4時，3π4≤所以－1≤sin2x＋所以－2≤f(x)≤1，所以當x∈π4，3π4時，函數(shù)f(x)的最大值為1，12.(14分)已知函數(shù)f(x)＝asin2x-π6－2cos2x＋π6(a從①f(x)的最大值為1；②f(x)的圖象與直線y＝－3的兩個相鄰交點的距離等于π；③f(x)的圖象過點π6，0這三個條件中選擇一個，補充在上面(1)求函數(shù)f(x)的解析式及最小正周期；(6分)(2)若關(guān)于x的方程f(x)＝1在區(qū)間[0，m]上有兩個不同解，求實數(shù)m的取值范圍.(8分)注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.解(1)函數(shù)f(x)＝asin2x-π6＝asin2x-π6－＝asin2x-π6－＝asin2x-π6＋＝(a＋1)sin2x-π若選擇條件①f(x)的最大值為1，則a＋1＝2，解得a＝1，所以f(x)＝2sin2x-π則函數(shù)f(x)的最小正周期T＝2π2＝π若選擇條件②f(x)的圖象與直線y＝－3的兩個相鄰交點的距離等于π，且f(x)的最小正周期T＝2π2＝π所以－(a＋1)－1＝－3，解得a＝1，所以f(x)＝2sin2x-π若選擇條件③f(x)的圖象過點π則fπ6＝(a＋1)sinπ