§4.3兩角和與差的正弦、余弦和正切公式課標(biāo)要求1.會(huì)推導(dǎo)兩角差的余弦公式.2.會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.3.掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并會(huì)簡單應(yīng)用.1.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.

(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.

(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.

(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.

(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝tanα(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝tanα2.輔助角公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中sinφ＝ba1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(√)(2)存在實(shí)數(shù)α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立.(√)(3)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1-tanαtanβ對任意角α，(4)公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)中φ的取值與a，b的值無關(guān).(2.sinπ12－3cosπ12A.0 B.－2 C.2 D.2答案B解析sinπ12－3cosπ＝2sinπ12-π3＝2sin3.若2cosα－sinα＝0，則tanα-π4等于A.－13 B.13 C.－3 D答案B解析因?yàn)?cosα－sinα＝0，則sinα＝2cosα，故tanα＝2，因此，tanα-4.若tanα＝13，tan(α＋β)＝12，則tanβ答案1解析tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tan(α1.熟記兩角和與差的公式的常用變形(1)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ.(2)cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ.(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ).(4)tanαtanβ＝1－tanα＋tan2.謹(jǐn)防兩個(gè)易誤點(diǎn)(1)運(yùn)用公式時(shí)要注意公式成立的條件；(2)在求角的三角函數(shù)值時(shí)，往往要估計(jì)角的范圍后再求值.特別是在(0，π)內(nèi)，正弦值對應(yīng)的角不唯一.題型一兩角和與差的三角函數(shù)公式例1(1)若cosπ4＋αcosπ4-α＝A.－3 B.－13 C.13 D答案C解析由題意，得22(cosα-sinα)22(cos則tanα＋(2)(2024·廈門模擬)若cos(140°－α)＋sin(110°＋α)＝sin(130°－α)，則tanα等于()A.33 B.－33 C.3 D.答案D解析因?yàn)閏os(140°－α)＋sin(110°＋α)＝sin(130°－α)，所以－sin(50°－α)＋cos(20°＋α)＝sin(50°＋α)，即－sin50°cosα＋cos50°sinα＋cos(20°＋α)＝sin50°cosα＋cos50°sinα，所以cos20°cosα－sin20°sinα＝2sin50°cosα，即(cos20°－2sin50°)cosα＝sin20°sinα，所以tanα＝cos20°-2sin50°＝cos20°-2×12思維升華(1)使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征.(2)使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值.跟蹤訓(xùn)練1(1)已知sin(α－β)＝13，cosαsinβ＝16，則sin(α＋β)A.23 B.223 C.－23 答案A解析因?yàn)閟in(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝1而cosαsinβ＝1因此sinαcosβ＝1則sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝23(2)(2024·新課標(biāo)全國Ⅰ)已知cos(α＋β)＝m，tanαtanβ＝2，則cos(α－β)等于()A.－3m B.－m3 C.m3 D.答案A解析由cos(α＋β)＝m得cosαcosβ－sinαsinβ＝m.①由tanαtanβ＝2得sinαsinβcosα由①②得cos所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－3m.題型二兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用與輔助角公式例2(1)(2024·南充模擬)已知函數(shù)f(x)＝3sinx＋4cosx.若x＝θ時(shí)，f(x)取得最大值，則cosθ＋π4等于A.7210 B.－7210 C.210答案C解析f(x)＝3sinx＋4cosx＝5sin(x＋φ)，其中tanφ＝43，sinφ＝45，cos∵當(dāng)x＝θ時(shí)，f(x)取得最大值，∴θ＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，即θ＝π2＋2kπ－φ，k∈∴cosθ＋π4＝cos3π4-φ＝cos3π4cosφ＋sin＝－22×35＋(2)tan10°＋tan20°＋tan30°＋tan10°·tan20°tan30°＝.

答案2解析因?yàn)閠an30°＝tan(10°＋20°)＝tan10°故tan10°＋tan20°＝tan30°－tan30°tan10°tan20°，所以tan10°＋tan20°＋tan30°＋tan10°tan20°tan30°＝tan30°－tan30°tan10°tan20°＋tan30°＋tan10°tan20°tan30°＝2tan30°＝23思維升華(1)逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式.(2)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和變形使用.(3)對asinx＋bcosx化簡時(shí)，要清楚如何求輔助角φ的值.跟蹤訓(xùn)練2(1)若sinα＋3cosα＝1，且α∈(0，π)，則α＝.

答案π解析因?yàn)閟inα＋3cosα＝2sinα＋π3所以sinα又α∈(0，π)，所以α＋π3∈所以α＋π3＝5π6，(2)若α＋β＝－3π4，則(1＋tanα)(1＋tanβ)＝答案2解析tan-3π4＝tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1-tanαtanβ＝1，所以1－tanαtan則1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝2，即(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2.題型三角的變換問題例3(1)已知sinα＋π4＝45，α∈πA.210 B.3210 C.22答案A解析由α∈π4，π2，得則cosα＋π4＝－cosα＝cosα＋π4-π4＝cosα＋π4cosπ4＋sinα(2)(2024·杭州模擬)已知α∈π2，π，β∈0，π2，若sin(α＋β)＝13，cosA.13 B.33 C.539答案C解析因?yàn)棣痢师?，π，β∈0，π2，sin(α＋β)＝13>0，cos則sinβ＝1-cocos(α＋β)＝－1-sin2所以sinα＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝13×33－思維升華(1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式.(2)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為“已知角”與特殊角的和或差的形式，或者應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”.(3)常見的角的變換：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝α＋β2＋α-β2，π3＋α＝π2－π6-α，α＝跟蹤訓(xùn)練3(1)已知α，β∈π3，5π6，若sinα＋π6＝45，cosA.1665 B.3365 C.5665 答案A解析由題意可得α＋π6∈π2，π，所以cosα＋π6＝－35所以sin(α－β)＝－sinα＋π6-β-5π(2)已知θ∈π4，π2，且sinθ＋πA.7 B.43 C.17 D答案A解析因?yàn)棣取师?，π2，所以又sinθ所以cosθ＋π4＝－35，所以tanθ＝tanθ＝tanθ＋π課時(shí)精練[分值：90分]一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共30分)1.cos50°cos160°－cos40°sin160°等于()A.32 B.12 C.－12 D答案D解析原式＝cos50°cos160°－sin50°sin160°＝cos(50°＋160°)＝cos210°＝－cos30°＝－322.已知α為銳角，且sinα＋π3＝sinα-π6，A.3 B.2＋3C.6 D.6答案B解析3.(2024·晉城模擬)若sin18°＝m，則sin63°等于()A.22(1-m2－m) BC.22(m＋1-m2) D.3答案C解析因?yàn)閟in18°＝m，所以cos18°＝1-所以sin63°＝sin(18°＋45°)＝22(sin18°＋cos18°)＝22(m＋1-4.已知sinα＋sinβ＝12，cosα＋cosβ＝13，則cos(α－β)A.－712 B.－1718 C.－5972 答案C解析sinα＋sinβ＝12?sin2α＋sin2β＋2sinαsinβ＝14cosα＋cosβ＝13?cos2α＋cos2β＋2cosαcosβ＝19①＋②得，2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝1336?cos(α－β)＝12×13365.已知tan(α＋β)，tan(α－β)是方程x2＋5x＋6＝0的兩個(gè)根，則tan2α等于()A.－1 B.1 C.－2 D.2答案B解析由題意可得tan(α＋β)＋tan(α－β)＝－5，且tan(α＋β)tan(α－β)＝6，則tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan(α＋β6.定義運(yùn)算abcd＝ad－bc，若cosα＝17，sinαsinβA.π12 B.π6 C.π4 答案D解析由題意得，sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝33∵0<β<α<π2，∴0<α－β∴cos(α－β)＝1314又∵cosα＝17，∴sinαsinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝437×13∴β＝π3二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)7.下列等式成立的有()A.tan15°＝3B.sin75°cos15°＋cos75°sin15°＝1C.cos105°cos75°－sin105°cos15°＝－1D.3sin15°＋cos15°＝1答案BC解析對于A，tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°-tan30°1＋tan45°tan30°＝2－3對于B，sin75°cos15°＋cos75°sin15°＝sin(75°＋15°)＝sin90°＝1，故B正確；對于C，cos105°cos75°－sin105°cos15°＝cos(105°＋75°)＝cos180°＝－1，故C正確；對于D，3sin15°＋cos15°＝2sin(15°＋30°)＝2sin45°＝2，故D8.下列結(jié)論正確的是()A.sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝－cos(α－γ)B.15sinx＋5cosx＝5sinxC.f(x)＝sinx2＋cosx2D.tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°＝1答案AD解析對于A，左邊＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，故A正確；對于B，15sinx＋5cosx＝2＝25sinx＋π6對于C，f(x)＝sinx2＋cosx2＝2sinx2＋π4，所以對于D，tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°＝tan(12°＋33°)(1－tan12°tan33°)＋tan12°tan33°＝1，故D正確.三、填空題(每小題5分，共10分)9.已知sinπ2＋α＝12的值為.

答案－1解析由已知得cosα＝12，sinα所以cosα-π3＝12cosα＋310.在△ABC中，已知tanA＋tanB＋3tanAtanB＝3，則C＝.答案120°解析由題意可知tanA＋tanB＝3(1－tanAtanB)，所以tan(A＋B)＝tan＝3因?yàn)?°<A＋B<180°，所以A＋B＝60°，故C＝180°－(A＋B)＝120°.四、解答題(共28分)11.(13分)已知sin(α－β)＝12，sin(α＋β)＝(1)證明：tanα＋5tanβ＝0；(6分)(2)計(jì)算tan(α-β)-tanα＋(1)證明方法一由條件sin(α－β)＝1sin(α＋β)＝1得2sin(α－β)＝3sin(α＋β)，即2sinαcosβ－2cosαsinβ＝3sinαcosβ＋3cosαsinβ，整理得sinαcosβ＝－5cosαsinβ，也即tanα＝－5tanβ，tanα＋5tanβ＝0得證.方法二由條件sin(α－β)＝12，sin(α＋β)即sinαcosβ－cosαsinβ＝1sinαcosβ＋cosαsinβ＝1得sinαcosβ＝512，cosαsinβ從而可得tanα＝－5tanβ，tanα＋5tanβ＝0得證.(2)解由于tan(α－β)＝tanα-tanβ1＋tanαtanβ?tanα－tanβ＝tan(α－β)(1所以tan(＝tan(＝-tan(＝－tanβ12.(15分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為始邊的銳角α與鈍角β的終邊與單位圓O分別交于A，B兩點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸與單位圓O交于點(diǎn)M，已知S△OAM＝